1841899213

44 A. Pelc

też wykazać, że każdy zbiór mocy < 2“ jest silnej miary zero. Długo jednak nie było wiadomo, czy hipotezy Borela nie da się po prostu obalić na gruncie teorii mnogości. Niesprzeczność hipotezy Borela z aksjoma-tyką teorii mnogości wzbogaconą o zdanie 2" = a>₂ udowodnił Lawer [19] dopiero w roku 1976. Problem Borela pozostawał więc otwarty niemal tak długo, jak hipoteza continuum. W dalszym ciągu nie wiadomo, czy hipoteza Borela jest niesprzeczna z nierównością 2" > co₂.

Na zakończenie tych rozważań podamy twierdzenie charakteryzujące zbiory silnej miary zero, które pokazuje, że są one bardzo małe nie tylko z punktu widzenia miary, lecz również od strony własności topologiczno--grupowych. Galvin udowodnił mianowicie, że zbiór jest silnej miary zero wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór rezydualny zawiera pewne jego przesunięcie. Tak więc, choć w teorii mnogości nie można rozstrzygnąć problemu mocy zbiorów silnej miary zero, „jakościowo” są one małe w bardzo wielu aspektach.

4. Teoria miary bez pewnika wyboru. Wszystkie dotychczasowe rozważania prowadziliśmy na gruncie powszechnie stosowanej aksjomatyki teorii mnogości z pewnikiem wyboru. Artykuł ten zakończymy wzmianką

0    tym, jak wyglądają niektóre z przedstawionych zagadnień, jeśli odrzucić aksjomat wyboru zastępując go ewentualnie innymi hipotezami.

Zacząć należy chyba od informacji o klasycznym już obecnie twierdzeniu Solovaya [38], że przy założeniu istnienia liczby mocno nieosiągalnej nie można udowodnić w teorii mnogości bez pewnika wyboru istnienia zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue’a. Tak więc bez aksjomatu wyboru ogólny problem miary (nawet w wersji niezmienniczej) może mieć eleganckie rozwiązanie pozytywne. Wspomnijmy jeszcze, że w skonstruowanym przez Soloyaya modelu każdy zbiór liczb rzeczywistych ma również Avłasność Bairc’a.

Mówiąc o teorii miary bez pewnika wyboru warto wspomnieć o tzw. aksjomacie determinacji. Został on wprowadzony przez Mycielskiego

1    Steinhausa [25]. Dwóch graczy A i B rozgrywa następującą grę. Ustalają najpierw pewnien zbiór X nieskończonych ciągów o wyrazach naturalnych. Następnie wybierają kolejno na przemian liczby naturalne tworząc wspólnie ciąg nieskończony. Jeśli wpada on do zbioru X, wygrywa gracz A, w przeciwnym razie wygrywa B. Zbiór X nazywa się zdeterminowany wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z graczy ma strategię zapewniającą mu zwycięstwo niezależnie od ruchów przeciwnika.

Korzystając z aksjomatu wyboru łatwo wykazać istnienie zbioru niezdeterminowanego. Nie wiadomo jednak, czy aksjomat determinacji orzekający, że każdy zbiór ciągów jest zdeterminowany, prowadzi do sprzeczności z aksjomatyką teorii mnogości bez pewnika wyboru. Badania nad aksjomatem determinacji jako alternatywą dla pewnika wyboru