3148972987

1.2. Kołczany

Niech Q = (Qo,Qi) będzie kołczanem. Drogą w kołczanie Q długości l > Oz wierzchołka x do wierzchołka y nazwiemy ciąg (y\ai,... ,ai|x) taki, że aą, og są strzałkami spełniającymi warunki e(ai) = s(a;j+i) dla

1    = 1,— 1 oraz s(oii) = x i e(a/) = y. Ponadto dla każdego wierzchołka x definiujemy drogę (x|x) długości 0. Drogę dodatniej długości z wierzchołka x do wierzchołka x nazwiemy zorientowanym cyklem. Zorientowany cykl długości 1 (czyli strzałkę a o własności s(o;) = e(a)) nazywamy pętlą. Kołczan bez zorientowanych cykli nazywa się skierowany.

Jeśli dany jest skończony kołczan Q = (Qo,Qi), to możemy zdefiniować algebrę dróg kołczanu Q. Jeśli to przestrzeń A-liniowa, której bazę stanowią wszystkie drogi w kołczanie Q, zaś mnożenie jest indukowane przez złożenie dróg zdefiniowane wzorem

(z\/3k,---,Pi\y)(y\on,...,a₁\x) := (z\(3_k,...,(3₁,a_h--- ,ai|x)

dla dowolnych dróg (y\cą,..., ot\ |x) i (z\(3k, • •., fh\v)- W przeciwnym wypadku złożenie dwóch dróg jest zerowe. Algebrę dróg kołczanu Q będziemy oznaczać przez KQ. Zauważmy, że algebra dróg kołczanu nie musi być skończenie wymiarowa, ale skończoność kołczanu Q gwarantuje nam, że posiada ona jedynkę, która jest sumą wszystkich dróg długości 0. Ze względu na powyższe mnożenie drogę (y\cq, ■ ■ ■, Q;i|x) będziemy też zapisywać jako cą • • • aą.

Ideał I C KQ będziemy nazywać dopuszczalnym, jeśli wszystkie niezero-we elementy ideału I są kombinacjami liniowymi dróg długości co najmniej

2    oraz istnieje liczba naturalna n > 2 taka, że wszystkie drogi kołczanu Q długości co najmniej n należą do I. Układ (Q, I) złożony z kołczanu Q oraz ideału dopuszczalnego / C KQ będziemy nazywać kołczanem ograniczonym przez ideał I. Zauważmy, że jeśli (Q, I) jest kołczanem ograniczonym, to algebra A := KQ/I jest skończenie wymiarowa i bazowa, tzn. algebra ilorazowa A/ rad A jest produktem skończonej ilości kopii ciała K. Zauważmy przy tym, że rad A jest to przestrzeń liniowa rozpięta przez wszystkie drogi dodatniej długości. Mamy także twierdzenie odwrotne (patrz [Ga2], a także [Ga3]).

Twierdzenie 1.2.1 (Gabriel). Jeśli A jest algebrą bazową, to istnieje wyznaczony jednoznacznie kołczan Q oraz ideał dopuszczalny I C KQ taki, że A ~ KQ/I.

Kołczan, o którym mowa w twierdzeniu, będziemy nazywać kołczanem algebry A oraz oznaczać przez Qa■ Od tego momentu zakładać będziemy, że wszystkie rozważane algebry są bazowe.

12