plik


CALKI KRZYWOLI N I OWE I P OWI E RZCH N I OWE D E FIN ICJA . L uk gladki, t o kr z ywa o r o wn a n iu p a r a m e t r yc z n ym : x = x( t) , y = y( t) , t1 d" t d" t2 t a ka , ze r o zn ym wa r t o s c io m p a r a m e t r u t o d p o wia d a j r o zn e p u n kt y n a kr z ywe j, ze a fu n kc je x2 ( t) , y2 ( t) s a c ia g le o r a z [x2 ( t) ]2 + y2 ( t) ]2 = 0 d la d o wo ln e g o t " [t1, t2]. K rzywa regularna t o s u m a s ko n c z o n e j lic z b y lu ko w g la d kic h . D E FIN ICJA . K r z ywe j l m o zn a n a d a c orientacj : a lb o z a p o c z a t e k p r z yjm u je m y e p u n kt ( x( t1) , y( t2) ) , a z a ko n ie c ( x( t2) , y( t2) ) , a lb o z a p o c z a t e k p r z yjm u je m y p u n kt ( x( t2) ,y( t2) ) , a z a ko n ie c ( x( t1) , y( t1) ) . D E FIN ICJA . Za lo zm y, ze fu n kc ja f( x,y) je s t o g r a n ic z o n a w p e wn ym z b io r z e z a wie r a j c ym a kr z yw r e g u la r n a l. K r z yw l d z ie lim y n a n kr z ywyc h l1, . .. , ln. P r z e z " o z - a a i n a c z a m y d lu g o s c kr z ywe j li, a n a jwie ks z a z lic z b " , .. . ," n a z ywa m y norm a 1 n podzialu. N a ka zd ym lu ku li wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( xi, yi) . Two r z ym y sum e calkow a n = f( x1, y1) " + f( x2, y2) " + + f( xn, yn) " . 1 2 n Ta k p o s t e p u je m y d la n = 2 , 3 , .. . o t r z ym u ja c p e wie n c ia g p o d z ia lo w kr z ywe j l. Cia g t e n n a z ywa m y ciagiem normalnym podzialw, je ze li n o r m a p o d z ia lu d a zy d o z e r a p r z y n ! ". Je ze li d la ka zd e g o c ia g u n o r m a ln e g o p o d z ia lo w kr z ywe j l is t n ie je s ko n c z o n a g r a n ic a lim n ( t a ka s a m a b e z wz g le d u n a wyb o r lu ko w li o r a z p u n kt o w ( xi, yi) ) , t o n!" g r a n ic e t e n a z ywa m y calk krzywoliniow niezorientowan (nieskierowan funkcji a a a a) f( x,y) po krzywej l i o z n a c z a m y f( x, y) dl. l W L A S N OS CI ( Za kla d a m y, ze p o d a n e t u c a lki is t n ie ja ) . 1 . f( x, y) g( x, y) dl = f( x,y) dl g( x, y) dl; l l l 2 . f( x, y) dl =  f( x, y) dl; l l 3 . je s li l je s t r o z c ie t a n a l1 i l2, t o f( x, y) dl = f( x,y) dl + f( x, y) dl. l l1 l2 TW IE R D ZE N IE . Je ze li fu n kc ja f( x, y) je s t c ia g la w o b s z a r z e z a wie r a j c ym lu k g la d ki l, t o a t2 f( x, y) dl = f x( t) ,y( t) [x2 ( t) ]2 + [y2 ( t) ]2 dt. l t1 W N IOS E K . Je ze li fu n kc ja f( x,y) je s t c ia g la w o b s z a r z e z a wie r a j c ym lu k g la d ki l o p is a n y a r o wn a n ie m y = h( x) d la a d" x d" b, t o b f( x, y) dl = f x, h( x) [1 + [h2 ( x) ]2 dx. l a U W A GA . Oc z ywis c ie m o zn a t a kze s t o s o wa c wz o r z t wie r d z e n ia , p o p r o s t u kr z yw a l : y = h( x) , a d" x d" b m o zn a s p a r a m e t r yz o wa c n a p r z ykla d t a k l : x = t, y = h( t) , a d" t d" b. 1 P R ZY K L A D . Zn a le z c p o lo ze n ie s r o d ka m a s y je d n o r o d n e g o p o lo kr e g u l : x2 + y2 = 1 , y e" 0 . S ko r o kr z ywa je s t je d n o r o d n a , m o ze m y p r z yj c , ze g e s t o s c :( x, y) = k. a P o d s t a wia m y d o wz o r u n a ws p o lr z e d n e ( xs, ys) s r o d ka m a s y 1 1 xs = x:( x, y) dl, ys = y:( x,y) dl, m = :( x,y) dl. m m l l l K r z ywa l d a s ie o p is a c n a s t e p u ja c o : x = c o s t, y = s in t, 0 d" t d" .   2 2 Ma s a lu ku l wyn o s i m = kdl = k ( - s in t) + ( c o s t) dt = kdt = k. l 0 0   1 1 1 2 Za t e m ys = ky dl = s in tdt = - c o s t = . k l  0   0 Oc z ywis c ie , z e wz g le d u n a s ym e t r ie xs = 0 . Mo zn a t a kze o b lic z yc :   1 1 1 1 2 2 xs = kxdl = k c o s t ( - s in t) + ( c o s t) dt = c o s tdt = s in t] = 0 . 0 k l k 0  0  2 S r o d e k m a s y wie c t o p u n kt ( 0 , ) .  D E FIN ICJA . Za lo zm y, ze n a kr z ywe j r e g u la r n e j l s a o kr e s lo n e fu n kc je P( x,y) , Q( x,y) . Mo ze m y p r z yjm o wa c , ze je s t o kr e s lo n e p o le we kt o r o we : ka zd e m u p u n kt o wi ( x, y) je s t p r z y- ! p o r z a d ko wa n y we kt o r ( x, y) = [P( x,y) , Q( x,y) ]. K r z ywe j l n a d a je m y o r ie n t a c je . F ! N ie c h ( x,y) o z n a c z a we kt o r o d lu g o s c i 1 , z a c z e p io n y w p u n kc ie ( x,y) , s t yc z n y S d o kr z ywe j l i o z wr o c ie z g o d n ym z o r ie n t a c ja kr z ywe j l. Calka krzywoliniowa zorientowana p a r y fu n kc ji [P( x, y) , Q( x, y) ] p o kr z ywe j l t o ! ! ( x, y) % ( x,y) dl. F S l Ca lke t e o z n a c z m y P( x, y) dx + Q( x, y) dy. l W L A S N OS C. Je ze li kr z ywa -l r o zn i s ie o d l t ylko o r ie n t a c j , t o a P( x,y) dx + Q( x, y) dy = - P( x, y) dx + Q( x,y) dy. -l l TW IE R D ZE N IE . Za lo zm y, ze fu n kc je P( x, y) ,Q( x, y) s a c ia g le n a kr z ywe j r e g u - la r n e j l : x = x( t) , y = y( t) , t1 d" t d" t2 z o r ie n t o wa n e j t a k, ze p u n kt ( x( t1) , y( t1) ) je s t p o c z a t kie m t e j kr z ywe j. W t e d y t2 P( x, y) dx + Q( x,y) dy = P[x( t) , y( t) ]x2 ( t) + Q[x( t) , y( t) ]y2 ( t) dt. l t1 P R ZY K L A D . Ob lic z yc xydx + x2dy o d p u n kt u ( 0 , 0 ) d o ( 1 , 1 ) p o o d c in ku o r a z l p o lu ku p a r a b o li y = x2. Za c z n ijm y o d o d c in ka ; l : x = t, y = t, 0 d" t d" 1 . 1 1 2 2 W t e d y xydx + x2dy = ( t t 1 + t2 1 ) dt = 2 t2dt = t3 1 = . l 0 0 3 0 3 P o p a r a b o li l : x = t, y = t2, 0 d" t d" 1 n a t o m ia s t 1 1 3 3 xydx + x2dy = ( t t2 1 + t2 2 t) dt = 3 t3dt = t4 1 = . l 0 0 4 0 4 U W A GA . W p o wyzs z ym p r z ykla d z ie c a lka kr z ywo lin io wa z o r ie n t o wa n a o d p u n kt u A = ( 0 ,0 ) d o B = ( 1 , 1 ) z a le zy o d ks z t a lt u d r o g i la c z a c e j t e p u n kt y. Za u wa zm y je d n a k, ze Q2 ( x, y) = 2 x = Py2 ( x, y) = x. x D E FIN ICJA . Ob s z a r D n a z ywa m y jednospjnym, g d y ka zd a kr z ywa z a m kn ie t a z a - wa r t a w D o g r a n ic z a o b s z a r w c a lo s c i z a wa r t y w D. TW IE R D ZE N IE ( Gr e e n a ) . Je ze li fu n kc je P( x,y) , Q( x,y) ,Q2 ( x,y) , Py2 ( x, y) s a c i g le w o b s z a r z e je d n o s p o jn ym a x D i je ze li l je s t b r z e g ie m o b s z a r u D z o r ie n t o wa n ym d o d a t n io ( p r z e c iwn ie d o r u c h u ws ka z o we k z e g a r a ) , t o P( x,y) dx + Q( x, y) dy = Q2 ( x, y) - Py2 ( x,y) dxdy. x l D W N IOS E K . Je ze li o b s z a r D je s t je d n o s p o jn y i je ze li l je s t b r z e g ie m o b s z a r u D z o r ie n t o wa n ym d o d a t n io , t o p o le o b s z a r u D ( r o wn e 1 dxdy) wyn o s i D 1 pole( D) = xdy = - ydx = xdy - ydx. 2 l l l D E FIN ICJA . W yr a ze n ie P( x, y) dx+Q( x, y) dy n a z ywa m y r|niczk zupeln w o b s z a r z e D, g d y a a 2 2 is t n ie je t a ka fu n kc ja U( x, y) , ze Ux( x, y) = P( x,y) , Uy( x,y) = Q( x, y) . Fu n kc je ! U( x,y) n a z ywa m y potencjalem p o la we kt o r o we g o ( x, y) = [P( x, y) , Q( x, y) ]. F 2 TW IE R D ZE N IE . Za lo zm y, ze fu n kc je P, Q, Q2 , Q2 , Px,Py2 s a c ia g le w o b s z a r z e x y je d n o s p o jn ym D. N a s t e p u ja c e wa r u n ki s a r o wn o wa zn e : 1 . c a lka kr z ywo lin io wa z o r ie n t o wa n a P( x, y) dx + Q( x, y) dy n ie z a le zy o d AB ks z t a lt u kr z ywe j AB = l " D o p o c z a t ku A i ko n c u B; 2 2 . Q2 ( x,y) = Py( x, y) d la ( x,y) " D; x 3 . P( x, y) dx + Q( x, y) dy je s t r o zn ic z k z u p e ln a w D. a W L A S N OS C. Je ze li je s t s p e ln io n y ja kis wa r u n e k ( a wie c ws z ys t kie t r z y) z p o wyzs z e g o t wie r d z e n ia , t o c a lka kr z ywo lin io wa z o r ie n t o wa n a p o kr z ywe j l = AB je s t r o wn a r o zn ic y p o - t e n c ja lo w n a ko n c u i p o c z a t ku t e j kr z ywe j, t z n . Pdx + Qdy = U( B) - U( A) . AB x y P o n a d t o je s li ( x0, y0) " D, t o U( x,y) = P( t, y) dt + Q( x0, t) dt. x0 y0 ! P R ZY K L A D . Ob lic z yc p r a c e s ily ( x, y) = [y - 2 x,x - 2 y] wz d lu z lu ku kr z ywe j F 5 y = s in ( x) o d p u n kt u ( 2 , 0 ) d o p u n kt u ( 0 , 0 ) . P r a c a W = P( x, y) dx + Q( x, y) dy, g d z ie P( x, y) = y - 2 x,Q( x, y) = x - 2 y. l P o c h o d n e : Py2 = 1 = Q2 , wie c p o le we kt o r o we je s t p o t e n c ja ln e . Mo ze m y p r z yj c a x x0 = 0 , y0 = 0 . P o t e n c ja l t e g o p o la x y U( x, y) = ( y - 2 t) dt + ( -2 t) dt = yt - t2 t=x + -t2 t=y = yx - x2 - y2. t=0 t=0 0 0 S t a d W = U( 0 , 0 ) - U( 2 , 0 ) = 4 . D E FIN ICJA . P latem powierzchniowym gladkim n a z ywa m y p o wie r z c h n ie S = {( x, y, z) : z = h( x, y) , ( x, y) " D}, g d z ie D " R2 t o o b s z a r r e g u la r n y o r a z h2 , h2 s a c ia g le we wn e t r z u D. P owierzch- x y nia regularna (plat regularny) t o s u m a s ko n c z o n e j lic z b y p la t o w g la d kic h . D E FIN ICJA . Za lo zm y, ze fu n kc ja f( x, y, z) je s t o g r a n ic z o n a n a p la c ie r e g u la r n ym S. P la t S d z ie lim y n a n p la t o w S1,. . ., Sn. P r z e z " o z n a c z a m y p o le p la t a Si, a n a jwie ks z a i z e s r e d n ic z b io r o w S1, . . ., Sn n a z ywa m y norm podzialu. N a ka zd ym p la c ie Si a wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ( xi,yi, zi) . Two r z ym y sum calkow e a n = f( x1, y1,z1) " + f( x2, y2, z2) " + + f( xn, yn, zn) " . 1 2 n Ta k p o s t e p u je m y d la n = 2 ,3 , . .. o t r z ym u ja c p e wie n c ia g p o d z ia lo w p o wie r z c h n i S. Cia g t e n n a z ywa m y ci normalnym podzialw, je ze li n o r m a p o d z ia lu d a zy agiem d o z e r a p r z y n ! ". Je ze li d la ka zd e g o c i g u n o r m a ln e g o p o d z ia lo w p la t a S is t n ie je s ko n c z o n a g r a n ic a a lim n ( t a ka s a m a b e z wz g le d u n a wyb o r p la t o w Si o r a z p u n kt o w ( xi, yi, zi) ) , n!" t o g r a n ic e t e n a z ywa m y calk powierzchniow niezorientowan funkcji f( x,y,z) po a a a placie S i o z n a c z a m y f( x, y,z) dS. S W L A S N OS CI ( Za kla d a m y, ze p o d a n e t u c a lki is t n ie ja ) . 1 . f( x, y, z) g( x, y,z) dS = f( x, y, z) dS g( x, y,z) dS; S S S 2 . f( x, y, z) dS =  f( x, y, z) dS; S S 3 . je s li S je s t r o z c ie t a n a S1 i S2, t o f( x, y, z) dS = f( x, y,z) dS + f( x, y, z) dS. S S1 S2 TW IE R D ZE N IE . Je ze li fu n kc ja f( x, y) je s t c i g la n a p la c ie g la d kim S = {( x,y, z) : a z = h( x, y) , ( x, y) " D}, t o f( x,y,z) dS = f[x, y, h( x, y) ] 1 + [h2 ( x, y) ]2 + [h2 ( x, y) ]2 dxdy. x y S D D E FIN ICJA . Za lo zm y, ze n a p o wie r z c h n i r e g u la r n e j S = {( x, y, z) : z = h( x, y) ,( x, y) " D} s a o kr e s lo n e fu n kc je P( x, y, z) , Q( x, y,z) , R( x, y, z) . Mo ze m y p r z yjm o wa c , ze je s t o kr e s lo n e p o le we kt o r o we : ka zd e m u p u n kt o wi ( x, y, z) je s t p r z yp o r z a d ko wa n y we k- ! t o r ( x, y, z) = [P( x,y, z) ,Q( x, y, z) , R( x, y, z) ]. P o wie r z c h n ia S m a d wie s t r o n y, F ! je d n a z n ic h ( d o wo ln a ) n a z ywa m y dodatnia, d r u g a ujemn N ie c h ( x,y, z) o z n a c z a a. N we kt o r o d lu g o s c i 1 , z a c z e p io n y w p u n kc ie ( x, y, z) , p r o s t o p a d ly d o p o wie r z c h n i S, s kie r o wa n y o d s t r o n y u je m n e j d o s t r o n y d o d a t n ie j t e j p o wie r z c h n i. Calka powierzchniowa zorientowana t r o jki fu n kc ji [P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) ] p o d o d a t n ie j s t r o n ie p o wie r z c h n i S t o ! ! ( x, y, z) % ( x,y,z) dS. F N S Ca lke t e o z n a c z a m y P( x, y, z) dydz + Q( x,y, z) dxdz + R( x, y,z) dxdy. S W L A S N OS C. Je ze li S+ je s t d o d a t n i , a S- u je m n a s t r o n a p o wie r z c h n i S, t o a P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x,y,z) dxdy = S- - P( x,y,z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy. S+ TW IE R D ZE N IE . Za lo zm y, ze fu n kc je P( x, y, z) , Q( x,y,z) , R( x, y, z) s a c ia g le n a p o wie r z c h n i r e g u - la r n e j S = {( x,y,z) : z = h( x,y) , ( x, y) " D}. N ie c h d o d a t n i s t r o n a p o wie r z c h n i a ! S b e d z ie s t r o n a g o r n a Sg ( t z n . t a s t r o n a , ze k t  m ie d z y we kt o r e m ( x, y, z) a a N ! % we r s o r e m s p e ln ia wa r u n e k 0 d"  d" 9 0 ) . W t e d y k P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y,z) dxdy = Sg -P[x, y, h( x, y) ]h2 ( x,y) - Q[x, y, h( x, y) ]h2 ( x, y) + R[x, y, h( x,y) ] dxdy. x y D TW IE R D ZE N IE ( Ga u s s a - Os t r o g r a d s kie g o ) . 2 2 Za lo zm y, ze fu n kc je P, Q, R, Px, Q2 , Rz s a c ia g le w o b s z a r z e B " R3 n o r m a ln ym y wz g le d e m ws z ys t kic h t r z e c h p la s z c z yz n u kla d u ws p o lr z e d n yc h . P o n a d t o , n ie c h b r z e g b r yly B b e d z ie p o wie r z c h n ia r e g u la r n a i n ie c h S o z n a c z a z e wn e t r z n a s t r o n e t e j p o wie r z c h n i ( s t r o n a d o d a t n ia je s t s t r o n a z e wn e t r z n a ) . W t e d y P( x, y, x) dydz + Q( x, y, x) dxdz + R( x, y, z) dxdy = S 2 2 Px( x, y, z) + Q2 ( x,y, z) + Rz( x, y, z) dxdydz. y B ! P R ZY K L A D . Ob lic z yc s t r u m ie n S p o la we kt o r o we g o ( x, y,z) = [2 x, 3 y,4 z] F p r z e c h o d z a c y p r z e z we wn e t r z n a s t r o n e s fe r y S : x2 + y2 + z2 = 1 . S = P( x,y,z) dydz + Q( x, y, z) dxdz + R( x, y, z) dxdy = S 2 2 - Px( x, y, z) + Q2 ( x,y, z) + Rz( x, y, z) dxdydz, y B g d z ie B t o ku la ( b r yla o g r a n ic z o n a p o wie r z c h n i S) o p is a n a n ie r o wn o s c i a a x2 + y2 + z2 d" 1 . Za t e m 4 S = - ( 2 +3 +4 ) dxdydz = -9 1 dxdydz = -9 obj( B) = -9  = -1 2 . 3 B B

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wb równania różniczkowe 1 stopnia
Całki krzywoliniowe
wb
Arkusz nr 6 (Funkcja uwikłana i całki krzywoliniowe)
calki krzywoliniowe I i II rodzaju
rehis,analiza matematyczna 2 3,calki krzywoliniowe
ANALIZA MATEMATYCZNA CAŁKI KRZYWO LINIOWE
03 2 Zastosowanie całki krzywoliniowej w mechanice
(Całki krzywoliniowe i powierzchniowe)
BW 28 kpl
w całki podwójne
calki w
2001B

więcej podobnych podstron