Lista nr 3 EiT, sem.III, studia dzienne, 2006/07.
Ca krzywoliniowe skierowane i nieskierowane.
lki
1. Obliczyć:

a) 2xydx - x2dy, jeżeli AB jest: 1ć% odcinkiem, 2ć% lukiem paraboli y = x2 lacz� punkt A(0, 0) z punktem B(1, 1),
� acym
AB
b) xdy, jeżeli AB jest lukiem elipsy o przedstawieniu parametrycznym x = a cos t, y = b sin t, t " 0; Ą/2 , niezgodnym

AB
z kierunkiem tego luku,


c) (2a - y)dx + xdy, jeżeli AB jest lukiem cykloidy o przedstawieniu parametrycznym x = a(t - sin t),

AB
y = a(1 - cos t), t " 0; 2Ą , niezgodnym z kierunkiem tego luku,


d) x2dx + y2dy, jeżeli K jest okr� o równaniu x2 + y2 = 1, skierowanym dodatnio wzgl� swego wn�
egiem edem etrza,
K

e) xdx + ydy, jeżeli K jest brzegiem kwadratu o wierzcho A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1) i D(1, 0), skierowanym dodatnio
lkach
K
wzgl� swego wn�
edem etrza,

xdx + ydy
f) , gdzie K jest czwart� cz�ścia elipsy leż� a w pierwszej ćwiartce, w kierunku zgodnym z ruchem
a e � ac�
1 + x2 + y2
K
wskazówek zegara,

dx + dy
g) , gdzie K jest krzyw� |x| + |y| = 1 skierowan� dodatnio wzgl� wn�
a a edem etrza,
|x| + |y|
K

"

xdx dy Ą - 3 2 - 3
h) + , gdzie AB jest skierowanym lukiem cykloidy x = t-sin t, y = 1-cos t, od punktu A ,

y y - 1 6 2
AB

"
2Ą - 3 3 1
do B , ,
6 2

y2dx - x2dy
i) , gdzie AB jest skierowanym lukiem asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t od punktu A(0, a) do B(a, 0).

x5/3 + y5/3
AB
2. Obliczyć:

a) (y - z)dx + (z - x)dy + (x - y)dz po luku AB linii śrubowej o przedstawieniu parametrycznym

AB
x = cos t, y = sin t, z = t, t " 0; 2Ą , niezgodnym z kierunkiem tego luku,


b) xdx + ydy + zdz po okr� K o przedstawieniu parametrycznym x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 3, t " 0; 2Ą , zgodnym
egu
K
z jego kierunkiem,

2x + z 2y + z z2 - x2 - y2
c) dx + dy + dz, gdzie AB jest odcinkiem prostej skierowanym od punktu A(1, 2, 1) do
z z z2
AB
punktu B(3, 1, 3).

dl
3. Obliczyć ca e , gdzie L jest odcinkiem lacz� punkty A(0, 0) i B(1, 2).
lk� � acym
x2 + y2 + 4
L

4. Obliczyć ca e xydl, jeżeli L jest brzegiem kwadratu |x| + |y| = 1.
lk�
L
t4 t6
5. Obliczyć d luku krzywej x = 2 - , y = mi� jej punktami przeci� z osiami uk
lugość edzy ecia ladu.
4 6