4834887619

Egzamin z Matematyki Obliczeniowej, II rok Mat.

{Ściśle tajne przed godz. 9:00 22 czerwca 2015.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1.    Macierz A o wymiarach n x n jest symetryczna. Opisz, jak można stosować odwrotną metodę potęgową do tej macierzy, mając do dyspozycji tylko procedurę znajdowania rozkładu na czynniki trójkątne metodą Choleskiego, procedury rozwiązywania układów równań liniowych z macierzami trójkątnymi i procedurę obliczania iloczynu skalarnego. W szczególności, jakie pary własne macierzy A da się znaleźć przy użyciu odwrotnej metody potęgowej zaimplementowanej przy użyciu tylko tych procedur?

2.    Utwórz odpowiednią bazę Newtona i znajdź wielomian w stopnia co najwyżej 4 (tj. współczynniki wielomianu w tej bazie) spełniający warunki interpolacyjne Hermite’a podane w tabelce:

X	-1	3
w(x)	-3	73
w'(x)	-1	103
w"(x)	10

Następnie, bez przechodzenia do bazy potęgowej, oblicz w(1) oraz w"(3).

3.    Niech f(x) = max{0,2x} dla x G [—1,1]. Znajdź wielomian stopnia co najwyżej 3, który jest optymalnym przybliżeniem funkcji f w sensie aproksymacji jednostajnej i podaj błąd aproksymacji dla tego wielomianu. Uzasadnij, że znaleziony wielomian jest optymalny, powołując się na odpowiednie twierdzenie z wykładu. Wskazówka. Najpierw rozwiąż zadanie aproksymacji dla funkcji g(x) = |x|, zaczynając od zrobienia wykresu.

4.    Całkę I(f) = Jgf(x)xdx przybliżamy kwadraturą Q(f) = Aof(0) 4- Aif(c). Dobierz węzeł c i współczynniki Ao, A] tak, aby rząd kwadratury Q, oznaczony literą r, był jak największy. Znajdź ten rząd i podaj oszacowanie błędu kwadratury dla funkcji f G C^r[0,2].