4834887622

Egzamin z Metod Numerycznych, III rok Inf.

(Ściśle tajne przed godz. 14:30 28 stycznia 2012.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Na ocenę bardzo duży wpływ będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1.    Wykonaj dwie iteracje metody Newtona dla układu równań

j x³ + x - xy - 2y² = -4,

(    y³-y = -6,

dla punktu startowego (xo,yo) = (2,-2).

2.    Wartość wyrażenia w = a³ — b³ została obliczona przy użyciu następującego algorytmu, zrealizowanego za pomocą arytmetyki zmiennopozycyjnej:

xl = a*a+b*b; x2 = a+b;

x3 = 0.5*(xl+x2*x2); w = x3*(a-b);

Napisz wyrażenie, którego wartością jest błąd (bezwzględny) otrzymanego wyniku, jeśli w żadnym z działań nie wystąpił nadmiar ani niedomiar.

3.    Wartości fi,..., fu pewnej funkcji rzeczywistej f są podane w punktach xi,..., Xn . Funkcja ta ma być przybliżona przez wielomian w stopnia co najwyżej n < N tak, aby wyrażenie (fi — w(xi))² było jak najmniejsze. Napisz układ równań liniowych, taki że rozwiązanie powyższego zadania aproksymacji można sprowadzić do liniowego zadania najmniejszych kwadratów dla tego układu.

Podaj algorytm rozwiązywania tego zadania za pomocą odbić Householdera. Jaki jest koszt tego algorytmu w zależności od liczb n i N?

4.    Skonstruuj odpowiednią bazę Newtona i rozwiąż przy użyciu algorytmu różnic dzielonych zadanie interpolacyjne Hermite’a dla danych przedstawionych

	1	3
f(Xi)	-4	-8
f'(Xi)	-10	30
f"(x0	-8

w tabelce: