5469091771

Uwaga 2.3

Funkcja ma pochodną w punkcie Zq ||(zo) = 0 gdy pochodna funkcji / nie zależy od od kierunku <j> w punkcie Zq.

2.5 Funkcje holomorficzne

Definicja 2.7

Funkcję f(z) nazywamy holomorficzną (różniczkowalną w sensie zespolonym) w obszarze D jeśli w każdym punkcie z G D istnieje pochodna f'{z).

Ozn. f € H(D).

Definicja 2.8

Funkcję f(z) nazywamy holomorficzną (różniczkowalną w sensie zespolonym) w punkcie z₀ £ D jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu.

Przykład 2.4

Zbadać holomorficzność funkcji /(z) = \z\² = zż.

Wiadomomo, że /'(zo) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy %(zq) = 0. Policzymy ||(z) = z. Stąd ||(z) = 0 z = 0. Zatem / ma pochodną tylko w zq = 0. Policzymy ją z definicji

= lim

f{z) - f(zo)

z - Zo

— lim

z—►O

zz — 0 z — 0

lim z = 0.

z-> o

- / ma pochodną tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie Zq = 0, ani w całej płaszczyźnie C.

Przykład 2.5

Zbadać holomorficzność funkcji /(z) = z²ź.

Z₀ = 0.

Policzymy ||(z) = z². Stąd ||(z) = 0 O z = 0. Zatem / ma pochodną tylko Policzymy ją z definicji

/'M =

_lim /(z) - /(*o)

z->0 Z — Zo

= lim

z-yO

Z²Z — 0

z — 0

— lim zż — 0

z—>0

- / ma pochodną tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie zo = 0, ani w całej płaszczyźnie C. Jest to kolejny przykład funkcji, która ma pochodną w punkcie ale nie jest w nim holomorficzna.