5673850455

Modelowanie matematyczne    dr inż. Zbigniew Tarapata

Wykład nr 5: Modele teorii gier

7.2 GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZERO

Załóżmy, że w grze bierze udział dwóch graczy ostrożnych i inteligentnych: gracz A i gracz B. Każdy z nich może samodzielnie podejmować decyzje (nazywane strategiami gracza). Przyjmijmy, że gracz A ma ich M, a gracz B-N. Dla każdej pary (i,j) decyzji graczy A i B znana jest pewna liczba a,j oznaczająca wygraną gracza A w przypadku, gdy gracz ten podejmie decyzję o numerze i przy podjęciu przez gracza B decyzji o numerze j. Macierz M_a=[ą]a/,,v nazywać będziemy macierzą wypłat gracza A. Dla gracza B, w przypadku gier z zerową sumą wypłat, macierz wypłat jest równa M_B= -M_A. Oczywistym jest, że gracz A będzie się starał zmaksymalizować swoją wygraną, a gracz B - zminimalizować swoją przegraną (ujemna wygrana gracza A oznacza wygraną gracza B). Interesy obu graczy są więc sprzeczne. Obaj gracze będą dążyć do osiągnięcia tzw. punktu równowagi w grze. Jest to taka sytuacja (para strategii (i, j) obu graczy), która zapewni graczowi A możliwie największą wygraną, graczowi B - możliwie najmniejszą stratę oraz zmiana tej pary strategii przez obu graczy nie jest dla żadnego z nich opłacalna. Element a y nosi nazwę wartości V gry. Punkt równowagi nazywa się często punktem siodłowym macierzy wypłat. Jest to element macierzy znajdujący się na przecięciu wiersza o takim numerze i_ oraz kolumny, o takim numerze /. że element °,y jest najmniejszy w swoim wierszu i jednocześnie największy w swojej kolumnie. Formalnie punkt równowagi jest wyznaczany następująco: wyznaczyć taką parę strategii (i ,j), dla której zachodzi:

(7.8)

max min a„ = min max a,,=a.. = V .....y)    ...Mi    ‘¹

Jeżeli w grze istnieje taka para strategii, dla której spełnione jest (7.8), to parę tą nazywamy rozwiązaniem gry w zbiorze tzw. strategii czystych. Strategię czystą można utożsamiać z taką decyzją gracza, która jest podejmowana tylko raz.