5826503872

Optymalizacja z ograniczeniami równościowymi - funkcja Lagrange’a

Dana jest funkcja F(x), gdzie x G &^N oraz M ograniczeń równościowych ę?_m(x) = 0; m = 1, 2,, M. Zadanie optymalizacji z ograniczeniami można sprowadzić do zadania optymalizacji bez ograniczeń funkcji Lagrange’a:

M

L(x, A) = F(x) + Y -Wm(x),

m=l

gdzie A = [ Ai A2 ■■■ \m ] 1 jest wektorem tzw. mnożników Lagrange’a. Punkt optymalny jest wówczas rozwiązaniem następującego układu równań:

V_xL(x, A) = 0,

V_aL(x,A) = 0.

Jeżeli zachodzi podejrzenie o istnieniu rozwiązań nieregularnych, można je wyznaczyć z tego samego układu równań, z tym, że funkcja Lagrange’a ma wówczas postać:

M

L(x, A) = A_mę?_m(x).

Optymalizacja z ograniczeniami nierównościowymi - warunki Kuhna-Tuckera

Dana jest funkcja F(x), gdzie x G &^N oraz M ograniczeń ^_m(x) <0; m = 1,2,..., M. Zadanie optymalizacji z ograniczeniami można sprowadzić do zadania optymalizacji bez ograniczeń funkcji Lagrange’a:

M

£(x, /1) = F(x) + Y WfcW,

m=l

gdzie p. = [ /Lti /X2 • • •    ] , jest wektorem tzw. mnożników Lagrange’a. Punkt

optymalny jest wówczas rozwiązaniem następującego układu:

V_xL(x, p) = 0.

V_mL(x, p) < 0,

= 0, m = 1,2,..., M,

p_m > 0, m = l,2,...,M.

10