7355923244

Analiza input - oulpul. Notalki S. Dorosiewicz, J. Slasieńko Strona 16 z 28

(/ - A)X = Y,

gdzie I oznacza macierz jednostkową stopnia n.

Oznaczając L = I-A, można powyższemu równaniu nadać postać:

LX = Y

Macierz L nazywamy macierzą Leontiewa układu gospodarczego.

Założenie o stabilności relacji między nakładami a wynikami produkcji oznacza stabilność macierzy kosztów, a więc także macierzy Leontiewa (macierz jednostkowa stopnia n jest zawsze taka sama!).

Równanie modelu Leontiewa LX = Y

spełnione jest także dla przyrostów produkcji globalnej i końcowej. Sprawdźmy, że tak jest istotnie. Przypuśćmy, że w dwóch momentach czasu wektory produkcji globalnej są równe odpowiednio X_x oraz X₂, a wektory produkcji końcowej odpowiednio Y_t i Y₂. Założenie o stabilności macierzy Leontiewa (a więc odpowiednie elementy macierzy obliczonych dla obu momentów czasu są sobie równe) możemy zapisać równania LX_l=Y_l

oraz

lx₂=y₂.

Odejmując je stronami otrzymujemy równość Z,AX = AY

gdzie AX = X₂ - X, oraz AY=Y₂- Y_t oznaczają wektory przyrostów odpowiednio produkcji globalnej i końcowej układu. Powyższe równanie pozwala zinterpretować elementy macierzy Leontiewa.

Przypuśćmy, że celem jest zinterpretowanie elementu l_mk znajdującego się w m - tym wierszu i k - tej kolumnie macierzy Leontiewa. Podstawiając w powyższym równaniu wektor przyrostu produkcji globalnej AX o współrzędnych

f 1 gdy i = k,

AX,=\    ⁶ *

[0 gdy i k,

otrzymujemy przyrosty wartości produkcji końcowej w poszczególnych gałęziach układu.

Wartość tego przyrostu w m - tej gałęzi jest równa

AY„, = l_mk.

Oznacza to, iż wartość elementu l_mk jest równa przyrostowi produkcji końcowej m - tej gałęzi spowodowaną wzrostem wartości produkcji globalnej k - tej gałęzi o jednostkę (1 j.p..), przy niezmienionej wartości produkcji globalnej w pozostałych gałęziach.

Z równania LAX = AY można wyciągnąć jeszcze wiele dodatkowych wniosków. Oto niektóre z nich.

•    Elementy stojące w k - tej kolumnie macierzy L informują o ile zmieni się produkcja końcowa kolejnych gałęzi, jeśli produkcja globalna k - tej gałęzi wzrośnie o jednostkę przy stałej produkcji globalnej w pozostałych gałęziach.

•    Suma ^/_mł. elementów k -tej kolumny

macierzy L jest równa przyrostowi wartości produkcji końcowej całego układu gospodarczego w wyniku wzrostu wartości produkcji globalnej k - tej gałęzi o jednostkę, przy stałej wartości produkcji globalnej w pozostałych gałęziach.

•    Suma ^]/_mł. elementów m - tego wiersza

macierzy L jest równa przyrostowi produkcji końcowej m - tej gałęzi w wyniku jednoczesnego wzrostu wartości produkcji globalnej w każdej z gałęzi o jednostkę (1 j-P)-

PRZYKŁAD

Macierz Leontiewa dla układu gospodarczego opisanego następującą tablicą przepływów międzygałęziowych

Xi	Xii			Yi
100	20	10	30	40
150	25	45	45	35
160	15	60	55	30
Xoi+ Zi	40	35	30
Xi	100	150	160

jest równa

20

10    30

10    30

1 0 0' L= 0 1 0 0 0 1

100 150    160

25    45    45

T00 150 TóO 15    60    55

100    150    160

25    105    45

’ 100    150    160

15    60    105

100    150    160.

100

150    160

W szczególności wynika z tego, że:

Instytut Ekonometrii SGH