1257951400

42

g = t_c -1    (4.48)

gdzie: t_c jest funkcją wektora losowego X.

Prawdopodobieństwo uszkodzenia określa relacja

Pf= P(g < 0)    (4.49)

Wykorzystując indeks Hasofera-Linda p [49, 63, 140, 141] przybliżenie pierwszego rzędu prawdopodobieństwa zniszczenia określimy jako:

Pf=<K-p)    (4.50)

gdzie:

P = -">    (4.51)

<|) - dystrybuanta rozkładu normalnego, p_g - wartość oczekiwana funkcji g,

s_g - odchylenie standardowe funkcji g.

W przypadku zaistnienia możliwości uszkodzenia konstrukcji na skutek „z” różnych przyczyn, prawdopodobieństwo pf_c tego uszkodzenia możemy oszacować w następujący sposób

Pfc > max pfi    (4.52)

gdzie: pn jest prawdopodobieństwem uszkodzenia z powodu i—tej przyczyny. Równocześnie zachodzi [10]

Pfc - Pfi + Pf2 + ••• - P[(gi < 0) n (g₂ < 0) n...] < ^ p_fi    (4.53)

i = 1

gdzie: P [(g₂ < 0) n (g₂ < 0) o...] jest prawdopodobieństwem uszkodzenia według dwóch lub więcej przyczyn.

Jeżeli przyjąć wzajemną niezależność możliwych przyczyn uszkodzeń oraz założyć małe wartości prawdopodobieństwa, to oszacowanie całkowitego prawdopodobieństwa uszkodzenia możemy zapisać następująco:

Z

(4.54)

Pfc = Pfi

i = 1

Niezawodność R(t) rozumiana jako prawdopodobieństwo nieuszkodzenia elementu w danym czasie t jest określone relacją:

R(t) = P (g > 0)    (4.55)

a zatem może być obliczana z zależności

R(t) = 1 - Pf_c    (4.56)

W wyniku rozwiązania powyższego modelu probabilistycznego otrzymujemy prawdopodobieństwo zniszczenia lub niezawodności elementów w danym czasie. Pozwala on także na ocenę wpływu wybranych charakterystyk danych wejściowych na prawdopodobieństwo zniszczenia.

4.5. Metody analizy probabilistycznej

Rozwiązanie modelu probabilistycznego wymaga zastosowania odpowiednich metod analizy probabilistycznej. Poniżej omówiono symulacyjną metodę Monte Carlo [33] oraz aproksymacyjną metodę estymacji punktowej (PEM).

4.5.1. Metoda symulacji Monte Carlo

Procedura symulacji składa się z czterech etapów:

-    generacja liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym z przedziału

(0,1),

-    symulacja losowych realizacji elementów wektora X o zadanym typie rozkładu (np. rozkład normalny),

-    wielokrotne rozwiązanie modelu deterministycznego,

-    statystyczna analiza rezultatów.

Do generowania liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym stosowano standardowe generatory będące w bibliotekach oprogramowania komputerowego. Większym problemem jest generowanie liczb o rozkładzie normalnym. Zastosowanie tutaj metody odwracania dystrybuanty wymaga znalezienia funkcji odwrotnej do dystrybuanty rozkładu normalnego, funkcji zaś takiej nie można przedstawić za pomocą prostej formuły.

W pracy wykorzystano aproksymację C. Hastingsa oraz generatory G.E. Boxa i M.E. Mullera [148].

Po wygenerowaniu elementów losowego wektora danych wejściowych następuje wielokrotne rozwiązanie algorytmu deterministycznego oraz obliczenie funkcji zachowania (4.49). Oznaczając przez l_f liczbę symulacji, dla któ-