Paweł Łukasik

Sprawdzanie wzoru na okres drgań wahadła sprężynowego

1. Wstęp teoretyczny

Ruchem harmonicznym nazywamy prostoliniowy ruch w którym siła działająca na ciało wykonujące ruch jest wprost proporcjonalne do odległości od pewnego stałego punktu i stale skierowana do tego punktu. Punkt ten nazywa się punktem zerowym i określa ,w rozważanych przez nas przypadkach, położenie ciała
w stanie równowagi. Siła działająca w ruchu harmonicznym jest więc siłą przyciągającą ciało do położenia równowagi.

Wahadło sprężynowe

Wahadłem ,które drga pod wpływem sił sprężystości nazywamy wahadłem sprężynowym.

Jeśli odciągniemy kulkę do położenia B, to na skutek deformacji sprężyny pojawi się siła reakcji sprężystej skierowana do punktu zerowego A(położenia równowagi). Gdy następnie puścimy kulkę swobodnie, to będzie ona poruszała się ku punktowi A. Na skutek bezwładności minie go i dojdzie do punktu C,
w którym na chwilę się zatrzyma. Przy położeniu kulki w punkcie C sprężyna jest też zdeformowana (ściśnięta). Siła sprężystości jest zawsze skierowana przeciwnie niż kierunek deformacji ,tzn. do położenia równowagi. Kulka więc znowu będzie się poruszała ku punktowi A, na skutek bezwładności minie go, dojdzie do punktu B, znów zawróci itd.

Wielkością stałą dla danego ruchu harmonicznego jest

Jeśli przez T oznaczymy okres drgań w ruchu harmonicznym:

Zatem wzór na okres drgań w ruchu harmonicznym ma postać:

Jednakże wzór ten odnosi się wyłącznie do punktu materialnego, ale
w doświadczeniu musimy jeszcze uwzględnić ciężar całego układu drgającego: wskazówki ,szalki i sprężyny zatem prawidłowy wzór jest następujący:

2. Zestaw doświadczalny

Zestaw doświadczalny składał się z:

• sprężyn

• statywu

• odważników

3. Wykonywane czynności

Mocujemy sprężynę w statywie i zawieszamy na jej końcu wskazówkę wraz
z szalką , oraz odważniki. Odciągamy szalkę ku dołowi ,a następnie puszczamy ją swobodnie. Mierzymy czas kilkudziesięciu pełnych drgań. Pomiar powtarzamy trzykrotnie. Wyniki zapisujemy w tabeli ,przy czym nie powinny się one różnić więcej niż o 1 s.

Aby obliczyć okres drgań musimy znać:

m_s - masa sprężyny , m - masa odważników oraz wskazówki wraz
z szalką.

Wskazówkę i odważniki ważymy na wadze technicznej z dokładnością do 0,01g.

W celu wyznaczenia k postępujemy w sposób następujący. Notujemy położenie x₀ ,gdy sprężyna jest nieobciążona. Następnie zawieszamy odważnik i notujemy odpowiednie położenie x₁. Wychylenie x równe jest x₁-x₀.
Znając masę odważnika obliczymy siłę F , której wartość równa jest ciężarowi odważnika, czyli: F=m*g (g=9,81 m/s²).

Mając F i x określamy k ,ze wzoru. Następnie zwiększamy obciążenie sprężyny
i ponownie znajdujemy k.

Wykonujemy 5-10 takich pomiarów zwiększając odpowiednio obciążenie sprężyny. Wszystkie wyniki zapisujemy w tabeli wyników.

Jako k przyjmujemy średnią arytmetyczną z obliczonych wartości.

Znając m , m_s i k wstawiamy ich wartość do wzoru

i obliczamy okres drgań T.

4. Tabela wyników

Sprężyna 1:

Liczba drgań	Czas n drgań	Okres T	T średnie
20	7,10	0,355	0,353
		7,10		0,355
		7,20		0,350
	30	11,10		0,370	0,372
		11,20		0,373
		11,20		0,373
	40	17,20		0,430	0,440
		17,40		0,435
		17,40		0,435

Wyniki dla wyznaczania współczynnika k:

Położenie wskazówki x1 [m]	Masa odważników [kg]	Ciężar odważników [N]	Położenie wskazówki po obciążeniu x2[m]	Wydłużenie [m]	Wydłużenie średnie [m]	Współczynnik sprężystości k [N/m]
0,086	0,050	0,4905	0,103	0,017	0,016	30,65625
0,086	0,050	0,4905	0,101	0,015
0,086	0,050	0,4905	0,102	0,016
0,086	0,100	0,981	0,114	0,028			0,029	33,82759
0,086	0,100	0,981	0,116	0,030
0,086	0,100	0,981	0,115	0,029
0,086	0,150	1,4715	0,127	0,041			0,041	35,60081
0,086	0,150	1,4715	0,128	0,042
0,086	0,150	1,4715	0,127	0,041

K średnie wynosi: k_śr = 33,36155 N/m²

Podstawiając odpowiednie dane do wzoru otrzymuję:

T₅₀ = 0,312 [s

T₁₀₀ = 0,383 [s]

T₁₅₀ = 0,441 [s]

Sprężyna 2:

Liczba drgań	Czas n drgań	Okres T	T średnie
20	5,20	0,260	0,260
		5,10		0,255
		5,30		0,265
	30	10,40		0,346	0,342
		10,20		0,340
		10,20		0,340
	40	17,20		0,430	0,428
		17,00		0,425
		17,20		0,430

Wyniki dla wyznaczania współczynnika k:

Położenie wskazówki x1 [m]	Masa odważników [kg]	Ciężar odważników [N]	Położenie wskazówki po obciążeniu x2[m]	Wydłużenie [m]	Wydłużenie średnie [m]	Współczynnik sprężystości k [N/m]
0,121	0,050	0,4905	0,132	0,011	0,011	44,59091
0,121	0,050	0,4905	0,131	0,010
0,121	0,050	0,4905	0,133	0,012
0,121	0,100	0,981	0,143	0,022			0,022	43,92537
0,121	0,100	0,981	0,143	0,022
0,121	0,100	0,981	0,144	0,023
0,121	0,150	1,4715	0,158	0,037			0,037	39,06637
0,121	0,150	1,4715	0,159	0,038
0,121	0,150	1,4715	0,159	0,038

K średnie wynosi: k_śr = 42,52755 N/m²

Podstawiając odpowiednie dane od wzoru otrzymuję:

T₅₀ = 0,259

T₁₀₀ = 0,336

T₁₅₀ = 0,421

5. Dyskusja błędu

Dyskusję błędu przeprowadzamy metodą różniczkową:

1. dla odważnika 50 g.

Δm_s=0,000025 kg

ΔT_max = 0,02522 + 0,00001927 = 0,0252486 [s]

Błąd bezwzględny: T ± ΔT_max = 0,312 [s] ± 0,0252486 [s]

Błąd względny:
8,09 %

Postępując w ten sposób obliczam błędy dla kolejnych T pierwszej sprężyny otrzymując następujące wyniki:

T₁₀₀

Δk_max = 5,832342 [N/m]

δ_k = 19,02 %

ΔT_max = 0,022865 [s]

δ_T = 5,96 %

T₁₅₀

Δk_max = 2,5085 [N/m]

δ_k = 8,18 %

ΔT_max = 0,009193 [s]

δ_T = 2,07 %

Wyniki dla drugiej sprężyny:

T₅₀

Δk_max = 8,115702 [N/m]

δ_k = 26,47 %

ΔT_max = 0,021016 [s]

δ_T = 8,11 %

T₁₀₀

Δk_max = 6,080579[N/m]

δ_k = 19,83 %

ΔT_max = 0,016109 [s]

δ_T = 4,71 %

T₁₅₀

Δk_max = 3,232286 [N/m]

δ_k = 10,54 %

ΔT_max = 0,010216 [s]

δ_T = 2,42 %

-1-

---