Politechnika Śląska
Wydział AEiI
Laboratorium z fizyki
Prawidłowości statystyczne przy rejestracji promieniowania jonizującego
Grupa 4., sekcja 7.
Wioletta Bujak
Arkadiusz Mazur
Andrzej ZwierzchowskiWstęp teoretyczny.
Rozkład Poissona.
Rozkład Poissona jest rozkładem prawdopodobieństwa niezależnych zjawisk charakteryzujących się bardzo małym prawdopodobieństwem. Przykładem tego może być promieniowanie jonizujące, ponieważ źródło promieniowania zbudowane jest z pewnej ilości N atomów izotopu promieniotwórczego. Rozpad pojedynczego jądra atomu próbki nie ma wpływu na rozpad jąder innych atomów.
W przypadku rozkładu Poissona rozkład zmiennej losowej X można przedstawić w postaci:
P.(X=k) = lk/ k! Exp(-l)
Dla rozpadu tego mamy, że :
E(X) = D2(X) = l
czyli wartość oczekiwana, wariacja i l są równe.
Test c2.
Test c2 jest testem ustalający stopień zgodności wyników otrzymanych na drodze empirycznej z wynikami uzyskanych z obliczeń teoretycznych. W przypadku rejestracji naszego doświadczenia ustalamy niezgodność rozkładu równomiernego.
Zmienna losowa c2 wynosi:
9
c2 = S xn2
n=0
gdzie :
xn = (kn - k/10) / Ö(k/10)
kn jest liczbą prób, w których otrzymano cyfrę n
wartość oczekiwana tego rozkładu E(X) = k/10, a dyspersja w przybliżeniu D(X) » Ö (1/k) ; czyli E(X) = 0, D(X) = 1.
Opis stanowiska pomiarowego.
Stanowisko przystosowane jest do badania prawidłowości statystycznych przy rejestracji promieniowania jonizującego. Zestaw składa się z następujących elementów:
licznika Geigera Mullera rejestrującego promieniowanie jonizujące,
izotopowego źródła promieniowania,
przelicznika połączonego z licznikiem G-M., który zlicza impulsy promieniowania,
mikrokomputera z programem realizującym trzy rozkłady statystyczne:
- rozkład Poissona,
- rozkład wykładniczy,
- rozkład równomierny.
Mikrokomputer jest połączony z przelicznikiem, aby program miał dostęp do danych o ilości zliczeń.
Obliczenia.
Rozkład Poissona:
Pomiary przeprowadzone zostały dla szybkości zliczeń wynoszących 0,5 imp/s, 2 imp/s, 7 imp/s. Dla każdego z pomiarów obliczone zostały wartość oczekiwana i dyspersja. W każdym z powyższych przypadków należało sprawdzić, czy kwadrat dyspersji jest w przybliżeniu równy wartości średniej.
Wyniki pomiaru dla szybkości zliczeń 0,5 imp/s :
wartość średnia: 0,77778
dyspersja: 1,54879
kwadrat dyspersji: 2,39875
Wyniki pomiaru dla szybkości zliczeń 2 imp/s :
wartość średnia: 2,14179
dyspersja: 2,19758
kwadrat dyspersji: 4,82936
Wyniki pomiaru dla szybkości zliczeń 7imp/s :
wartość średnia: 7,25263
dyspersja: 4,6241
kwadrat dyspersji: 21,3823
W każdym z powyższych przypadków kwadrat dyspersji nie jest w przybliżeniu równy wartości oczekiwanej.
Test c 2:
Test c 2 przeprowadzamy dla rozkładu równomiernego. Wygenerowane dane losowe umieszczone zostały w poniższej tabelce:
Cyfra |
Ilość wystąpień |
0 |
20 |
1 |
25 |
2 |
24 |
3 |
31 |
4 |
20 |
5 |
19 |
6 |
20 |
7 |
19 |
8 |
18 |
9 |
20 |
Zmienna losowa kn jest to ilość prób, w których otrzymano cyfrę n, k jest to całkowita liczba wygenerowanych cyfr. W tym przypadku k wynosi 216.
Wartość oczekiwana tego rozkładu równa jest:
E(K) = 21,6
natomiast dyspersja wynosi:
D2(K) = 0,068
Tworzymy zmienną losową xn taką, że:
Po zastosowaniu powyższego wzoru otrzymujemy następujące wartości zmiennych losowych xn:
kn |
xn |
20 |
-0,34427 |
25 |
0,731564 |
24 |
0,516398 |
31 |
2,022558 |
20 |
-0,34427 |
19 |
-0,55943 |
20 |
-0,34427 |
19 |
-0,55943 |
18 |
-0,7746 |
20 |
-0,34427 |
Korzystając z wyliczonych wartości xn obliczamy zmienną losową c2 zdefiniowaną następująco:
czyli dla powyższych danych wartość ta wynosi:
c2 = 6,59
Otrzymana wartość c2 jest mniejsza od granicznej, dopuszczalnej wartości c2 przy poziomie istotności a = 0,05 równej 16,9, wobec czego możemy wnioskować, że rozkład wygenerowanych liczb jest rzeczywiście rozkładem równomiernym.
Wnioski.
Celem dwóch przeprowadzonych doświadczeń było wykazanie prawidłowości statystycznych przy zliczaniu zdarzeń niezależnych. W naszym przypadku był to opis zarejestrowania promieniowania jonizującego, który możemy opisać za pomocą rozkładu prawdopodobieństwa Poissona. Celem drugiego doświadczenia było sprawdzenie, czy rozkład wygenerowanych liczb jest rozkładem równomiernym.
Ponieważ przy określaniu zależności statystycznych bierzemy pod uwagę nieskończenie wiele zdarzeń, dlatego głównym powodem błędów przy określaniu badanych związków jest ograniczona liczba przeprowadzonych pomiarów.