Układ szeregowy RC:
Załączenie źródła napięcia stałego: E=uR(t)+uC(t); u R(t)=Ri(t); i(t)=C(duC(t)/dt); (duC(t)/dt)+(1/RC)
uC(t)=U(1-e^{-t/(τ)}; τ=RC; u R(t)=E-uC(t)=Ee^{-t/τ}; i(t)=( u R(t)/R)= (E/R)e^{-t/τ};
Załączenie źródła napięcia sinusoidalnego:
Z=√(R2+(1/(ωC))2); ϕ=arctg(1/(ωRC)); u(t)=( Em/(ωCZ)){-cos(ωt+ψ+ϕ)+cos(ψ+ϕ)e^{-t/(RC)}};
Układ szeregowy RLC:
Załączenie źródła napięcia stałego: E=u R(t)+uL(t)+uC(t); i(t)=C(duC(t)/dt); u R(t)=Ri(t); uL(t)=L(diL(t)/dt);
(d2uC(t)/dt2)+(R/L)(duC(t)/dt)+(1/LC)uC(t)=E/(LC)
Metody częstotliwościowe :
Podstawowe własności przekształcenia Laplace'a: F(s)=0∫∞ f(t)exp(-st)dt; s=σ+jω;
Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów: F(jω)=f(ω)exp[jϕ(ω)]
Transmitancja częstotliwościowa: Y(jω)= H(jω)X(jω) Charakterystyki amplitudowa i fazowa: H(jω)=H(ω)exp[jϕ(ω)];
Ch. Amplitudowo-fazowa: H(jω)=P(ω)+jQ(ω)];
Ch. Naturalna logarytmiczna amplitudowa: L(ω)=lnH(ω), [Np]
Logarytmiczna ch. Amplitudowa: L(ω)=20lgH(ω), [dB]
Dla filtra dolnoprzepustowego RC:
Y(jω)=(1/(1+jωRC))X(jω); H(jω)=(1/(1+jωRC)) ωgr=1/(RC)
Ch.A.: H(ω)={1/[√(1+(ωRC)2)]}; Ch.F.: ϕ(ω)=-arctg(ωRC) Ch.L.A.: L(ω)=-10lg{1+[ω/(ωgr)]2}
Dla filtra górnoprzepustowego RC:
Y(jω)=(1ωRC/(1+jωRC))X(jω); H(jω)=(1+jωRC/(1+jωRC))
Ch.A.: H(ω)={ωRC /[√(1+(ωRC)2)]}; Ch.F.: ϕ(ω)=(π/2)-arctg(ωRC) Ch.L.A.: L(ω)=20lg{(ω/ωgr)/√[1+(ω/ωgr )2]}
Przekształcenie Z :
Sygnał dyskretny |
Transformata Z |
Promień zbieżności |
F[n]=δ[n]={1 dla n=0 {0 dla n>0 |
F(z)=1 |
R0=0 |
F[n]=δ[n-k] , n≥0 |
F(z)=z-k |
R0=1 |
F[n]=ε[n]=1, n≥0 |
F(z)=z/(z-1) |
R0=1 |
F[n]=an, n≥0 |
F(z)=z/(z-a) |
R0=a |
Transmitancja układu cyfrowego:
dla: y[n]+a1[n-1]=b0x[n]+b1x[n-1];
to po: Y(z)(1+a1z-1)+a1y[-1]=X(z)(b0+b0z-1);
jest zależność: Y(z)=( b0+b0z-1)/(1+a1z-1)X(z)+(-a1y[-1])/( 1+a1z-1)
i funkcja: H(z)= ( b0+b0z-1)/(1+a1z-1)
1) Transformaty Laplace`a [f(t) ; F(t)]
a) (t) ; 1/s] |
b (t s] |
c) (t -T) ; (1/s)*e-sT |
d) e- t (t (s+) |
e) sin(t) ; /(s2 + 2) |
f) cos(t) ; s/(s2 + 2) |
g) e- t sin(t) ; /[(s + )2 + 2] |
2) Górnoprzepust. Pas. filtr RC ma transmit. Częstotl. K(j)=jRC/(1 + jRC) ; |K(jRC/√1+(RC)2
a dolnoprzepustowy : K(j) = 1/(1 + jRC); |K(j√(RC)2; pulsacja gran: =1/RC
Dolnoprzepustowy LR : K(j)=R/(R + jL)
3) Filtr aktywny dolnoprzepustowy: Sallena-Key'a H(j=μ/[(R1R2C1C2(j(R1C1(1-μ)+C2(R1+R2)] =1/√R1R2C1C2
Górnoprzepustowy: H(j(μR1R2C1C2 R1R2C1C2j((μ)R2C2+R1(C1+C2))]
8) Przewód symetryczny : d- odl.między drutami, a- promień drutu
Indukcyjność jednostkowa Lo= ( / )* ln (d/a)
Pojemność jednostkowa Co= / ln(d/a)
Impedancja falowa Zc =(1/)*√( / )ln(d/a)
Przewód nad ziemią: h- odl.od ziemi , a- promień drutu
Lo= (/2)ln(2h/a) Co=(2a)/ln(2h/a) Zc= (1/2)*√( / )ln(2h/a)
Kabel koncentryczny(współosiowy): Lo= (/2)ln(d/a) Co= (2)ln(d/a) Zc= (1/2)*√( / )ln(d/a)
9) Linia stratna: Impedancja falowa: Zc =√(Ro+jLo)/(Go+jCo) Współczynnik przenoszenia: γ =√(Ro+jLo)(Go+jCo)= j
10) Linia bezstratna (zC bez j) Ro=0 i Go=0 γ =j√LoCo ; 0 ; =√LoCo = /v = 2/
Zc=√(Lo/Co) =v/f ;=0 cosh γ L=cosL sinh γ L= j*sinL
Zwe=Zc*{[(Zobc*ch[γ(s)*l)+Zc(s)sh[γ(s)*l]}/{[(Zobc*sh[γ(s)*l)+ch[γ(s)*l]}
U1=U2*cosL+jZcI2*sinL jU2Zc*sinC+I2*cosL
W stanie jałowym: Impedancja wejściowa: Zz= -jZc*ctgL ; U1=E/s U2= U1/(ch(s*l/v))
W stanie zwarcia: Impedancja wejściowa: Zz= jZc *tgL
11) Linia niezniekształcająca: γ = (√RoGo ) + j(√LoCo) Zc=√(Lo/Co); V=√L0C0 =√RoGo , =√LoCo =l/v -czas prop.
12) Napięcie źródła w mod. komp. cewki (Euler): eL[k]= -RLi[k - 1] ,RL=L / h
Inne wzory dla cewki: uL[k]=RLi[k]+eL[k] GL=1/RL =h/L jL[k]=- i[k-1]
Wzór trapezów: ( uL[k]+uL[k-1] )/2=L[(i[k]-i[k-1] )/h]
Wzór Eulera: uL[k]=(L/h)*i[k]- (L/h)*i[k-1]
13)Napięcie źródła w mod.komp. Kondensat.(Euler): eC[k]=uC[k-1]+Rc*i[k-1] ,Rc=h/2C
Wzór Eulera: uC[k]=(h/C)*i[k]+uC[k-1] i[k]= C*[(uC[k]-uC[k-1] )/ h]
Wz. trapezów: (i[k]+i[k-1] )/2=C*(uC[k] - uC[k-1] )/h)