Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia, 108z, Nr ćwicz


Nr ćwicz.

108

Data:

14.01.98

Wydział

Elektryczny

Semestr:

I

Grupa:

T4

Przygotowanie:

Wykonanie:

Ocena ostat.:

Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia.

Wstęp teoretyczny:

0x08 graphic
Gdy na pręt podłużny działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on ugięcia, a wielkość tzw. strzałki ugięcia S (rys. 1.) jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także zależy od wymiarów geometrycznych, sposobu mocowania pręta i rodzaju materiału z którego jest on wykonany.

0x01 graphic

Rys. 2. Element pręta zgiętego

0x01 graphic

Rys. 1. Ugięcie pręta

Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju

0x01 graphic

gdzie: E - moduł Younga, 0x01 graphic
- siła rozciągająca badaną warstwę elementarną.

Taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana, działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N. Moment siły 0x01 graphic
względem warstwy N wynosi

0x01 graphic

Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte między przekrojami 1 i 2 obliczam całkując powyższe równanie względem y po całej grubości

0x01 graphic
(1)

Jeśli oznaczę

0x01 graphic
(2)

to równanie (1) mogę napisać w postaci

0x01 graphic
(3)

Równanie to otrzymałem rozpatrując odkształcenie pręta, którego bezpośrednią przyczyną jest siła F przyłożona do jego końca. Moment tej siły względem przekroju 2 wynosi 0x01 graphic
lub zaniedbując wielkość 0x01 graphic
jako małą w porównaniu z x

0x01 graphic
(4)

Kąt 0x01 graphic
jest zawarty między stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Na podstawie rysunku mogę napisać następujący związek

0x01 graphic

Wstawiając powyższe równanie do wzoru (3) i porównując wzory (3) i (4) otrzymuję elementarną strzałkę ugięcia

0x01 graphic

Całkowitą strzałkę ugięcia otrzymuję całkując powyższe równanie po całej długości pręta

0x01 graphic

Po scałkowaniu, wyrażenie na całkowitą strzałkę ugięcia przyjmuje postać

0x01 graphic

Wartość współczynnika H zależy od kształtu i rozmiarów geometrycznych pręta. Gdy przekrój jest prostokątem o wysokości h i szerokości b, to całkowanie równania (2) prowadzi do wyniku

0x01 graphic

Całkowanie podobnego wyrażenia dla przekroju kołowego daje

0x01 graphic

Podstawiając wartości współczynników H otrzymuję odpowiednio dla obu przekrojów strzałki ugięcia

0x01 graphic

Otrzymane powyżej wzory odnoszą się do pręta jednostronnie obciążonego i jednym końcem umocowanego. Równania te można łatwo dostosować do sytuacji, gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku. Zachowuje się on wtedy tak, jak gdyby był zamocowany w środku, a na jego końce działały siły 0x01 graphic
skierowane ku górze. Siła 0x01 graphic
działa wtedy na pręt o długości 0x01 graphic
.

Po uwzględnieniu tych warunków w poprzednich wzorach uzyskuję wzory na strzałki ugięcia prętów

0x01 graphic

Rys. 3. Ugięcie pręta

dwustronnie podpartych

0x01 graphic

Z powyższych wzorów obliczam moduł Younga dla przekroju prostokątnego:

0x01 graphic
(5)

i dla przekroju kołowego:

0x01 graphic
(6)

Tabela pomiarowa:

Lp.

obciążenie

[g]

wysokość

h [mm]

strzałka s [mm]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

14.

15.

16.

17.

Lp.

obciążenie

[g]

wysokość

h [mm]

strzałka s [mm]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

14.

15.

16.

17.

Analiza pomiarów:

Pręt o przekroju kwadratowym:

Lp.

m

[g]

h przy ros. obc.

[mm]

h przy mal. obc.

[mm]

h średnie

[mm]

strzałka

S [mm]

1.

200

614,6

614,7

614,65

0,35

2.

400

614,25

614,3

614,27

0,73

3.

900

613,1

613,2

613,15

1,85

4.

1400

611,8

611,85

611,87

3,13

5.

1900

610,7

610,7

610,7

4,3

Pręt o przekroju kołowym:

Lp.

m

[g]

h przy ros. obc.

[mm]

h przy mal. obc.

[mm]

h średnie

[mm]

strzałka

S [mm]

1.

200

614,45

614,35

614,4

0,6

2.

400

613,8

613,7

613,75

1,25

3.

900

612,4

612,3

612,35

2,65

4.

1400

610,8

610,8

610,8

4,2

5.

1900

609,35

609,35

609,35

5,65

Lp.

m

[g]

F

[N]

S

[mm]

E

[N/m2]

E

[N/m2]

pręt o przekroju prostokątnym

1.

200

1,962

0,35

9,88

5,9

2.

400

3,924

0,73

9,47

2,9

3.

900

8,829

1,85

8,41

1,2

4.

1400

13,734

3,13

7,73

0,7

5.

1900

18,639

4,3

7,64

0,6

pręt o przekroju kołowym

1.

200

1,962

0,6

9,79

3,8

2.

400

3,924

1,25

9,4

2

3.

900

8,829

2,65

9,97

1,3

4.

1400

13,734

4,2

9,79

1

5.

1900

18,639

5,65

9,88

0,9

Obliczenia:

W celu obliczenia moduły Younga korzystam ze wzorów (5) i (6):

0x01 graphic

0x01 graphic

Siłę uginającą pręt wyznaczam ze wzoru:

Przykładowe obliczenia dla pręta prostokątnego pomiar nr 1:

Rachunek błędu:

Błąd wyznaczenia modułu Younga dla pręta o przekroju prostokątnym liczony metodą różniczki logarytmicznej:

Błąd wyznaczenia modułu Younga dla pręta o przekroju kołowym liczony metodą różniczki logarytmicznej:

Wynik końcowy:

Dla pręta o przekroju prostokątnym (aluminium):

Dla pręta o przekroju kołowym (miedź):

Wnioski:

Badany pręt o przekroju prostokątnym wykonany był z aluminium. Otrzymana wartość modułu Younga zgadza się w granicach błędu z wartością tablicową która wynosi .

Pręt o przekroju kołowym wykonany był z miedzi. Wartość tablicowa modułu Younga dla miedzi wynosi co zgadza się z uzyskanym wynikiem.

Im mniejsza wartość moduły Younga tym większemu odkształceniu ulega ciało pod wpływem działającej siły (np. miękka guma posiada moduł Younga równy zaledwie ).

Jak wynika z wykresu bardzo duży wpływ na ugięcie ma również przekrój pręta. Pomimo iż moduł Younga dla pręta o przekroju prostokątnym jest mniejszy niż tego o przekroju kołowym, ulega on mniejszemu ugięciu.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia, 108@, nr ćw
Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia, LAB 108, Nr ćw.
Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia, KONS108
108. Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia, Fizyka
108. Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia, studia, studia Politechnika Poznańska - BMiZ - Mechat
WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ UGIĘCIA BELKI, FIZYKA(1)
108 Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia
Wyznaczanie Modułu Younga metodą ugięcia ( op Bartosz Ogrodowicz )
Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia, LAB 5, LABORATORIUM FIZYCZNE
Wyznaczanie modułu Younga metodą rozciągania drutu i strzałki ugięcia pręta, Laboratorium z fizyki -
Wyznaczanie modułu Younga metodą rozciągania, Wyznaczanie modu˙u Younga metod˙ rozci˙gania drutu i s

więcej podobnych podstron