Centralne twierdzenie graniczne
Przedział ufności
Wykład V
(06.12.2010)
Centralne Twierdzenie Graniczne
Dla dużych prób (n>30)
mm=m sm=s/ n
Prawo wielkich liczb
Jeżeli pobieramy kolejno próby losowe o liczebności n
z populacji o dowolnym rozkładzie i o średniej m i wariancji s2,
wtedy ze wzrostem n, rozkład statystyki dąży do rozkładu
normalnego o średniej m i wariancji s2/n.
Co to oznacza?
Wiele zjawisk można przybliżyć rozkładem normalnym.
ź
źx =m
s = s/
n
x
źx
Estymacja punktowa  jest to punktowe oszacowanie
wartości szukanego parametru rozkładu.
Punktowe oszacowanie oznacza tutaj, że uzyskujemy
konkretną wartość liczbową, nie zaś przedział liczbowy,
jak dzieje się to w przypadku estymacji przedziałowej.
Metody estymacji punktowej sprowadzają się do
wyznaczenia odpowiednią metodą estymatora
szacowanego parametru.
Estymacja punktowa nie daje oceny dokładności
oszacowania nieznanego parametru q� rozkładu populacji
generalnej.
Estymacja przedziałowa  konstrukcja losowego przedziału
pokrywającego z dużym prawdopodobieństwem prawdziwą
wartość parametru populacji.
Estymator przedziałowy jest wyznaczany przez dwie
zmienne losowe, w przeciwieństwie do estymatora
punktowego, który jest pojedynczą zmienną losową.
Przedział ufności jest podstawowym narzędziem
estymacji przedziałowej.
Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez
amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia
Jerzego Spławę-Neymana.
Niech cecha X ma rozkład w populacji z nieznanym parametrem
�. Z populacji wybieramy próby losowe (X1, X2, ..., Xn), na
podstawie których wyznaczmy przedział ufności (� - �1, � + �2) o
współczynniku ufności 1-ą. Przedział (� - �1, � + �2) spełnia
warunek:
P(�1 < � < �2) = 1 - ą
gdzie �1 i �2 są funkcjami wyznaczonymi w oparciu o wyniki
otrzymane dla prób losowych.
Wzrost całej populacji studentów (cecha X) przybiera rozkład o
nieznanej wartości średniej (nieznany parametr �).
Na podstawie pomiarów przeprowadzonych na próbach można
wyznaczyć granice przedziału ufności (�1 i �2).
W wyznaczonym przedziale prawdopodobieństwo występowania
nieznanego parametru � wynosi 1 - ą
Poziom ufności - (1  ą) określa prawdopodobieństwo, że
rzeczywista wartość parametru � w populacji znajduje się w
wyznaczonym przedziale ufności.
Im większa wartość tego współczynnika istotności ą, tym
szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność
estymacji parametru. Im mniejsza wartość 1 - ą, tym większa
dokładność estymacji, ale jednocześnie tym większe
prawdopodobieństwo popełnienia błędu.
Przyjmując poziom istotności 0.05, zakłada się, że w 95%
średnia z populacji mieści się w wyznaczonym na podstawie
analizy prób przedziale ufności (�1 i �2).
Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem
pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu.
W praktyce poziom ufności 1 - ą przyjmuje zazwyczaj
wartości: 0.99; 0.95 lub 0.90, zależnie od parametru s.
Do wyznaczenia granic przedziału ufności przy zadanym
poziomie ufności 1- ą konieczna i wystarczająca jest
x
�
znajomość rozkładu estymatora .
Zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Granicznym
Jeżeli pobieramy kolejno próby losowe o liczebności n z
populacji o wymiarze N i o rozkładzie normalnym, ze średnią ź
x
i wariancją s2, to rozkład średniej statystyki będzie
źx
rozkładem normalnym o średniej i wariancji s2/n, pod
warunkiem, że n/NŁ� 0.05.
Estymacja przedziałowa średniej populacji
w przypadku dużej próby.
- Rozmiar próby jest ł�30;
x
- Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym wartość
przyjmuje rozkład normalny niezależnie od rozkładu w populacji;
- Na podstawie powyższego twierdzenia odchylenie standardowe
wartości wynosi s = s/ ;
n
x
x
s
- Jeżeli odchylenie standardowe populacji, tzn. jest wartością
nieznaną, w takiej sytuacji używa się odchylenia standardowego
n
próby s = s/ .
x
W tym przypadku s jest estymatorem punktowym s ;
x x
Przedział ufności parametru ź dla dużej próby
Dla (1-a)100% poziomu ufności przedział ufności wynosi:
jeżeli jest znane
ą
s x
x z
s
lub
jeżeli jest nieznane
ą
s x
x z
s
gdzie
s = s/ s x = s/
n n
x
Zacieniowana powierzchnia
0.6826
Zacieniowana powierzchnia
0.9544
Zacieniowana powierzchnia
0.9974
_
z.sx
mx
x
_
_
_
s
m x
x = + z�
x
x-
m x
z=
s x
s x z s
s x
Wielkość z , lub jeżeli jest nieznane,
w wyrażeniu na przedział ufności nosi nazwę
maksymalnego błędu estymacji, E.
Jest to wielkość, o która jest pomniejszana i powiększana
x m.
wartość w celu uzyskania przedziału ufności dla zmiennej
Wartość z w wyrażeniu na przedział ufności pochodzi z tabeli
dystrybuanty rozkładu normalnego przy założonym poziomie
ufności 1-a.
m.
Sposób konstruowania 95% przedziału ufności dla parametru
95% przedział ufności oznacza, że całkowita powierzchnia
x
pod krzywa rozkładu normalnego dla estymatora
pomiędzy dwoma punktami wynosi 95%.
W celu obliczenia wartości z dla założonego przedział
ufności należy podzielić przez 2, tzn. 0.95/2=0.4750
Zmienną losową X zastępujemy
zmienną standaryzowaną z, która ma rozkład N(0,1)
-
m
x
-
m
x
x
u = x s z =
s x
s
2
2
1
1 z
= -
= -
( )
)
f ; , exp
f z;0 1 exp
,
2
2
2 p
2p
z = zmienna standaryzowana
Powierzchnia pod krzywa rozkładu normalnego N(0,1) od 0 do z
z
Z
Zacieniowana powierzchnia
wynosi 95% całkowitej powierzchni
N(0,1)
Powierzchnia na skrzydłach
Wydawnictwo planowało wydać nowy podręcznik akademicki. Zanim podjęto
decyzję o cenie postanowiono przeanalizować rynek. W tym celu pracownicy
wydawnictwa wybrali losowo 36 podręczników i przeprowadzili analizę ich ceny.
Wartość średnia wyniosła $70.50. Ponadto dotarli do informacji, że odchylenie
standardowe dla wszystkich podręczników wynosi $4.5.
x=$70.50; s=$4.50
n=36;
- Podaj estymator punktowy średniej ceny wszystkich podręczników. Ile wynosi
wartość maksymalnego błędu estymacji, przy założeniu 95% przedziale ufności?
s 4.50
sx = = = 0.75; margines blędu = ą1.96 *(0.75)
6
n
Wynik= $70.5 i $1.47
Podaj z 90% prawdopodobieństwem granice przedziału dla wartości średniej
wszystkich książek.
Wynik= od $69.26 do $71.74
Testowanie hipotez składa się z następujących etapów:
1. Przyjęcie założeń;
2. Otrzymanie rozkładu z próby;
3. Wyznaczenie poziomu istotności i obszaru krytycznego;
4. Wyliczenie statystyki testu;
5. Podjecie decyzji.