EKSTREMA GLOBALNE
Definicja
Niech
f :U R , gdzie
U Rn
oraz niech
P0 P0 U
będzie pewnym punktem zbioru U, .
Wtedy
f (P0) : U f (P)Ł f (P0)
wartość największa funkcji f
"P
f (P0)
wartość najmniejsza funkcji f : U f (P)ł f (P0)
"P
Definicja
P0 f (P0)
Funkcja f ma w ekstremum globalne, jeśli jest wartością największą lub wartością
najmniejszą funkcji f.
Uwaga
Ekstremum lokalne może być ekstremum globalnym.
I. Niech U obszar w Rn , czyli U TopRn .
Jeśli f ma ekstremum globalne w , to f ma w słabe ekstremum lokalne, a zatem
P0 P0
ekstremów globalnych będziemy poszukiwać w tych punktach, w których istnieją słabe
ekstrema lokalne.
II. Niech U - obszar domknięty, tzn. U - domknięcie obszaru U.
Wtedy
P0 U P0 intU P0 dU
wnętrze brzeg
obszaru obszaru
Zatem f ma ekstremum globalne w P0 f ma ekstremum lokalne w intU
lub P0 dU
Jeśli dodatkowo przyjmiemy założenie:
f C(U)
,
to na podstawie tw. Weierstrassa funkcja f osiąga swoje kresy
istnieje wartość największa i wartość najmniejsza funkcji f
wystarczy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji f we wnętrzu intU oraz na brzegu dU i
bez badania określoności drugiej różniczki porównać wartości funkcji w tych punktach.
1
Przykład
f (x, y)= x2 - y2 w obszarze domkniętym
Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji
D ={(x, y) R2 : x2 + y2 Ł 1}
y
1
D
int D
1
x
f C(D) $ekstremum globalne
I. Wyznaczamy punkty stacjonarne we wnętrzu obszaru int D ={(x, y) R2 : x2 + y2 < 1}.
Pochodne cząstkowe muszą być równe 0,
śf
= 2x = 0
x = 0
śx
- punkt stacjonarny, P0 U
P0(0,0)
śf
y = 0
= 2y = 0
śy
dD ={(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}
II. Badamy brzeg obszaru
f(x, y)= x2 - y2 + l(x2 + y2 -1)
Tworzymy funkcję Lagrange'a
Warunek konieczny dla funkcji Lagrange'a:
śf
= 0
P1(0,1)
śx
śf P2(0,-1)
= 0
śy
P3(1,0)
x2 + y2 =1
P4(-1,0)
III. Porównujemy wartości funkcji w punktach P4 .
P0
f (P0)= 0
f (P1)= f (P2)= -1
f (P3)= f (P4)=1
Odp.
Funkcja osiąga wartość największą równą 1 w punktach i oraz wartość najmniejszą
P3 P4
równą -1 w punktach oraz .
P1 P2
2
Przykład
Aby wyznaczyć ekstrema globalne funkcji określonej w obszarze domkniętym D, którego
brzeg jest łamaną,
y
K1
M2
M1
K5
K2
M5
D
M3
K4
K3
x
M4
badamy:
I. int D
II.
dD = K1 K2 K3 K4 K5
Funkcję zacieśniamy do poszczególnych krzywych i badamy we wnętrzach tych krzywych
1) int K1
2) int K2
M
5) intK5
III. Badamy brzeg brzegu - wystarczy podać punkty wspólne krzywych K1,K, K5 :
M1,K, M5
IV. Porównujemy wartości funkcji we wszystkich punktach wyznaczonych w częściach
I, II, III, i wybieramy te w których funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą.
opracował Mateusz Targosz
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
15 Były nazistowski bank rządzi globalną ekonomią15 315Program wykładu Fizyka II 14 15globals func 0x66więcej podobnych podstron