Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Testy istotności różnic dla k prób niezależnych
Omówione dotychczas metody służyły do porównywania dwóch grup niezależnych. Czasami jednak zależy nam na
jednoczesnym porównaniu większej ilości grup. Teoretycznie można to przeprowadzić stosując na każdej możliwej do
stworzenia parze grup testy omówione wcześniej. Jest to jednak działanie nieekonomiczne (przy sześciu
porównywanych grupach wymaga przeprowadzenie aż 15 osobnych analiz) i, co więcej, metodologicznie
niepoprawne, gdyż przyjęty poziom istotności z każdą kolejną analizą rośnie w sposób niekontrolowany (założone na
wstępie = 0,05 w kolejnych analizach jest w rzeczywistości co raz wyższe, można je wyliczyć ze wzoru 1-(1- )m).
W przypadkach, gdy mamy do czynienia z większą niż dwie liczbą porównywanych grup należy więc używać testów do
tego przeznaczonych.
Aby wybrać odpowiedni test porównujący więcej niż dwie gupy należy rozpatrzeć następujące kryteria:
a) skala pomiarowa zmiennej zależnej(testowanej)
jeśli skala jest ilościowa:
a) liczebności porównywanych prób
b) kształt rozkładu zmiennej w poszczególnych próbach (wartości skośności i kurtozy)
c) homogeniczność wariancji rozkładów zmiennej zależnej
Poniższy Algorytm wyboru testu istotności różnicy dla k prób niezależnych może okazać się przydatny przy
Rodzaj skali pomiarowej zmiennej zależnej
przedziałowa
porządkowa nominalna
i ilorazowa
ocena
liczebności prób
równoliczne
nierównoliczne
ocena
normalności
rozkładu
TAK
NIE
ocena homoge-
niczności
wariancji
TAK
NIE
test F test H - test chi2
analizy Kruskala-Wallisa
wariancji
Rysunek 8.1.
Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Odpowiednikiem testu t-Studenta dla większej liczby porównywanych grup jest test F analizy wariancji - ANOVA
(służy do porównywania więcej niż dwóch grup danych, przy zmiennej zależnej mierzonej na skali parametrycznej, przy
równolicznych grupach o homogenicznych wariancjach, gdy rozkład zmiennej w porównywalnych próbach nie odbiega
istotnie od normalnego). Test ten polega na porównaniu wariancji międzygrupowej z wariancją wewnątrzgrupową. To
jest, im większe jest zróżnicowanie wyników pomiędzy porównywanymi grupami i mniejsze wewnątrz tych grup tym
wyższą wartość testu F otrzymamy w wyniku analizy.
W SPSSie omawiana ANOVA znajduje się w menu  Analiza w  Porównywanie średnich pod nazwą
 JednoczynnikowaANOVA .
Rysunek 8.2.
Po wybraniu tego polecenia pojawi się następujące okno:
Rysunek 8.3.
Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Podobnie jak w przypadku testu t-Studenta, w górnym oknie należy umieścić zmienną (zmienne) zależną a w dolnym
zmienną grupującą (niezależną). Po wprowadzeniu odpowiednich danych należy nacisnąć klawisz  OK lub  Wklej .
Sam test F analizy wariancji ma tę wadę, że podaje tylko pojedynczy wynik, na podstawie którego można stwierdzić,
czy któraś z porównywanych grup różni się istotnie od którejś innej. Nie można, niestety, na jego podstawie stwierdzić,
między którymi grupami zachodzi istotna statystycznie różnica. W celu sprawdzenia istotności różnicy w poszcze-
gólnych parach grup należy użyć któregoś z testów kontrastów kryjących się pod klawiszem  Post Hoc . Nie należy
jednak liczyć kontrastów przed przeprowadzeniem samej analizy wariancji, ponieważ niektóre z nich bazują na teście
t-Studenta i zawyżają prawdopodobieństwo. Zdarza się więc tak, że kontrast okazuje się istotny, chociaż wynikANOVA
nie jest istotny statystycznie. Dlatego jedynie wynik analizy wariancji dający podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej,
jest podstawą do podjęcia decyzji o użyciu testu kontrastów.
Poniżej znajduje się wydruk analizy wariancji testującej, czy w trzech grupach wykonujących zadanie w różnych
warunkach (cisza, umiarkowany hałas i intensywny hałas) badani popełniali podobną liczbę błędów.
Rysunek 8.4.
Tak samo jak w przypadku wcześniej omówionych testów, na górze wydruku pojawia się nazwa obliczonego testu.
Poniżej, w tabeli podane są wartości sum kwadratów, stopni swobody oraz średnich kwadratów wewnątrzgrupowych i
międzygrupowych. Na końcu wydruku pojawia się wartość testu F i jego istotność.
Na podstawie powyższych wyników można stwierdzić, że warunki w jakich pracowali badani nie miały istotnego
wpływu na liczbę popełnianych przez nich błędów. Chcąc zacytować taki wynik należy zapisać: F(2,27)=0,117;
p=0,890. Cytując wynik testu należy podać liczby stopni swobody zarówno między grupami jak i wewnątrz grup.
Interpretacja powyższego wyniku sprawadza się jedynie do oceny istotności wartości testu F - w tym wypadku jest nie
istotna, więc postępowanie można zakończyć konkluzją o braku istotnych statystycznie różnic.
Sytuacja jest bardziej skomplikowana w przypadku uzyskania istotnej wartości testu F. Rozpatrzmy przykład z tego
samego badania, dotyczący jednak porównania czasu potrzebnego na wykonanie zadania w zależności od warunków
pracy.
Rysunek 8.5.
Na podstawie wyniku otrzymanego w przedstawionym powyżej przykładzie można stwierdzić, że istnieją istotne
różnice między grupowe w zakresie czasu potrzebnego na wykonanie zadania uzależnione od warunków w jakich
pracowali badani (F(2,27)=42,969; p<0,001). Oznacza to, że przynajmniej jedna z porównywanych grup (wyznacznych
przez warunki wykonywania zadania) różni się istotnie pod względem czasu wykonywania zadania od przynajmniej
jednej innej grupy. Aby jednak orzec jak, dokładnie, wyglądają różnice pomiędzy poszczególnymi grupami należy
ponownie wybrać polecenie  jednoczynnikowa ANOVA (patrz rys. 8.2) i w pojawiającym się oknie (patrz rys. 8.3)
nacisnąć klawisz  Post Hoc . Otworzy się wówczas następujące okno:
Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Rysunek 8.6.
W oknie tym pojawia się wybór wielu różnych testów służących do porównań par prób. Dla ułatwienia są one ułożone w
kolejności od najmniej do najbardziej  wymagających . To znaczy, pierwszy z testów - NIR daje wyniki takie jak
wielokrotnie przeprowadzony test t-Studenta - czyli nadszacowuje istotność różnic, każdy kolejny wymaga większej
różnicy między średnimi grupowymi by mogła być ona uznana za istotną. Dlatego warto czasem przeprowadzić kilka
różnych testów kontrastów równolegle i porównać ich wyniki.
Najpowszechniej używany jest test NIR i jego wyniki możemy oglądać poniżej.
Wydruk prezentuje zestawione w formie tabeli pary grup oraz podaje różnice średnich dla każdej pary grup.
Kluczową dla interpretacji wyników testu częścią wydruku jest kolumna zatytułowana  Istotność . Analizując wartości z
tej kolumny stwierdzimy, że istotne różnice występują między grupami  praca w ciszy i  praca w warunkach
intensywnego hałasu (p<0,001) oraz miedzy grupami  praca w warunkach umiarkowanego hałasu i  praca w
warunkach intensywnego hałasu (p<0,001). Grupy  praca w ciszy i  praca w warunkach umiarkowanego hałasu nie
różnią się istotnie pod względem czasu potrzebnego do wykonania zadania (p=0,297).
Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Testowanie założeń do ANOVA
Jak wspomniano na wstępie, ANOVA wymaga, by analizowana dane spełniały szereg wymogów. Po pierwsze,
zmienna analizowana w grupach powinna być zmienną ilościową. Po drugie liczebność porównywanych prób powinna
być jednakowa. Można ją sprawdzić używając polecenia  Częstości z menu  Analiza ,  Opis statystyczny (patrz rys
4.1). Po trzecie, rozkład zmiennej zależnej w porównywanych grupach nie powinien istotnie odbiegać od rozkładu
normalnego. Można to sprawdzić obliczając skośność i kurtozę, używając polecenia  Eksploracja z menu  Analiza ,
 Opis statystyczny (patrz rys. 5.7). Zarówno wartość skośności, jak i kurtozy powinny mieścić się w przedziale (-1;1).
Po czwarte wariancje w porównywanych grupach powinny być homogeniczne, co można sprawdzić za pomocą testu
jednorodności wariancji Levene a. Oblicz się go wybierając w oknie jednoczynnikowej ANOVAy klawisz  Opcje (patrz
rys. 8.3). Pojawi się wówczas następujące okno:
Rysunek 8.8.
W ramce statystyki należy zaznaczyć  Test jednorodności wariancji .
Wydruk analizy wariancji zostanie poprzedzony wynikami testu jednorodności wariancji Lavene a. Nieistotny wynik
tego testu upoważnia do stosowania ANOVAy. Wynik istotny wskazuje na istotne różnice wariancji w poszczególnych
próbach.
Wynik testu Levene a dla analizowanego wcześniej przykładu wpływu warunków badania na czas wykonywania
zadania znajduje się poniżej.
Rysunek 8.9.
Jak widać powyżej istotność testu Lavene a jest wyższa niż p< 0,05, nie ma więc podstaw, by twierdzić, że wariancje w
badanych próbach różnią się istotnie.
W przypadku, gdy zmienna zależna mierzona jest na skali porządkowej, lub gdy nie są spełnione założenia ANOVA
można porównywać badane próby za pomocą nieparametrycznego odpowiednika analizy wariancji - testu
H-Kruskala-Walisa. Znajduje on zastosowanie w warunkach badawczych podobnych do tych, w których znajduje
zastosowanie test U-Manna-Whitneya, z tą tylko różnicą, że przeznaczony jest on do testowanie hipotezy zerowej
dotyczącej większej ilości porównywanych grup.
W SPSSie testu tego należy szukać w menu  Analiza ,  Testy nieparametryczne pod hasłem  K prób niezależnych .
Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Rysunek 8.10.
Pojawi się wówczas natępujące okno.
Rysunek 8.11.
Zmienne wprowadza się do analizy analogicznie jak w przypadku analizy wariancji - w górnym oknie powinna się
znalez
ć zmienna porównywana w grupach a w dolnym ta, która dzieli badanych na kategorie. Po wprowadzeniu
zmiennej grupującej należy nacisnąć przycisk  Definiuj zakres i podać wartości przypisane skrajnym
z porównywanych prób. Po wprowadzeniu wszystkich pożądanych zmiennych należy wcisnąć  OK lub  Wklej .
W oknie raportów pojawi się następujący wydruk:
Materiały do zajęć:  Statystyka - ćwiczenia
Rysunek 8.12.
Na wydruku pojawia się, jak zwykle, nazwa przeprowadzonej analizy. Poniżej, tak jak w teście U-Manna-Whitneya,
pojawiają się średnie rangi oraz liczebności dla poszczególnych grup. Wydruk kończy się wartością chi2 (H ma rozkład
zbliżony do chi2) oraz jej istotnością.
Jak widać w naszym przykładzie różnica między grupami okazuje się być nieistotna statystycznie (chi2(2)=3,146;
p=0,207). Gdyby była istotna, to, podobnie jak w przypadku analizy wariancji, nie moglibyśmy na podstawie
otrzymanego wyniku orzec, które grupy różnią się od których. Test H-Kruskala-Wallisa nie posiada, niestety, testów
 post hoc . Jedyną więc metodą dogłębniejszego zbadania otrzymanych danych jest przeprowadzenie na każdej
parze testu U-Manna-Whitneya. Należy jednak pamiętać jakim błędem obciążone są takie wyniki.
W przypadku, gdy zmienna, którą porównujemy w grupach jest zmienną nominalną używamy testu chi2, który był już
omówiony wraz z metodami służącymi do porównywania dwóch prób niezależnych.