Analiza Matematyczna MAEW101

MAP1067

Wydział Elektroniki

Przykłady do Listy Zadań nr 4

Pochodna funkcji. Styczna

Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

1

Przykłady do zadania 4.1:
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieje pochodna właściwa lub niewłaściwa podanej funkcji we
wskazanym punkcie

(a) f (x) =











x

2

cos

1

x

, gdy x 6= 0;

0,

gdy x = 0,

w punkcie x

0

= 0.

• lim

x→0

f (x) − f (0)

x − 0

= lim

x→0

x

2

cos

1

x

− 0

x

= lim

x→0

x cos

1

x

= 0 z tw. o 3 funkcjach,

bo 0 ¬






x cos

1

x






¬ |x| i lim

x→0

|x| = 0

Zatem istnieje pochodna właściwa f

0

(0) = 0

(b) f (x) = |x − 3| w punkcie x

0

= 3.

•

lim

∆x→0+

f (3 + ∆x) − f (3)

∆x

=

lim

∆x→0+

|3 + ∆x − 3| − 0

∆x

=

lim

∆x→0+

|∆x|

∆x

= 1

•

lim

∆x→0−

f (3 + ∆x) − f (3)

∆x

=

lim

∆x→0−

|3 + ∆x − 3| − 0

∆x

=

lim

∆x→0−

|∆x|

∆x

= −1

Zatem istnieją pochodne lewostronna i prawostronna w punkcie x

0

= 3,

ale f

0

+

(3) = 1 6= −1 = f

0

−

(3), więc pochodna funkcji f (x) w punkcie x

0

= 3 nie istnieje.

(c) f (x) =

3

√

x − 1 w punkcie x

0

= 1

• f (x) jest ciągła w x

0

= 1 jako funkcja elementarna

• lim

∆x→0

f (1 + ∆x) − f (1)

∆x

= lim

∆x→0

3

√

1 + ∆x − 1 − 0

∆x

=

lim

∆x→0+

1

3

q

(∆x)

2

=

1

0+

= ∞

Zatem istnieje pochodna niewłaściwa f

0

(1) = ∞

(d) f (x) = sgn(x − 2) w punkcie x

0

= 2

• f (x) nie jest ciągła w x

0

= 2, bo lim

x→2+

f (x) = 1 6= −1 = lim

x→2−

f (x)

Zatem nie istnieje pochodna niewłaściwa (ani właściwa) funkcji f (x) w punkcie x

0

= 2,

mimo że

• lim

∆x→0

f (2 + ∆x) − f (2)

∆x

= lim

∆x→0

sgn(∆x)

∆x

= lim

∆x→0

1

|∆x|

=

1

0+

= ∞

2

Przykład do zadania 4.2:
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji

(a) f (x) = x

4

+ 3x

2

−

1

x

+

√

x, x > 0

• f

0

(x) = (x

4

)

0

+ 3(x

2

)

0

− (x

−1

)

0

+ (x

1/2

)

0

= 4x

3

+ 3 · 2x − (−1)x

−2

+

1

2

x

−1/2

=

= 4x

3

+ 6x +

1

x

2

+

1

2

√

x

, x > 0

(b) f (x) = sin x · shx, x ∈

R

• f

0

(x) = (sin x)

0

· shx + sin x · (shx)

0

= cos x · shx + sin x · chx, x ∈

R

(c) f (x) =

e

x

+ cos x

e

x

+ 4

, x ∈

R

• f

0

(x) =

(e

x

+ cos x)

0

· (e

x

+ 4) − (e

x

+ cos x) · (e

x

+ 4)

0

(e

x

+ 4)

2

=

=

(e

x

− sin x) · (e

x

+ 4) − (e

x

+ cos x) · (e

x

+ 0)

(e

x

+ 4)

2

=

=

e

x

(4 − sin x − cos x) − 4 sin x

(e

x

+ 4)

2

, x ∈

R

(d) f (x) = sin

2

x, x ∈

R

• złożenie x, sin x, (. . .)

2

• f

0

(x) = 2 sin x · cos x, x ∈

R

(d) f (x) = sin(x

2

), x ∈

R

• złożenie x, x

2

, sin(. . .),

• f

0

(x) = cos(x

2

) · (2x), x ∈

R

(e) f (x) = e

cos

√

x

, x ­ 0

• złożenie x,

√

x, cos(. . .), e

(...)

• f

0

(x) = e

cos

√

x

· (− sin

√

x) ·



1

2

x

−1/2



, x ­ 0

(f) f (x) =

1

cos(sin x)

, x ∈

R

• złożenie x, sin x, cos(. . .),

1

(. . .)

= (. . .)

−1

• f

0

(x) = (−1)(cos(sin x))

−2

· (− sin(sin x)) · cos x, x ∈

R

3

(g) f (x) = tg(x + x

5

), x + x

5

6=

π

2

+ kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .

• złożenie x + x

5

, tg(. . .)

• f

0

(x) =

1

cos

2

(x + x

5

)

· (x + x

5

)

0

=

1

cos

2

(x + x

5

)

· (1 + 5x

4

), x j.w.

(h) f (x) = (3x

2

+ 1)

3

, x ∈

R

• złożenie 3x

2

+ 1, (. . .)

3

• f

0

(x) = 3(3x

2

+ 1)

2

· (3x

2

+ 1)

0

= 3(3x

2

+ 1)

2

· (6x + 0) = 18x(3x

2

+ 1)

2

, x ∈

R

(h) f (x) =

x

2

− 1

x

2

+ 1

!

4

, x ∈

R

• złożenie

x

2

− 1

x

2

+ 1

, (. . .)

4

• f

0

(x) = 4

x

2

− 1

x

2

+ 1

!

3

·

x

2

− 1

x

2

+ 1

!

0

= 4

x

2

− 1

x

2

+ 1

!

3

·

(x

2

− 1)

0

· (x

2

+ 1) − (x

2

− 1) · (x

2

+ 1)

0

(x

2

+ 1)

2

!

=

= 4

x

2

− 1

x

2

+ 1

!

3

·

2x(x

2

+ 1) − (x

2

− 1) · 2x

(x

2

+ 1)

2

!

=

16x(x

2

− 1)

3

(x

2

+ 1)

5

, x ∈

R

(i) f (x) =

3

√

x

3

+ 1, x ∈

R

• złożenie x

3

+ 1,

3

q

(. . .) = (. . .)

1/3

• f

0

(x) =

1

3

(x

3

+ 1)

−2/3

· (3x

2

), x ∈

R

(j) f (x) =

sin

1

x

1 + cos(x

2

)

, x 6=

q

π

2

+ 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .

• f

0

(x) =



sin

1

x



0

· (1 + cos(x

2

)) −



sin

1

x



· (1 + cos(x

2

))

0

(1 + cos(x

2

))

2

=

=

(−x

−2

cos(x

−1

)) · (1 + cos(x

2

)) − (sin(x

−1

)) · (−2x sin(x

2

))

(1 + cos(x

2

))

2

, x j.w.

Obliczenia pomocnicze:

•



sin

1

x



0

= cos(x

−1

) · (−1)x

−2

,

bo to złożenie

1

x

= x

−1

, sin(. . .)

• (1 + cos(x

2

))

0

= 0 + (cos(x

2

))

0

= (− sin(x

2

)) · (2x),

bo to złożenie x

2

, cos(. . .)

4

(k) f (x) = ln



ln

x

3

+ tg x



, x ∈ D

f

• złożenie ln

x

3

+ tg x, ln(. . .)

• f

0

(x) =

1

ln

x

3

+ tg x

·

1

x
3

·

1

3

+

1

cos

2

x

!

, x ∈ D

f

(l) f (x) = e

arctg

4

√

x

, x ­ 0

• złożenie

4

√

x, arctg(. . .), e

(...)

• f

0

(x) = e

arctg

4

√

x

·

1

1 + (

4

√

x)

2

·

1

4

x

−3/4

, x > 0

(m) f (x) = cos

4

x · cos(5x), x ∈

R

• f

0

(x) = (cos

4

x)

0

· cos(5x) + cos

4

x · (cos(5x))

0

=

= 4 cos

3

x(− sin x) · cos(5x) + cos

4

x · (− sin(5x) · 5), x ∈

R

Obliczenia pomocnicze:

• (cos

4

x)

0

= 4 cos

3

x · (− sin x),

bo to złożenie cos x, (. . .)

4

• (cos(5x))

0

= (− sin(5x)) · 5,

bo to złożenie 5x, cos(. . .)

(n) f (x) = 2

x sin x

, x ∈

R

• złożenie x sin x, 2

(...)

• f

0

(x) = 2

x sin x

ln 2 · (x sin x)

0

= 2

x sin x

ln 2 · (sin x + x cos x), x ∈

R

Obliczenia pomocnicze:

• (x sin x)

0

= (x)

0

sin x + x(sin x)

0

= 1 · sin x + x cos x

(o) f (x) = x

sin x

, x > 0

• a(x)

b(x)

= e

b(x) ln a(x)

,

zatem f (x) = e

sin x ln x

• złożenie sin x ln x, e

(...)

• f

0

(x) = e

sin x ln x

· (sin x ln x)

0

= e

sin x ln x

· (cos x ln x +

1
x

sin x), x > 0

Obliczenia pomocnicze:

• (sin x ln x)

0

= (sin x)

0

ln x + sin x(ln x)

0

= cos x ln x + sin x ·

1
x

(p) f (x) = x

x

2

, x > 0

• f (x) = e

x

2

ln x

• złożenie x

2

ln x, e

(...)

• f

0

(x) = e

x

2

ln x

· (x

2

ln x)

0

= e

x

2

ln x

· x(2 ln x + 1), x > 0

Obliczenia pomocnicze:

• (x

2

ln x)

0

= (x

2

)

0

ln x + x

2

(ln x)

0

= 2x ln x + x

2

·

1

x

= x(2 ln x + 1)

5

(q) f (x) = log

x

7, x > 0, x 6= 1

• f (x) =

ln 7

ln x

= ln 7(ln x)

−1

• złożenie ln x, ln 7(. . .)

−1

• f

0

(x) = − ln 7(ln x)

−2

·

1

x

, x > 0, x 6= 1

Przykład do zadania 4.3:
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f

−1

)

0

(2) dla f (x) = e

x

+ e

5x

.

• f (0) = 2, x

0

= 0, y

0

= 2

• f (x) jest ciągła i rosnąca na

R

(wystarczy na otoczeniu x

0

= 0)

• f

0

(x) = e

x

+ 5e

5x

, f

0

(0) = 1 + 5 = 6 6= 0

Zatem z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej (f

−1

)

0

(2) =

1

f

0

(0)

=

1

6

Przykłady do zadania 4.4:
Obliczyć f

0

(x), f

00

(x), f

000

(x) dla podanej funkcji f (x).

(a) f (x) = x ln x

f

0

(x) = ln x + x ·

1

x

= ln x + 1

f

00

(x) = (ln x + 1)

0

=

1

x

f

000

(x) =



1

x



0

= −

1

x

2

(b) f (x) = e

x

2

f

0

(x) = 2xe

x

2

f

00

(x) = (2xe

x

2

)

0

= 2e

x

2

+ 2x · 2xe

x

2

= 2e

x

2

(2x

2

+ 1)

f

000

(x) = (2e

x

2

(2x

2

+ 1))

0

= 2(2xe

x

2

(2x

2

+ 1) + e

x

2

· 4x) = 4xe

x

2

(2x

2

+ 3)

Przykład do zadania 4.5:
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = e

arctg

4

√

x

w punkcie (1, f (1)).

• f

0

(x) = e

arctg

4

√

x

·

1

1 + (

4

√

x)

2

·

1

4

x

−3/4

• f (1) = e

π/4

, f

0

(1) = e

π/4

·

1

2

·

1

4

=

1

8

e

π/4

Równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) w punkcie (1, f (1)) ma postać
l

st

: y − f (1) = f

0

(1)(x − 1), czyli

Odp. l

st

: y − e

π/4

=

1

8

e

π/4

(x − 1)

6