Analiza Matematyczna MAEW101

MAP1067

Wydział Elektroniki

Przykłady do Listy Zadań nr 11

Szeregi liczbowe

Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

1

Przykłady do zadania 11.1:
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=1

1

3n + 1

• a

n

=

1

3n + 1

, n

0

= 1, więc f (x) =

1

3x + 1

, x ­ 1

• f (x) ­ 0 i nierosnąca (f

0

(x) = −

3

(3x + 1)

2

¬ 0) dla x ­ 1

•

∞

Z

1

f (x)dx =

∞

Z

1

dx

3x + 1

rozbieżna do ∞ z kryterium ilorazowego, bo lim

x→∞

f (x)

1

x

=

1

3

= k > 0

i

∞

Z

1

dx

x

jest rozbieżna do ∞ (p = 1)

• Z kryterium całkowego badany szereg jest rozbieżny do ∞

(b)

∞

X

n=1

n

e

n

2

• a

n

=

n

e

n

2

, n

0

= 1, więc f (x) = xe

−x

2

, x ­ 1

• f (x) ­ 0 i nierosnąca (f

0

(x) = −(2x

2

− 1)e

−x

2

¬ 0) dla x ­ 1

•

∞

Z

1

f (x)dx =

∞

Z

1

xe

−x

2

dx = lim

T →∞

T

Z

1

xe

−x

2

dx = lim

T →∞

−

e

−T

2

2

+

e

−1

2

!

=

e

−1

2

- całka zbieżna

• Z kryterium całkowego badany szereg jest zbieżny

Przykłady do zadania 11.2:
Korzystając z kryterium porównawczego lub ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=2

n + 1

n

2

− n

• a

n

=

n + 1

n

2

− n

, n

0

= 2

• hipoteza: szereg rozbieżny do ∞, bo a

n

jest bliskie

1

n

• 0 ¬ b

n

=

1

n

=

n

n

2

¬

n + 1

n

2

− n

= a

n

dla n ­ 2

• szereg

∞

X

n=2

b

n

=

∞

X

n=2

1

n

jest rozbieżny do ∞ (p = 1)

• Wniosek: Z kryterium porównawczego badany szereg jest także rozbieżny do ∞.

2

(b)

∞

X

n=1

3

n

− 2

n

4

n

− 3

n

• a

n

=

3

n

− 2

n

4

n

− 3

n

, n

0

= 1

• a

n

­ 0 dla n ­ 1

• lim

n→∞

a

n

b

n

= lim

n→∞



3
4



n 1−(2/3)

n

1−(3/4)

n



3
4



n

= 1 = k > 0

• szereg

∞

X

n=1

b

n

=

∞

X

n=1



3

4



n

jest zbieżny (szereg geometryczny z ilorazem x =

3
4

, |x| < 1)

• Wniosek: Z kryterium ilorazowego badany szereg jest także zbieżny.

Przykłady do zadania 11.3:
Korzystając z kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=1

2

n

n

2

• a

n

=

2

n

n

2

, n

0

= 1

•






a

n+1

a

n






=








2

n+1

(n+1)

2

2

n

n

2








=

2 · 2

n

· n

2

2

n

(n + 1)

2

=

2



1 +

1

n



2

−→

2

(1 + 0)

2

= 2 = q

• q = 2 > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny

(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo a

n

> 0)

(b)

∞

X

n=1

(n!)

3

(2n)!

• a

n

=

(n!)

3

(2n)!

, n

0

= 1

•






a

n+1

a

n






=








((n+1)!)

3

(2(n+1))!

(n!)

3

(2n)!








=

(n!(n + 1))

3

· (2n)!

(2n)!(2n + 1)(2n + 2)(n!)

3

=

(n + 1)

2

2(2n + 1)

=

n



1 +

1

n



2

2



2 +

1

n



−→

−→

∞ · (1 + 0)

2

2(2 + 0)

= ∞ = q

• q = ∞ > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny

(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo a

n

> 0)

(c)

∞

X

n=2

ln n

π

n

• a

n

=

ln n

π

n

, n

0

= 2

•






a

n+1

a

n






=











ln(n + 1)

π

n+1

ln n

π

n











=

ln



n



1 +

1

n



π ln n

=

ln n + ln



1 +

1

n



π ln n

=

1

π





1 +

ln



1 +

1

n



ln n





−→

−→

1

π



1 +

0

∞



=

1

π

= q

• q =

1

π

< 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest zbieżny

3

(d)

∞

X

n=1

n



3

5



n

• a

n

= n



3

5



n

, n

0

= 1

•

n

q

|a

n

| =

n

s






n



3

5



n






=

3

5

·

n

√

n −→

3

5

· 1 =

3

5

= q

• q =

3

5

< 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny

(e)

∞

X

n=1



n + 2

n + 3



n

2

• a

n

=



n + 2

n + 3



n

2

, n

0

= 1

•

n

q

|a

n

| =

n

v
u
u
t









n + 2

n + 3



n

2







=



n + 2

n + 3



n

=



1 −

1

n + 3



n+3

·



1 −

1

n + 3



−3

−→

−→ e

−1

· 1

−3

=

1

e

= q

• q =

1

e

< 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny

(f)

∞

X

n=2

ln

n



10 +

1

n



• a

n

= ln

n



10 +

1

n



, n

0

= 2

•

n

q

|a

n

| =

n

s






ln

n



10 +

1

n







= ln



10 +

1

n



−→ ln 10 = q

• q = ln 10 > 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest rozbieżny

(wiemy, że rozbieżny do ∞, bo a

n

> 0)

4

Przykłady do zadania 11.4:
Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=1

(−1)

n

1

n

- jest to tzw. szereg anharmoniczny

• jest to szereg naprzemienny postaci

∞

X

n=1

(−1)

n

b

n

, gdzie b

n

=

1

n

, n

0

= 1

• b

n

to ciąg malejący

• lim

n→∞

b

n

= 0

• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny

(b)

∞

X

n=1

(−1)

n

n + 2

n

2

+ 3

• jest to szereg naprzemienny postaci

∞

X

n=1

(−1)

n

b

n

, gdzie b

n

=

n + 2

n

2

+ 3

, n

0

= 1

• b

n

to ciąg malejący, bo:

b

n+1

− b

n

=

n + 3

(n + 1)

2

+ 3

−

n + 2

n

2

+ 3

=

(n + 3)(n

2

+ 3) − (n + 2)(n

2

+ 2n + 4)

(n

2

+ 3)((n + 1)

2

+ 3)

=

=

(n

3

+ 3n

2

+ 3n + 9) − (n

3

+ 4n

2

+ 8n + 8)

(n

2

+ 3)((n + 1)

2

+ 3)

=

−n

2

− 5n + 1

(n

2

+ 3)((n + 1)

2

+ 3)

< 0

(licznik jest mniejszy od −1 − 5 + 1 < 0, a mianownik zawsze dodatni)

• lim

n→∞

b

n

= lim

n→∞

n + 2

n

2

+ 3

= lim

n→∞

1

n

+

2

n

2

1 +

3

n

2

=

0 + 0

1 + 0

= 0

• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny

(c)

∞

X

n=3

(−1)

n+1

ln n

n

• jest to szereg naprzemienny postaci

∞

X

n=3

(−1)

n+1

b

n

, gdzie b

n

=

ln n

n

, n

0

= 3

• b

n

to ciąg malejący, bo:

b

n

= f (n) dla f (x) =

ln x

x

,

a dla takiej funkcji f

0

(x) =

1 − ln x

x

2

< 0 dla x > e,

więc f (x) jest malejąca na półprostej [3, ∞), zawierające wszystkie n ­ 3;

• lim

n→∞

b

n

= 0, bo:

lim

x→∞

f (x) = lim

x→∞

ln x

x

=



∞
∞



H

= lim

x→∞

1
x

1

= 0

• Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny

5