Przykład 10.5. Obliczenie wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu
Obliczy´c wska´zniki plastyczno´sci przy skr˛ecaniu dla nast˛epuj ˛
acych przekrojów:
a) n-k ˛
ata foremnego
b) przekroju zło˙zonego
29a
17a
6a
16a
17a
c) przekroju cienko´sciennego
20a
a
10a
a
9.5a
a
10a
1
Rozwi ˛
azanie
a) n-k ˛
at foremny
Wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu dla przekrojów jednospójnych mo˙zna łatwo policzy ´c
korzystaj ˛
ac z tzw. analogii Nadaia, zwanej równie˙z analogi ˛
a wzgórza piaskowego. Zgodnie
z ni ˛
a wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu takiego przekroju równy jest podwojonej obj˛eto´sci
bryły powstałej poprzez nasypanie piasku na przekrój, je˙zeli k ˛
at u podstawy owej bryły wynosi
45
◦
.
a
r
h
Tak wi˛ec, w rozpatrywanym przypadku wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu b˛edzie równy
podwojonej obj˛eto´sci ostrosłupa o podstawie n-k ˛
ata foremnego.
W
pl
= 2V = 2 ·
1
3
SH
gdzie
V
−
obj˛eto´s´c ostrosłupa
S
−
pole powierzchni podstawy
H
−
wysoko´s´c ostrosłupa
Rozpatrywany przekrój mo˙zna podzieli´c na n trójk ˛
atów, tak wi˛ec pole powierzchni n-k ˛
ata fo-
remnego jest równe:
S
= n ·
1
2
ah
Poniewa˙z boku ostrosłupa tworz ˛
a z podstaw ˛
a k ˛
at
45
◦
, wi˛ec zachodzi zale˙zno´s´c
H
= h
Je˙zeli zało˙zy´c, ˙ze rozpatrywany wielok ˛
at mo˙zna wpisa´c w okr ˛
ag o promieniu r, to prawd ˛
a jest,
˙ze
sin
360
◦
n
2
=
a
2
r
=⇒
a
= 2r sin
180
◦
n
cos
360
◦
n
2
=
h
r
=⇒
h
= r cos
180
◦
n
2
Tak wi˛ec
S
= n ·
1
2
ah
=
n
2
· 2r sin
180
◦
n
· r cos
180
◦
n
=
n
2
· r
2
· 2 sin
180
◦
n
cos
180
◦
n
=
=
n
2
r
2
sin
360
◦
n
Obj˛eto´s´c nasypanego ostrosłupa jest wi˛ec równa
V
=
1
3
Sh
=
1
3
·
n
2
r
2
sin
360
◦
n
· r cos
180
◦
n
=
n
6
r
3
sin
360
◦
n
cos
180
◦
n
Ostatecznie mo˙zna zapisa´c wzór na wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu przekroju w kształ-
cie n-k ˛
ata foremnego:
W
pl
= 2V =
n
3
r
3
sin
360
◦
n
cos
180
◦
n
=
2
3
nr
3
sin
180
◦
n
1 − sin
2
180
◦
n
3
b) przekrój zło˙zony
29a
17a
6a
16a
17a
W celu obliczenia wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu powy˙zszego przekroju ponownie
zastosujemy analogi˛e wzgórza piaskowego Nadaia.
Widok z góry usypanego wzgórza przedstawia poni˙zszy rysunek.
29a
17a
5a
6a
16a
12a
17a
Obliczenie obj˛eto´sci pokazanej bryły wymaga podzielenia jej na prostsze elementy.
4
6a
3a
3a
14a
3a
6a
b
5a
6a
16a
12a
17a
x
y
z = 13a
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
B
C
D
E
Zgodnie z analogi ˛
a Nadaia wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu wynosi zatem
W
pl
= 2V = 2 (V
1
+ V
2
+ V
3
+ V
4
+ V
5
+ V
6
)
Figur ˛
a pierwsz ˛
a jest ostrosłup o podstawie trapezu. St ˛
ad
V
1
=
1
3
· S
1
· h
1
gdzie S
1
oznacza pole podstawy ostrosłupa, a h
1
jego wysoko´s´c.
Poniewa˙z k ˛
at nachylenia boków do podstawy ostrosłupa wynosi
45
◦
to
h
1
=
12a
2
= 6a
Je´sli oznaczymy wymiary ostrosłupa tak jak na rysunku poni˙zej, to mo˙zemy zapisa ´c
S
1
=
1
2
(b + b + 5a) · 12a = 6a (2b + 5a)
Nieznan ˛
a długo´s´c boków b i z mo˙zna łatwo policzy´c wykorzystuj ˛
ac twierdzenie Pitagorasa,
poniewa˙z trójk ˛
at ABD jest prostok ˛
atny, co wykazaqno poni˙zej.
z
2
= (5a)
2
+ (12a)
2
=⇒
z
=
√
25a
2
+ 144a
2
= 13a
Poniewa˙z k ˛
aty nachylenia wszystkich boków bryły do podstawy s ˛
a równe, wi˛ec odcinki AD
i BD musz ˛
a le˙ze´c na dwusiecznych odpowiednio
EAD i
ABC. Czyli
EAD
=
DAB
=
1
2
EAB
ABD
=
DBC
=
1
2
ABC
5
Poniewa˙z podstaw ˛
a bryły
1. jest czworok ˛
at, w którym
BCE
=
CEA
= 90
◦
, wi˛ec
EAB
+
ABC
+
BCE
+ CEA = 360
◦
=⇒
=⇒
EAB
+
ABC
= 180
◦
=⇒
=⇒
2 DAB + 2 ABD = 180
◦
=⇒
DAB
+ ABD = 90
◦
Suma k ˛
atów w trójk ˛
acie wynosi
180
◦
, wi˛ec
ADB
= 180
◦
− ( DAB +
ABD
) = 180
◦
− 90
◦
= 90
◦
co oznacza, ˙ze trójk ˛
at ABD jest trójk ˛
atem prostok ˛
atnym.
Tak wi˛ec mo˙zna zapisa´c:
x
2
= b
2
+ (6a)
2
y
2
= (b + 5a)
2
+ (6a)
2
x
2
+ y
2
= z
2
= (13a)
2
=⇒
x
2
= b
2
+ 36a
2
y
2
= b
2
+ 10ab + 61a
2
x
2
+ y
2
= 169a
2
St ˛
ad
b
2
+ 36a
2
+ b
2
+ 10ab + 61a
2
= 169a
2
=⇒
2b
2
+ 10ab − 72a
2
= 0
=⇒
=⇒
b
2
+ 5ab − 36a
2
= 0
Pierwiastek z delty jest równy
√
∆ =
√
25a
2
+ 4 · 36a
2
=
√
169a
2
= 13a
za´s warto´s´c a
b
=
−5a + 13a
2
= 4a
Tak wi˛ec
S
1
= 6a (2 · 4a + 5a) = 78a
2
V
1
=
1
3
· 78a
2
· 6a = 156a
3
Bryła druga to graniastosłup o podstawie trójk ˛
atnej, którego obj˛eto´s´c wynosi
V
2
=
1
2
· 12a · 6a · (17a − 4a − 6a) = 252a
3
Brył ˛
a trzeci ˛
a jest ostrosłup o podstawie prostok ˛
atnej.
V
3
=
1
3
· 6a · 12a · 6a = 144a
3
Bryła czwarta to ostrosłup o podstawie trójk ˛
atnej, tak wi˛ec
V
4
=
1
3
·
1
2
· 6a · 3a · 3a = 9a
3
6
Bryły pi ˛
ata i szósta to odpowiednio graniastosłup o podstawie trójk ˛
atnej i ostrosłup o podstawie
prostok ˛
atnej, st ˛
ad
V
5
=
1
2
· 6a · 3a · (17a − 3a) = 126a
3
V
6
=
1
3
· 6a · 3a · 3a = 18a
3
Ostatecznie wi˛ec obj˛eto´s´c bryły nasypanego piasku jest równa
V
=
6
X
i=1
V
i
= 156a
3
+ 252a
3
+ 144a
3
+ 9a
3
+ 126a
3
+ 18a
3
= 705a
3
St ˛
ad szukany wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu wynosi
W
pl
= 2V = 2 · 705a
3
= 1410a
3
7
c) przekrój cienko´scienny
20a
a
10a
a
9.5a
a
10a
Podobnie jak w przypadku b
) aby obliczy´c warto´s´c wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu
nale˙zy podwoi´c obj˛eto´s´c bryły, która powstałaby w wyniku nasypania piasku na rozpatrywany
przekrój, przy zało˙zeniu, ˙ze k ˛
at u podstawy tej bryły byłby równy
45
◦
.
0.5a
9a
a
9a
0.5a
a
10a
a
0.5a
4a
a
4a
0.5a
8
W
pl
= 2·
1
2
·
a
2
· (9a + a + 9a + 10a + 4a + a + 4a) + 4 ·
1
3
·
a
2
· a ·
a
2
+
+ 2 ·
1
3
·
1
2
· a ·
a
2
·
a
2
= 2 ·
38
4
+
1
3
+
1
12
a
3
= 19
5
6
a
3
≈ 19,83a
3
W wielu przypadkach obliczenie dokładnej warto´sci wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu
mo˙ze by´c czasochłonne. Je´sli przekrój mo˙zna podzieli´c na n prostok ˛
atów o wymiarach a
i
× h
i
,
przy czym a
i
h
i
sensowne jest u˙zycie wzoru uproszczonego, który ma nast˛epuj ˛
ac ˛
a posta ´c:
W
u
pl
=
1
2
n
X
i=1
a
i
h
2
i
W rozpatrywanym przypadku mo˙zna wyodr˛ebni´c trzy prostok ˛
aty.
rys.
Tak wi˛ec
W
u
pl
=
1
2
10a · a
2
+ 10a · a
2
+ 20a · a
2
= 20a
3
Ró˙znica pomi˛edzy rozwi ˛
azaniem dokładnym, a przybli˙zonym wynosi w tym przypadku
∆ =
W
u
pl
− W
pl
W
pl
· 100% =
20a
3
− 19
5
6
a
3
19
5
6
a
3
· 100% ≈ 0,84%
9