Praca domowa nr 2

Zadanie 1

Obliczy¢ podane caªki z funkcji niewymiernych:

A.

1.

R

dx

x

√

x

2

+4x−4

2.

R

dx

(2x−3)

√

4x−x

2

3.

R

x

4

dx

√

x

2

+4x+5

B.

1.

R

x

2

√

9 − x

2

dx

2.

R

dx

x

2

√

4+x

2

3.

R

√

x

2

−1dx
x

4.

R √

x

2

+ 81dx

C.

1.

R

dx

√

x+

3

√

x

2.

R

4

√

3x − 7dx

3.

R

x

√

2x − 10dx

4.

R

3

q

x+1
x−1

·

dx

x+1

Zadanie 2
Korzystajac z interpretacji geometrycznej caªki oznaczonej

R

b

a

f (x)dx

obliczy¢ caªk¦

R

0

−5

√

25 − x

2

dx

.

Zadanie 3
Obliczy¢ caªki oznaczone

a)

R

2

−2

||x|−1|dx

b)

R

π

−π

| sin x+

1
2

|dx

c)

R

2

0

√

x

4

− 4x

2

+ 4dx

Zadanie 4
Wykorzystujac wªasno±ci caªek z funkcji parzystych, nieparzystych

lub okresowych uzasadnij równo±ci
a)

R

π

−π

x sin x

1+cos(x

2

)

dx = 2

R

π

0

x sin x

1+cos(x

2

)

dx

b)

R

1
e

−

1
e

ln

1+sin x
1−sin x

dx = 0

c)

R

n

0

(x −

E(x))dx = n

R

1

0

(x −

E(x))dx, gdzie n ∈ N oraz

E(x) := max{k ∈ Z : k ≤ x}.

1

Zadanie 5
Oblicz pole obszaru ograniczonego:
a) krzywymi y = e

−x

, y = e

3x

, y =

√

e

b) elips¡

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

(a, b > 0).

c) krzywymi y

2

= −x

, y = x − 6, y = −1, y = 4.

Zadanie 6
Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ≤ x ≤ π/4.
Zadanie 7
Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku krzywej okre±lonej we wspóªrz¦dnych biegunowych

równaniem r(ϕ) = cos

2 ϕ

2

dla 0 ≤ ϕ ≤ π.

Zadanie 8
Wyprowadz wzór na obj¦to±¢ sto»ka ±ci¦tego o wysoko±ci H i

promieniach podstaw r i R, gdzie r < R.
Zadanie 9
Obliczy¢ pola powierzchni powstaªych z obrotu wykresów podanych

funkcji wokóª wskazanych osi:
a) f(x) =

√

4 + x

, −4 ≤ x ≤ 2, Ox

b) f(x) = ln x, 1 ≤ x ≤

√

3

, Oy.

Zadanie 10
Zbada¢ zbie»no±¢ caªek
a)

Z

∞

−∞

dx

e

−x

+ e

x

b)

Z

1

0

ln(x + 1)

x

√

x

dx

2