Materiał pomocniczy do ćw. 1 z Elektrodynamiki (P. Kowalczyk)

1

Wektory w przestrzeni trójwymiarowej

Formalnie wektor definiowany jest jako element przestrzeni wektorowej. W niniejszych rozważaniach
skupimy się na Euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej R

3

.

1.1

Podstawowe operacje

Niech a = [a

x

, a

y

, a

z

], b = [b

x

, b

y

, b

z

], c = [c

x

, c

y

, c

z

] oraz v = [v

x

, v

y

, v

z

] będą elementami prze-

strzeni wektorowej R

3

, zaś α, β i γ liczbami rzeczywistymi (w ogólności zespolonymi). Poniżej

zdefiniowane zostały podstawowe operacje wykonywane na wektorach.

• suma wektorów:

c

= a + b, gdzie c

i

= a

i

+ b

i

, i ∈ {x, y, z}.

• iloczyn wektora i liczby:

c

= αa, gdzie c

i

= αa

i

, i ∈ {x, y, z}.

• kombinacja liniowa:

v

= αa + βb + γc, gdzie v

i

= αa

i

+ βb

i

+ γv

i

, i ∈ {x, y, z}.

• długość wektora:

|a| =

q

a

2

x

+ a

2

y

+ a

2

z

(wektor o długości równej 1 nazywa się wersorem).

1.2

Baza kanoniczna

Dowolny wektor v należący do przestrzeni R

3

może być zapisany jako kombinacja liniowa trzech

wektorów a, b i c (v = αa + βb + γc), jeżeli są one niezależne liniowo, tzn. spełniają warunek

1









a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z









6= 0.

(1.1)

Warunek taki jest bezpośrednią konsekwencją rozwiązywalności (jednoznacznej) układu równań

2











αa

x

+ βb

x

+ γc

x

= v

x

,

αa

y

+ βb

y

+ γc

y

= v

y

,

αa

z

+ βb

z

+ γc

z

= v

z

,

(1.2)

niezależnie od wartości współczynników wektora v.

Każdy zbiór wektorów spełniający warunek (1.1) można nazywać bazą tworzącą przestrzeń

wektorową. Szczególnym przypadkiem bazy wektorowej jest baza kanoniczna składająca sie z
następującej trójki wektorów (wersorów): i

x

= [1, 0, 0], i

y

= [0, 1, 0] oraz i

z

= [0, 0, 1]

Zatem dowolny wektor v może być zapisany jako kombinacja liniowa elementów bazy kanonicznej
v

= v

x

i

x

+ v

y

i

y

+ v

z

i

z

. Na przykład v = [4, 1, −3] = 4i

x

+ i

y

− 3i

z

.

1

Wyznacznik dowolnego stopnia obliczyć można stosując (iteracyjnie) rozwinięcie Laplace’a







a

b

c

d

e

f

g

h

i







=

a

(−1)

1+1






e

f

h

i






+ b(−1)

1+2






d

f

g

i






+ c(−1)

1+3






d

e

g

h






= a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg).

2

Z twierdzenia Kroneckera - Capellego wynika, że układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie jeżeli jego wyznacz-

nik ogólny jest różny od zera.

1

Przykład
Czy trójka wektorów w

1

= [0, 1, 1], w

2

= [1, 0, 1] oraz w

3

= [1, 1, 0] stanowić może bazę dla prze-

strzeni R

3

? Jeżeli tak, to zapisz wektor v = [1, 2, 3] w tej bazie.

Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności sprawdzamy warunek niezależności liniowej wektorów, czyli obliczamy war-

tość wyznacznika (1.1). Dla zadanych wektorów









0 1 1
1 0 1
1 1 0









= 2, co świadczy o ich niezależności

liniowej i o tym, że stanowić one mogą bazę dla tej przestrzeni. W celu rozwinięcia wektora v w

tej bazie (v = αw

1

+ βw

2

+ γw

3

) należy rozwiązać układ równań











β + γ

= 1,

α + γ = 2,
α + β = 3.

Stąd α = 2,

β = 1 oraz γ = 0.

1.3

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny jest operacją wykonywaną na dwóch wektorach, a której wynikiem jest skalar.
Zgodnie z definicją, warunkami jaki spełniać musi iloczyn skalarny są:

1. a · b = b · a

2. (αa) · b = α(a · b)

3. (a + b) · c = a · c + b · c

4. a · a = |a|

2

­ 0, (a · a = 0 dla a = 0)

Warunki te spełnia oczywiście najczęściej spotykana forma iloczynu skalarnego wektorów:

a

· b = |a||b| cos(∠{a, b})

(1.3)

Do najważniejszych własności iloczynu skalarnego zaliczyć można:

1. a ⊥ b ⇒ a · b = 0,

2. a · a = |a|

2

⇒ |a| =

√

a

· a,

3. i

i

· i

j

=

(

1, i = j,
0, i 6= j,

gdzie i, j ∈ {x, y, z},

4. a·b = a

x

b

x

+a

y

b

y

+a

z

b

z

(jednocześnie jest to równoważna definicja iloczynu skalarnego,

a dowód równoważności wynika bezpośrednio z rozpisania wektorów a i b w bazie kanonicznej
oraz z poprzedniej własności.)

5. cos ∠{a, b} =

a

·b

|a||b|

=

a

x

b

x

+

a

y

b

y

+

a

z

b

z

|a||b|

Iloczyn skalarny ma następującą interpretację geometryczną: jeżeli wektor b ma długość jednost-
kową, to iloczyn skalarny a · b jest rzutem prostopadłym wektora a na kierunek wyznaczony przez
wektor b. Jeżeli b jest innej długości to rzut wektora a na kierunek wyznaczony przez wektor b
wyznaczyć można dzieląc ich iloczyn skalarny przez długość wektora b (lub równoważnie poprzez
zastąpienie wektora b wersorem i

b

= b/|b|.)

Przykłady

1. Niech a = [1, 2, 3] i b = [5, 5, m]. Wiedząc, że a ⊥ b wyznacz parametr m.

Rozwiązanie:
Z własności iloczynu skalarnego, jeżeli a ⊥ b to a · b = 0. Zatem 5 + 10 + 3m = 0, stąd
m = −5.

2

2. Wyznacz kąt pomiędzy wektorami a = [3, 0, 4] i b = [1, 2, −2].

Rozwiązanie:
Z własności iloczynu skalarnego, cos ∠{a, b} =

a

x

b

x

+

a

y

b

y

+

a

z

b

z

|a||b|

= −

1
3

. Zatem ∠{a, b} = arccos(−

1
3

) ≈

1.9106

3. Znajdź wektor b, prostopadły do a = [3, 4, 0], wiedząc, że leży on w płaszczyźnie z = const,

a jego długość jest równa 10.
Rozwiązanie:
Niech b = [b

x

, b

y

, 0]. Z prostopadłości wektorów wynika, że 3b

x

+ 4b

y

= 0, zaś z informacji

o długości b

2
x

+ b

2
y

= 100. Rozwiązaniem powstałego w ten sposób układu równań sa dwa

wektory b

1

= [8, −6, 0] lub b

2

= [−8, 6, 0].

4. Znajdź wektor c, tworzący z wektorem a = [0, 1,

√

3] kąt π/3, wiedząc, że leży on w płasz-

czyźnie x = const, a jego długość jest równa 4.
Rozwiązanie:
Niech c = [0, c

y

, c

z

]. Znając kąt pomiędzy wektorami możemy napisać c

y

+

√

3c

z

= 4, zaś z

informacji o długości c

2
y

+ c

2
z

= 16. Rozwiązaniem powstałego w ten sposób układu równań

sa dwa wektory b

1

= [0, 4, 0] lub b

2

= [0, −2, 2

√

3].

5. Rozłóż wektor a = [−5, 10, 0] na dwie składowe - składową równoległą do wektora b = [6, 8, 0]

oraz składową prostopadłą do b.
Rozwiązanie:
Wprowadzamy wersor (wektor jednostkowy) i

b

=

b

|b|

= [

3
5

,

4
5

, 0], wyznaczający kierunek wek-

tora b. Wówczas iloczyn skalarny i

b

· a = 5 jest rzutem wektora a na kierunek wyznaczony

przez wektor b. Jednak sam rzut nie jest wektorem (skalar), aby wyznaczyć wektor a

k

należy

nadać wspomnianemu rzutowi odpowiedni kierunek - a

k

= (i

b

· a)i

b

= [3, 4, 0]. Ponieważ

a

= a

k

+ a

⊥

, to a

⊥

= a − a

k

= [−8, 6, 0].

1.4

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy jest operacją wykonywaną na dwóch wektorach, a której wynikiem jest wektor.
Definicja iloczynu wektorowego wektorów a i b ma następującą formę:

a

× b = c,

(1.4)

gdzie

1. |c| = |a||b| sin ∠{a, b}

2. c ⊥ a i c ⊥ b

3. zwrot wektora c wynika z reguły prawoskrętności - obracanie (śrubą) gwintem prawoskręt-

nym (umiejscowionym na osi prostopadłej do obu wektorów), w stronę wyznaczoną przez
najkrótszą drogę pomiędzy wektorami, powoduje ruch gwintu określający zwrot wektora c

Najważniejszymi własnościami wynikającymi bezpośrednio z samej definicji iloczynu wektoro-

wego są:

1. a × b = −(b × a)

2. (αa) × b = α(a × b)

3. (a + b) × c = a × c + b × c

4. a k b ⇒ a × b = 0

5. a × a = 0

3

6. i

x

× i

x

= 0, i

x

× i

y

= i

z

, i

x

× i

z

= −i

y

i

y

× i

x

= −i

z

, i

y

× i

y

= 0, i

y

× i

z

= i

x

i

z

× i

x

= i

y

, i

z

× i

y

= −i

x

, i

z

× i

z

= 0

7. a × b = i

x

(a

y

b

z

− a

z

b

y

) − i

y

(a

x

b

z

− a

z

b

x

) + i

z

(a

x

b

y

− a

y

b

x

) =









i

x

i

y

i

z

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z









(jednocześnie

jest to równoważna definicja iloczynu wektorowego, a dowód równoważności wynika
bezpośrednio z rozpisania wektorów a i b w bazie kanonicznej oraz z poprzedniej własności.)

Iloczyn wektorowy również posiada swoją interpretację geometryczną. Długość wektora c jest

co do wartości równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. Cecha ta może być
także wykorzystana w obliczaniu pola trójkąta zbudowanego na tych wektorach.

Przykład
Znajdź wektor c, który jest jednocześnie prostopadły do wektora a = [1, −4, 3] i wektora b =
[3, −6, 6], wiedząc, że jego długość jest równa 6.
Rozwiązanie:
Niech k = a × b = [−6, 3, 6]. Kierunek wyznaczony przez wektor k jest jednocześnie kierunkiem
wektora c. Wówczas i

k

=

k

|k|

jest wersorem wyznaczającym kierunek c. Ostatecznie c = ±|c|i

k

=

±[−4, 2, 4].

1.5

Iloczyn mieszany wektorów

Iloczyn mieszany wektorów nie jest żadną nową operacją wykonywaną na wektorach, a jedynie
połączeniem dwóch innych operacji omówionych wcześniej - iloczynu skalarnego i wektorowego.
Iloczyn mieszany definiuje się poprzez wyznacznik:

a

· (b × c) = [a

x

, a

y

, a

z

] ·









i

x

i

y

i

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z









=









a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z









(1.5)

Własności iloczynu mieszanego wynikają bezpośrednio z własności iloczynu skalarnego i wek-

torowego:

1. a · (b × c) = (b × c) · a

2. a · (b × c) = −a · (c × b)

3. a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)

Ciekawa jest także interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego. Wartość bezwzględna z ilo-
czynu mieszanego jest co do wartości równa objętości równoległościanu zbudowanego na tych wek-
torach. Długość wektora będącego iloczynem wektorowym b × c określa pole podstawy równole-
głościanu, a jego kierunek jest do niej prostopadły. Zatem, jego iloczyn skalarny z wektorem a
reprezentować musi objętość powstałej bryły V = |b × c||a| cos α.

Przykład
Wyznacz objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: a = [2, 0, 0], b = [0, 3, 0] oraz
c

= [0, −1, 1].

Rozwiązanie:
Objętość wyznaczyć można licząc wartość bezwzględna z iloczyn mieszanego wektorów V = |a ·

(b × c)| =

















2

0

0

0

3

0

0 −1 1

















= 6.

4