Materiał pomocniczy do ćw. 1 z Elektrodynamiki (P. Kowalczyk)
1
Wektory w przestrzeni trójwymiarowej
Formalnie wektor definiowany jest jako element przestrzeni wektorowej. W niniejszych rozważaniach
skupimy się na Euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej R
3
.
1.1
Podstawowe operacje
Niech a = [a
x
, a
y
, a
z
], b = [b
x
, b
y
, b
z
], c = [c
x
, c
y
, c
z
] oraz v = [v
x
, v
y
, v
z
] będą elementami prze-
strzeni wektorowej R
3
, zaś α, β i γ liczbami rzeczywistymi (w ogólności zespolonymi). Poniżej
zdefiniowane zostały podstawowe operacje wykonywane na wektorach.
• suma wektorów:
c
= a + b, gdzie c
i
= a
i
+ b
i
, i ∈ {x, y, z}.
• iloczyn wektora i liczby:
c
= αa, gdzie c
i
= αa
i
, i ∈ {x, y, z}.
• kombinacja liniowa:
v
= αa + βb + γc, gdzie v
i
= αa
i
+ βb
i
+ γv
i
, i ∈ {x, y, z}.
• długość wektora:
|a| =
q
a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
(wektor o długości równej 1 nazywa się wersorem).
1.2
Baza kanoniczna
Dowolny wektor v należący do przestrzeni R
3
może być zapisany jako kombinacja liniowa trzech
wektorów a, b i c (v = αa + βb + γc), jeżeli są one niezależne liniowo, tzn. spełniają warunek
1
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
6= 0.
(1.1)
Warunek taki jest bezpośrednią konsekwencją rozwiązywalności (jednoznacznej) układu równań
2
αa
x
+ βb
x
+ γc
x
= v
x
,
αa
y
+ βb
y
+ γc
y
= v
y
,
αa
z
+ βb
z
+ γc
z
= v
z
,
(1.2)
niezależnie od wartości współczynników wektora v.
Każdy zbiór wektorów spełniający warunek (1.1) można nazywać bazą tworzącą przestrzeń
wektorową. Szczególnym przypadkiem bazy wektorowej jest baza kanoniczna składająca sie z
następującej trójki wektorów (wersorów): i
x
= [1, 0, 0], i
y
= [0, 1, 0] oraz i
z
= [0, 0, 1]
Zatem dowolny wektor v może być zapisany jako kombinacja liniowa elementów bazy kanonicznej
v
= v
x
i
x
+ v
y
i
y
+ v
z
i
z
. Na przykład v = [4, 1, −3] = 4i
x
+ i
y
− 3i
z
.
1
Wyznacznik dowolnego stopnia obliczyć można stosując (iteracyjnie) rozwinięcie Laplace’a
a
b
c
d
e
f
g
h
i
=
a
(−1)
1+1
e
f
h
i
+ b(−1)
1+2
d
f
g
i
+ c(−1)
1+3
d
e
g
h
= a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg).
2
Z twierdzenia Kroneckera - Capellego wynika, że układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie jeżeli jego wyznacz-
nik ogólny jest różny od zera.
1
Przykład
Czy trójka wektorów w
1
= [0, 1, 1], w
2
= [1, 0, 1] oraz w
3
= [1, 1, 0] stanowić może bazę dla prze-
strzeni R
3
? Jeżeli tak, to zapisz wektor v = [1, 2, 3] w tej bazie.
Rozwiązanie:
W pierwszej kolejności sprawdzamy warunek niezależności liniowej wektorów, czyli obliczamy war-
tość wyznacznika (1.1). Dla zadanych wektorów
0 1 1
1 0 1
1 1 0
= 2, co świadczy o ich niezależności
liniowej i o tym, że stanowić one mogą bazę dla tej przestrzeni. W celu rozwinięcia wektora v w
tej bazie (v = αw
1
+ βw
2
+ γw
3
) należy rozwiązać układ równań
β + γ
= 1,
α + γ = 2,
α + β = 3.
Stąd α = 2,
β = 1 oraz γ = 0.
1.3
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny jest operacją wykonywaną na dwóch wektorach, a której wynikiem jest skalar.
Zgodnie z definicją, warunkami jaki spełniać musi iloczyn skalarny są:
1. a · b = b · a
2. (αa) · b = α(a · b)
3. (a + b) · c = a · c + b · c
4. a · a = |a|
2
0, (a · a = 0 dla a = 0)
Warunki te spełnia oczywiście najczęściej spotykana forma iloczynu skalarnego wektorów:
a
· b = |a||b| cos(∠{a, b})
(1.3)
Do najważniejszych własności iloczynu skalarnego zaliczyć można:
1. a ⊥ b ⇒ a · b = 0,
2. a · a = |a|
2
⇒ |a| =
√
a
· a,
3. i
i
· i
j
=
(
1, i = j,
0, i 6= j,
gdzie i, j ∈ {x, y, z},
4. a·b = a
x
b
x
+a
y
b
y
+a
z
b
z
(jednocześnie jest to równoważna definicja iloczynu skalarnego,
a dowód równoważności wynika bezpośrednio z rozpisania wektorów a i b w bazie kanonicznej
oraz z poprzedniej własności.)
5. cos ∠{a, b} =
a
·b
|a||b|
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
|a||b|
Iloczyn skalarny ma następującą interpretację geometryczną: jeżeli wektor b ma długość jednost-
kową, to iloczyn skalarny a · b jest rzutem prostopadłym wektora a na kierunek wyznaczony przez
wektor b. Jeżeli b jest innej długości to rzut wektora a na kierunek wyznaczony przez wektor b
wyznaczyć można dzieląc ich iloczyn skalarny przez długość wektora b (lub równoważnie poprzez
zastąpienie wektora b wersorem i
b
= b/|b|.)
Przykłady
1. Niech a = [1, 2, 3] i b = [5, 5, m]. Wiedząc, że a ⊥ b wyznacz parametr m.
Rozwiązanie:
Z własności iloczynu skalarnego, jeżeli a ⊥ b to a · b = 0. Zatem 5 + 10 + 3m = 0, stąd
m = −5.
2
2. Wyznacz kąt pomiędzy wektorami a = [3, 0, 4] i b = [1, 2, −2].
Rozwiązanie:
Z własności iloczynu skalarnego, cos ∠{a, b} =
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
|a||b|
= −
1
3
. Zatem ∠{a, b} = arccos(−
1
3
) ≈
1.9106
3. Znajdź wektor b, prostopadły do a = [3, 4, 0], wiedząc, że leży on w płaszczyźnie z = const,
a jego długość jest równa 10.
Rozwiązanie:
Niech b = [b
x
, b
y
, 0]. Z prostopadłości wektorów wynika, że 3b
x
+ 4b
y
= 0, zaś z informacji
o długości b
2
x
+ b
2
y
= 100. Rozwiązaniem powstałego w ten sposób układu równań sa dwa
wektory b
1
= [8, −6, 0] lub b
2
= [−8, 6, 0].
4. Znajdź wektor c, tworzący z wektorem a = [0, 1,
√
3] kąt π/3, wiedząc, że leży on w płasz-
czyźnie x = const, a jego długość jest równa 4.
Rozwiązanie:
Niech c = [0, c
y
, c
z
]. Znając kąt pomiędzy wektorami możemy napisać c
y
+
√
3c
z
= 4, zaś z
informacji o długości c
2
y
+ c
2
z
= 16. Rozwiązaniem powstałego w ten sposób układu równań
sa dwa wektory b
1
= [0, 4, 0] lub b
2
= [0, −2, 2
√
3].
5. Rozłóż wektor a = [−5, 10, 0] na dwie składowe - składową równoległą do wektora b = [6, 8, 0]
oraz składową prostopadłą do b.
Rozwiązanie:
Wprowadzamy wersor (wektor jednostkowy) i
b
=
b
|b|
= [
3
5
,
4
5
, 0], wyznaczający kierunek wek-
tora b. Wówczas iloczyn skalarny i
b
· a = 5 jest rzutem wektora a na kierunek wyznaczony
przez wektor b. Jednak sam rzut nie jest wektorem (skalar), aby wyznaczyć wektor a
k
należy
nadać wspomnianemu rzutowi odpowiedni kierunek - a
k
= (i
b
· a)i
b
= [3, 4, 0]. Ponieważ
a
= a
k
+ a
⊥
, to a
⊥
= a − a
k
= [−8, 6, 0].
1.4
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy jest operacją wykonywaną na dwóch wektorach, a której wynikiem jest wektor.
Definicja iloczynu wektorowego wektorów a i b ma następującą formę:
a
× b = c,
(1.4)
gdzie
1. |c| = |a||b| sin ∠{a, b}
2. c ⊥ a i c ⊥ b
3. zwrot wektora c wynika z reguły prawoskrętności - obracanie (śrubą) gwintem prawoskręt-
nym (umiejscowionym na osi prostopadłej do obu wektorów), w stronę wyznaczoną przez
najkrótszą drogę pomiędzy wektorami, powoduje ruch gwintu określający zwrot wektora c
Najważniejszymi własnościami wynikającymi bezpośrednio z samej definicji iloczynu wektoro-
wego są:
1. a × b = −(b × a)
2. (αa) × b = α(a × b)
3. (a + b) × c = a × c + b × c
4. a k b ⇒ a × b = 0
5. a × a = 0
3
6. i
x
× i
x
= 0, i
x
× i
y
= i
z
, i
x
× i
z
= −i
y
i
y
× i
x
= −i
z
, i
y
× i
y
= 0, i
y
× i
z
= i
x
i
z
× i
x
= i
y
, i
z
× i
y
= −i
x
, i
z
× i
z
= 0
7. a × b = i
x
(a
y
b
z
− a
z
b
y
) − i
y
(a
x
b
z
− a
z
b
x
) + i
z
(a
x
b
y
− a
y
b
x
) =
i
x
i
y
i
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
(jednocześnie
jest to równoważna definicja iloczynu wektorowego, a dowód równoważności wynika
bezpośrednio z rozpisania wektorów a i b w bazie kanonicznej oraz z poprzedniej własności.)
Iloczyn wektorowy również posiada swoją interpretację geometryczną. Długość wektora c jest
co do wartości równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. Cecha ta może być
także wykorzystana w obliczaniu pola trójkąta zbudowanego na tych wektorach.
Przykład
Znajdź wektor c, który jest jednocześnie prostopadły do wektora a = [1, −4, 3] i wektora b =
[3, −6, 6], wiedząc, że jego długość jest równa 6.
Rozwiązanie:
Niech k = a × b = [−6, 3, 6]. Kierunek wyznaczony przez wektor k jest jednocześnie kierunkiem
wektora c. Wówczas i
k
=
k
|k|
jest wersorem wyznaczającym kierunek c. Ostatecznie c = ±|c|i
k
=
±[−4, 2, 4].
1.5
Iloczyn mieszany wektorów
Iloczyn mieszany wektorów nie jest żadną nową operacją wykonywaną na wektorach, a jedynie
połączeniem dwóch innych operacji omówionych wcześniej - iloczynu skalarnego i wektorowego.
Iloczyn mieszany definiuje się poprzez wyznacznik:
a
· (b × c) = [a
x
, a
y
, a
z
] ·
i
x
i
y
i
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
=
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
(1.5)
Własności iloczynu mieszanego wynikają bezpośrednio z własności iloczynu skalarnego i wek-
torowego:
1. a · (b × c) = (b × c) · a
2. a · (b × c) = −a · (c × b)
3. a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)
Ciekawa jest także interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego. Wartość bezwzględna z ilo-
czynu mieszanego jest co do wartości równa objętości równoległościanu zbudowanego na tych wek-
torach. Długość wektora będącego iloczynem wektorowym b × c określa pole podstawy równole-
głościanu, a jego kierunek jest do niej prostopadły. Zatem, jego iloczyn skalarny z wektorem a
reprezentować musi objętość powstałej bryły V = |b × c||a| cos α.
Przykład
Wyznacz objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: a = [2, 0, 0], b = [0, 3, 0] oraz
c
= [0, −1, 1].
Rozwiązanie:
Objętość wyznaczyć można licząc wartość bezwzględna z iloczyn mieszanego wektorów V = |a ·
(b × c)| =
2
0
0
0
3
0
0 −1 1
= 6.
4