1
5. CAŁKI OZNACZONE
n
x
x
x
P
,...,
,
1
0
- podział odcinka [a, b] na n części, gdzie a = x
0
< x
1
< ... < x
n
= b, n
N.
x
k
= x
k
- x
k-1
– długość k-tego odcinka podziału P, 1
k
n
(P) = max{
x
k
: 1
k
n } – średnica podziału P
]
,
[
1
k
k
k
x
x
x
-punkt pośredni k-tego odcinka podziału P, 1
k
n
f - funkcja ograniczona na przedziale [a, b]
1
( , )
(
)
n
k
k
k
f P
f x
x
- suma całkowa funkcji f odpowiadającą podziałowi P odcinka [a, b] oraz
punktom pośrednim
k
x
, 1
k
n tego podziału
Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x), osią Ox i prostymi
x = a, x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach
k
x
i wysokościach , 1
k
n.
Def.5.1 (całka oznaczona Riemanna)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a, b].
Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem
( )
0
1
( )
lim
(
)
b
n
k
k
P
k
a
f x dx
f x
x
,
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od
1. sposobu podziałów P przedziału [a, b]
2. wyboru punktów pośrednich
k
x
, 1
k
n.
Przyjmujemy
( )
0
a
a
f x dx
oraz
( )
( )
a
b
b
a
f x dx
f x dx
dla a < b.
Zamiast symbolu
b
a
dx
x
f
)
(
można pisać
b
a
dx
x
f
,
)
(
lub krótko
b
a
f albo też
b
a
f
,
.
Tw.5.1 (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów
nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.
Tw.5.2 (Newtona – Leibniza)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
,
gdzie F - dowolna funkcja pierwotna funkcji f na przedziale [a, b].
2
Zamiast
( )
( )
F b
F a
będziemy pisali
b
a
x
F
)
(
lub
b
a
x
F
)
(
.
Tw.5.3
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b] oraz c
R, to
a)
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
,
b)
b
a
b
a
dx
x
f
c
dx
x
cf
)
(
)
(
.
Tw.5.4 (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a, b], to
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
/
/
.
Tw.5.5 (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b],
2. funkcja
:
,
,
a b
ma ciągłą pochodną na przedziale [
,
],
3.
b
a
)
(
,
)
(
,
to
dt
t
t
f
dx
x
f
b
a
)
(
)
(
)
(
/
.
Tw.5.6
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz c
(a, b), to
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
.
Całka funkcji nieparzystej
Niech funkcja f będzie nieparzysta i całkowalna na przedziale [-a, a]. Wtedy
a
a
dx
x
f
0
)
(
.
Całka funkcji parzystej
Niech funkcja f będzie parzysta i całkowalna na przedziale [-a, a]. Wtedy
a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
)
(
.
Zastosowania całek oznaczonych
Pole trapezu krzywoliniowego
Niech funkcje f i g będą ciągłe na przedziale [a, b] oraz niech
f(x) < g(x) dla każdego x
(a, b).
Pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami
funkcji f i g oraz prostymi x = a, x = b wyraża się wzorem:
( )
( )
b
a
D
g x
f x dx
3
Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresami funkcji x = d(y), x = g(y) gdzie y
[p, q], wyraża
się wzorem:
( )
( )
q
p
D
g y
f y dy
.
Długość krzywej
Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b].
Długość krzywej
, ( ) :
[ , ]
L
x f x
x
a b
wyraża się wzorem:
2
/
1
( )
b
a
L
f
x
dx
.
Objętość bryły obrotowej
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale [a, b]. Ponadto niech T oznacza trapez
krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osią Ox oraz prostymi x = a, x = b, gdzie a < b.
Objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi Ox wyraża się wzorem:
2
( )
b
a
V
f
x dx
.
Pole powierzchni bryły obrotowej
Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b].
Pole powierzchni S powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyraża się wzorem:
2
/
2
( ) 1
( )
b
a
S
f x
f
x
dx
.
S
L