Analiza matematyczna -
ćwiczenia
Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013
Ewa Cygan
Wersja z 4 stycznia 2013
Analiza matematyczna -
ćwiczenia
Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013
Ewa Cygan
Wersja z 4 stycznia 2013
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
Zestaw 1 - ekstrema warunkowe i globalne
Wskazówki do rozwiązania zadań domowych:
(1) Jeśli mamy znaleźć inf i sup danej funkcji na danym zbiorze staramy się najpierw
uzasadnić, że zbiór ten jest zwarty, (por. ćwiczenia)
(2) Jeśli mamy poszukać ekstremów funkcji klasy C
1
(np. wielomianu) na zbiorze za-
danym nierównościami słabymi to najpierw szukamy ekstremów lokalnych na zbiorze da-
nym nierównościami silnymi, (wtedy ten zbiór jest otwarty i tam liczymy ekstrema lo-
kalne tradycyjnymi metodami) a potem badamy istnienie ekstremum na zbiorze danym
równaniami jako ekstremum warunkowe np. mnożnikami Lagrange’a, (por. ćwiczenia i
pkt. (3) wskazówek). Przykład: jeśli mam znaleźć inf i sup pewnej funkcji na zbiorze
A = {(x, y) ∈ R
2
:
x
2
+ y
2
6 4} to uzasadniam jego zwartość a następnie rozkładam
go na A = {(x, y) : x
2
+ y
2
< 4} ∪ {(x, y) : x
2
+ y
2
= 4} i szukam osobno ekstremów na
pierwszym zbiorze (licząc lokalne bo to zbiór otwarty) i na drugim zbiorze np. korzystając
z utworzenia funkcji L
f
(x, y) = f (x) + λ(x
2
+ y
2
− 4) i dalej jak na zajęciach. Mając punkty
’podejrzane’ z obu zbiorów liczę wartości f i wybieram największą i najmniejszą.
(3) metoda mnożników Lagrange’a: metodę tę na przykładach mają Państwo opisaną
np. tutaj:
http://mediawiki.ilab.pl/index.php/Analiza_matematyczna_2
- wchodzimy na dole strony na moduł nr 9 o funkcjach uwikłanych i ekstremach warunko-
wych - bardzo proszę przeanalizować oba przykłady z części ’Ekstrema warunkowe.Metoda
mnożników Lagrange’a.’ i spróbować na ich podstawie (oraz na podstawie wykładu o ile to
możliwe:)) rozwiązać zadania domowe. Ewentualne wątpliwości będziemy sobie tłumaczyć
na zajęciach.
Lokalne ekstrema warunkowe w punktach regularnych zbioru
Rozważmy zbiór A = {x ∈ R
n
: g
1
(x) = . . . = g
k
(x) = 0}. Jeśli funkcje g
i
są klasy C
1
to możemy określić tzw. punkt regularny a zbioru A jako taki w którym rząd macierzy:
M =
∂g
1
∂x
1
(x) . . .
∂g
1
∂x
n
(x)
. . .
. . .
. . .
∂g
k
∂x
1
(x) . . .
∂g
1
∂x
k
(x)
i
ii
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
jest maksymalny.
W każdym punkcie regularnym zbioru A możemy określić pojęcie przestrzeni stycznej
do tego zbioru w tym punkcie. Dla zbioru A danego równaniami powyżej mamy:
T
x
(A) = {h = (h
1
, . . . , h
n
) ∈ R
n
:
∂g
i
∂x
1
(x)h
1
+ . . . +
∂g
i
∂x
n
h
n
= 0}
czyli przestrzeń styczna opisuje się k-równaniami, (por. przykład jaki podałam na ćwicze-
niach).
Metody badania czy w danym punkcie regularnym zbioru jest minimum/maksimum
lokalne:
Metoda I - określoność formy drugiej pochodnej na przestrzeni stycznej
(1) tworzymy funkcję Lagrange’a L(x
1
, . . . , x
n
) = f (x
1
, . . . , x
n
) + λ
1
g
1
(x) + . . . + λ
k
g
k
(x)
i znajdujemy punkty podejrzane,
(2) w punktach podejrzanych badamy określoność formy kwadratowej drugiej pochodnej
(hesjanu):
H :=
∂
2
f
∂x
2
1
(x)
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
(x) . . .
∂
2
f
∂x
1
∂x
n
(x)
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
(x)
∂
2
f
∂x
2
2
(x)
. . .
∂
2
f
∂x
2
∂x
n
(x)
..
.
..
.
..
.
..
.
∂
2
f
∂x
n
∂x
1
(x)
∂
2
f
∂x
n
∂x
2
(x) . . .
∂
2
f
∂x
2
n
(x)
licząc Φ(h
1
, . . . , h
n
) :=
h
1
. . . h
n
·H ·
h
1
..
.
h
n
. Jeśli dla każdego h 6= (0, . . . , 0), h ∈ T
x
A
wartość Φ(h) > 0 to mamy minimum, jeśli Φ(h) < 0 to mamy maksimum.
Metoda II - hesjan obrzeżony
W przypadku gdy k = 1 czyli mamy jedno równanie to podobnie jak poprzednio two-
rzymy funkcję Lagrange’a i wyliczamy punkty podejrzane.
Tworzymy tzw. hesjan obrzeżony, czyli macierz:
H
B
:=
0
∂g
∂x
1
∂g
∂x
2
. . .
∂g
∂x
n
∂g
∂x
1
∂
2
f
∂x
2
1
(x)
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
(x) . . .
∂
2
f
∂x
1
∂x
n
(x)
∂g
∂x
2
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
(x)
∂
2
f
∂x
2
2
(x)
. . .
∂
2
f
∂x
2
∂x
n
(x)
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
∂g
∂x
n
∂
2
f
∂x
n
∂x
1
(x)
∂
2
f
∂x
n
∂x
2
(x) . . .
∂
2
f
∂x
2
n
(x)
Zestaw 1 - ekstrema warunkowe i globalne
iii
Badamy określoność tej macierzy. Jeśli wyznaczniki wszystkich minorów głównych od
drugiego do n-tego są dodatnie to mamy minimum. Jeśli drugi minor jest dodatni a potem
mamy na przemian: ujemny, dodatni, ujemny, dodatni to mamy maksimum.
Zadania na zajęciach
0.1. Znaleźć lokalne minimum funkcji f (x, y, z) = (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
+ (z − 3)
2
na zbiorze
A = {(x, y, z) ∈ R
3
: −x − y + z = 0}. Czy jest to inf f na tym zbiorze ?
0.2. Z prostokątnej tektury o powierzchni 1 m
2
(i wymiarach nie większych od 1) wycina-
my ’rogi’ w postaci kwadratów o długości boku z i sklejamy pudełko. Przy jakich wymiarach
boków oraz z objętość pudełka jest maksymalna ?
0.3. Znaleźć inf f na zbiorze K gdzie f (x, y, z) = xy + xz zaś K = {(x, y, z) ∈ K :
4x
2
+ y
2
− 1 = 0, xz − 1 = 0}.
0.4. Znaleźć ekstrema lokalne i globalne funkcji f (x, y, z) = xyz na zbiorze K =
{(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x + y + z = 1}.
0.5. Znaleźć inf f na zbiorze K gdy f (x, y) = 2x + 2y + |x| zaś K = {(x, y) ∈ R
2
:
x
2
+ y
2
6 1}.
Zadania domowe
zad. 1.1. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y, z) = x
2
+3y
2
−5z
2
na zbiorze K = {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ y
2
+ z
2
6 4}.
zad.1.2. Rozstrzygnąć w którym punkcie zbioru K = {x ∈ R
n
:
||x||
2
= 1, ∀i =
1, . . . , n : x
i
> 0} funkcja f (x
1
, . . . , x
n
) = x
1
x
2
2
· . . . · x
n
n
przyjmuje wartość największą i
obliczyć ją.
zad.1.3. Znaleźć odległość punktu (a, 1) leżącego na prostej y = a od paraboli 2y = x
2
.
zad.1.4. Niech f : {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
6 25} 3 (x, y) −→ x
2
+ y
2
− 12x + 16y ∈ R.
Wyznaczyć obraz funkcji f .
zad.1.5. Niech f : {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+y
2
+z
2
6 100, z 6 8} 3 (x, y) −→ x
2
+2y
2
+3z
2
∈
R. Wyznaczyć obraz funkcji f .
zad.1.6. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y, z) = x + y + z na zbiorze K =
{(x, y, z)R
3
: x
2
+ y
2
+ z
2
6 25, x
2
+ y
2
6 9}.
zad.1.7. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) na
zbiorze A = [0,
π
2
] × [0,
π
2
].
zad.1.8. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y) = x
2
y na zbiorze A = {(x, y) ∈
R
2
: x
2
+ y
2
6 1}.
zad.1.9. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y, z) = yz na zbiorze K = {(x, y, z) ∈
R
3
: x
2
+ y
2
= 1, x = z}.
zad.1.10. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y, z) = 4|y| + x + y + z na zbiorze
K = {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ y
2
+ 4z
2
6 4}.
zad.1.11. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x
2
− y
2
na zbiorze S = {(x, y) ∈
R
2
: x
2
+ y
2
= 1} stosując metodę I opisaną we wstępie. Sprawdzić, czy działa metoda
hesjanu obrzeżonego.
iv
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
Zestaw 2 - całki krzywoliniowe i ich zastosowania
W całkach jakie mamy do wyliczenia niżej można wykorzystać następujące parametryzacje
(należy najpierw sprawdzić, że parametryzacje te istotnie wyznaczają odpowiednie zbiory):
(1) Parametryzacja odcinka o początku A(x
1
, y
1
) i końcu B(x
2
, y
2
): F : x = x
1
+ (x
2
−
x
1
)t, y = y
1
+ (y
2
− y
1
)t gdzie t ∈ [0, 1].
(2) Parametryzacja okręgu o środku S(x
0
, y
0
) i promieniu R: F : x = x
0
+ R cos t,
y = y
0
+ R sin t gdzie t ∈ [0, 2π].
(3) Parametryzacja elipsy o środku S(x
0
, y
0
) i półosiach a, b: F : x = x
0
+ a cos t,
y = y
0
+ b sin t gdzie t ∈ [0, 2π].
Dla poniższych krzywych - asteroidy, cykloidy i kardioidy znaleźć rysunki w
internecie i wiedzieć jak one wyglądają oraz jak powstają
(4) Parametryzacja asteroidy: F : x = a cos
3
t, y = a sin
3
t, t ∈ [0, 2π].
(5) Parametryzacja cykloidy: F : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π].
(6) Parametryzacja kardioidy: F : x = a cos t(1 + cos t), y = a sin t(1 + cos t), t ∈ [0, 2π].
(7) Parametryzacja odcinka w przestrzeni o początku A(x
1
, y
1
, z
1
) i końcu B(x
2
, y
2
, z
2
):
F : x = x
1
+ (x
2
− x
1
)t, y = y
1
+ (y
2
− y
1
)t, z = z
1
+ (z
2
− z
1
)t gdzie t ∈ [0, 1].
(8) Linia śrubowa w przestrzeni o skoku h i nawinięta na walec (x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
= R
2
ma parametryzację: F : x = x
0
+ R cos t, y = y
0
+ R sin t, z =
h
2π
t, gdzie t ∈ R (naszkicować
tę krzywą).
zad.2.1. Obliczyć całkę krzywoliniową
R
C
f (x
1
, . . . , x
n
)ds po łuku C (na płaszczyźnie lub
w przestrzeni stąd n = 2 lub n = 3 - wykorzystać wzory z ćwiczeń) gdy;
(1) f (x, y) =
1
px
2
+ y
2
zaś C to odcinek łączący punkty (0, −1), (2, 0).
(2) f (x, y) = xy zaś C to część okręgu x
2
+ y
2
= R
2
leżąca w I ćwiartce układu,
(3) f (x, y) = x
2
+ y
2
zaś C to okrąg x
2
+ y
2
= x.
(4) f (x, y) =
1
y − x
zaś C to łuk wykresu funkcji y =
1
2
x − 2 między punktami (0, −2),
(4, 0).
(5) f (x, y, z) = xyz zaś C to ćwiartka okręgu x
2
+ y
2
+ z
2
= 4, x
2
+ y
2
= 1 leżąca w
pierwszym oktancie układu współrzędnych.
(6) f (x, y, z) =
xz
1 + 2y
gdzie C to łuk zadany parametrycznie x = t, y = t
2
, z = t
3
dla
t ∈ [0, 1].
(7) f (x, y, z) = xz gdzie C to brzeg trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 2),
C = (2, 1, 1).
Zastosowania: wzór na długość łuku
Zestaw 2 - całki krzywoliniowe i ich zastosowania
v
Jeśli C jest krzywą regularną zadaną parametrycznie równaniami: x
1
= x
1
(t), . . . x
n
=
x
n
(t), dla t ∈ [a, b] to długość łuku takiej krzywej wyraża się wzorem
|C| =
b
Z
a
2
p|x
0
1
(t)|
2
+ . . . + |x
0
n
(t)|
2
dt.
zad.2.2. Obliczyć długości łuków krzywych C:
(1) C : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) t ∈ [0, 2π], (zwykła cykloida)
(2) C - jeden zwój linii śrubowej o skoku h nawiniętej na walec o promieniu R,
(3) C : x = e
−t
cos t, y = e
−t
sin t, z = e
−t
t ∈ [0, +∞), (stożkowa linia śrubowa).
zad.2.3. Naszkicować na płaszczyźnie i w przestrzeni łuki o podanych parametryzacjach:
(1) ϕ(t) = (2 − 3t, −4t) t ∈ R,
(2) ϕ(t) = (2 sin t, 2 cos t) dla t ∈ [0, π],
(3)
ϕ(t) = (t, t
2
) dla t ∈ [0, +∞),
(4) ϕ(t) = (e
−t
, e
2t
), t ∈ R,
(5) ϕ(t) = (3, 2 cos t, 3 sin t),
t ∈ [0, 2π],
(6) ϕ(t) = (1 + 3t, −1 + t, 2t), t ∈ R.
zad.2.4. Obliczyć całki krzywoliniowe funkcji f (x, y, z) po krzywej C:
(1) C - okrąg w przestrzeni dany równaniami: x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
, x + y + z = 0,
f (x, y, z) = x
2
.
(2) C - krzywa dana równaniamix
2
+ y
2
= z
2
, y
2
= ax przebiegana od punktu (0, 0, 0)
do (a, a, a
√
2), f (x, y, z) = z.
(3) C - asteroida, f (x, y) = x
4/3
+ y
4/3
.
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej w mechanice:
Jeśli % = %(x, y, z) to gęstość liniowa w dowolnym punkcie krzywej C to masa tej krzywej
to M =
R
C
%(x, y, z)ds. Współrzędne środka ciężkości tej krzywej to x
0
=
1
M
Z
C
x%(x, y, z)ds,
y
0
=
1
M
Z
C
y%(x, y, z)ds, z
0
=
1
M
Z
C
z%(x, y, z)ds, (przy krzywej na płaszczyźnie mamy te
same wzory tylko z dwiema zmiennymi).
zad.2.5. Obliczyć masę krzywej x = a cos t, y = b sin t (a > b > 0, 0 6 t 6 2π) jeżeli jej
gęstość wynosi %(x, y) = |y|.
zad.2.6. Wyliczyć masę łuku paraboli y
2
+ 2px, (0
6 x 6 p/2) jeżeli jej gęstość w
punkcie M (x, y) wynisi |y|.
zad.2.7. Obliczyć masę krzywej x = at, y =
a
2
t
2
, z =
a
3
t
3
(t ∈ [0, 1]) o gęstości ϕ =
r 2y
a
.
zad.2.8. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości cykloidy.
vi
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
Całka krzywoliniowa skierowana
Def: łuk na płaszczyźnie i w przestrzeni Łukiem zwykłym na płaszczyźnie (odp.
w przestrzeni) będziemy nazywać obraz parametryzacji ϕ : I −→ R
2
, (odp. ϕ : I −→ R
3
gdzie I - przedział w R, ϕ jest ciągła i różnowartościowa na I. Mówimy po prostu o łuku
gdy funkcja ϕ nie jest co prawda różnowartościowa na całym I ale wokół każdego punktu
jest otoczenie w którym jest różnowartościowa. Jeśli wartości ϕ na końcach przedziału I
się pokrywają to mówimy o łuku zamkniętym. Łuk jest gładki gdy parametryzacja jest
regularna (tak jak to sprawdzaliśmy do tej pory).
Def: łuk zorientowany Łuk zwykły niezamknięty na którym ustalono początek i ko-
niec, (czyli kierunek jego przebiegania) nazywam się łukiem zorientowanym. Jeśli Γ to
łuk zorientowany to ten sam łuk ale zorientowany przeciwnie oznaczamy przez −Γ. Jeśli ze
wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji jaką
chcemy to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z jego orientacją.
3.1. Sprawdzić, która z poniższych parametryzacji łuku Γ = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
=
1, y
> 0} dla którego początkiem jest (1, 0 zaś końcem (−1, 0) jest zgodna z jego orientacją:
(1) x = cos t, y = sin t, t ∈ [0π],
(2) x = cos(−t), y = sin(−t), t ∈ [−π, 0],
(3)
x = sin t, y = cos t, t ∈ [−π/2, π/2],
(4) x = t, y =
√
1 − t
2
, t ∈ [−1, 01].
Teoria: całka krzywoliniowa zorientowana: Jeśli Γ jest łukiem gładkim o ustalonej
orientacji, ϕ = (ϕ
1
, ϕ
2
) : [a, b] −→ R
2
(lub ϕ = (ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
) : [a, b] −→ R
3
) jest parame-
tryzacją zgodną z jego orientacją, F = (P, Q) : R
2
3 (x, y) −→(P (x, y), Q(x, y)) ∈ R
2
,
(F = (P, Q, R) : R
3
3 (x, y, z) −→(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ∈ R
3
) to pole wekto-
rowe na R
2
(na R
3
) to całkę zorientowaną, (inaczej skierowaną) po łuku Γ z tego pola
wektorowego liczymy następująco:
Z
Γ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
β
Z
α
[P (ϕ
1
(t), ϕ
2
(t))ϕ
0
1
(t) + Q(ϕ
1
(t), ϕ
2
(t))ϕ
0
2
(t)]dt
Z
Γ
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
β
Z
α
[P (ϕ
1
(t), ϕ
2
(t), ϕ
3
(t))ϕ
0
1
(t) + Q(ϕ
1
(t), ϕ
2
(t), ϕ
3
(t))ϕ
0
2
(t) + R(ϕ
1
(t), ϕ
2
(t), ϕ
3
(t))ϕ
0
3
(t)]dt
Uwaga: jeśli łuk zorientowany jest zamknięty i po nim całkujemy to w miejsce oznaczenia
R
piszemy
H .
3.2. Wyliczyć całki krzywoliniowe z danych pól wektorowych po łukach Γ i −Γ, (w miarę
możności najpierw narysować odpowiedni łuk):
(1) F (x, y) = (2x + y, x
2
− y), Γ : x = t, y = t
2
, t ∈ [0, 1],
(2) F (x, y) = (y, −x
2
),
Γ :
x = t, y =
1
2
t
2
, t ∈ [0, 2],
(3) F (x, y) = (x + y, x − y), Γ :
x = 2 cos t, y =
4 sin t, t ∈ [0,
π
4
],
(4) F (x, y) = (xy, x), Γ :
x = t, y = 1 − t
2
, t ∈ [−1, 1],
(5)
F (x, y) = (e
y−x
, xy), Γ : x = 2 + t, y = 3 − t, t ∈ [0, 1],
(6) F (x, y) = (yz, −xz, xy),
Całka krzywoliniowa skierowana
vii
Γ : x = e
t
, y = e
3t
, z = e
−t
t ∈ [0, 1],
(7) F (x, y) = (x, y, z), Γ : x = t
2
, y = 4t + 1, z =
t − 1 t ∈ [1, 4],
(8) F (x, y) = (z, x, y), Γ : x = sin t, y = 3 sin t, z = sin
2
t t ∈ [0,
π
2
],
(9) F (x, y) = (y + z, x + z, x + y), Γ : x = t, y = t
2
, z = t
3
t ∈ [0, 1].
3.2. Obliczyć całki krzywoliniowe z danych pól wektorowych na płaszczyźnie po łukach
określonych równaniem y = y(x) o orientacji zgodnej z parametryzacją:
(1) F (x, y) = (−y, x), y =
√
3x, gdzie x ∈ [0, 3],
(2) F (x, y) = (x
2
+ y
2
, xy), y = e
x
,
gdzie x ∈ [0, 3],
(3) F (x, y) = (x
2
+ y
2
, −x), y =
√
1 − x
2
, gdzie x ∈ [0, 1],
(4)
F (x, y) = (y
2
− 2xy, y
2
− 2xy), y = 1 − |1 − x|, gdzie x ∈ [0, 2].
3.3. Wyliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
R
Γ
(3x + 2y)dx + (2x − y)dy gdy Γ to:
(1) odcinek skierowany od punktu (0, 0) to punktu (1, 1),
(2) łuk paraboli y = x
2
skierowany od punktu (0, 0) do punktu (1, 1),
(3) łuk sinusoidy y = sin
πx
2
skierowany od (0, 0) do (1, 1),
(4) krzywą określoną równaniem x = y
3
skierowaną od punktu (0, 0) do punktu (1, 1).
3.4. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną
H
Γ
ydx − xdy gdy Γ to:
(1) brzeg trójkąta o wierzchołkach przebieganych w kolejności (0, 0), (1, 0), (0, 1) i (0, 0)
(suma całek)
(2) brzeg kwadratu o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0)
i (1, 0
(3) górnym półokręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 5
zamkniętym osią Ox przebieganym w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara.
Potencjał pola i pole potencjalne Jeśli mamy pole wektorowe F określone na obsza-
rze D to nazywamy je potecjalnym gdy istnieje U : D −→ R taka, że F = gradU . Funkcję
U nazywa się potencjałem pola F .
Inaczej jeśli F = (P, Q) (albo F = (P, Q, R)) to mamy związek:
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
, R =
∂U
∂z
.
WKW na potencjalność pola: Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to by
pole F = (P, Q) było potencjalne jest
∂P (x, y)
∂y
=
∂Q(x, y)
∂x
.
3.5. Sprawdzić, czy poniższe pola są potencjalne, jeśli tak to spróbować znaleźć ich
potencjał:
(1) F = (2(x − y), 2x + 3y
2
),
(2) F (x, y) = (3y
2
, 6xy),
(3) F (x, y) = (cos y +
y cos x, sin x − x sin y).
viii
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
Twierdzenie Greena i σ-algebry
4.1. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć podane całki krzywoliniowe po łukach do-
datnio zorientowanych względem swojego wnętrza, (tzn. obszar leży cały czas po lewej
stronie przebieganego łuku).
(a)
H
Γ
3xydx + 2xydy, Γ - brzeg prostokąta ograniczonego prostymi: x = −2, x = 4,
y = 1, y = 2.
(b)
H
Γ
(e
x
+ y
2
)dx + (e
y
+ x
2
)dy, Γ - brzeg obszaru ograniczonego wykresami funkcji
y = x
2
, y = x.
(c)
H
Γ
ytg
2
xdx + tgxdy, Γ - okrąg opisany równaniem x
2
+ (y + 1)
2
= 1.
(d)
H
Γ
x
2
ydx − y
2
xdy, Γ - brzeg obszaru położonego w pierwszej ćwiartce układu współ-
rzędnych i ograniczonego okręgiem x
2
+ y
2
= 1.
(e)
H Γ(y − x
2
)dx + (x + y
2
dy, gdzie Γ- brzeg obszaru D := {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
6
R
2
, x > 0, y > 0} zorientowanym dodatnio, sprawdzić całkę licząc ją bezpośrednio.
4.2. Za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanj obliczyć pole obszaru ograniczonego
asteroidą Γ : x = cos
3
t, y = sin
3
t gdzie t ∈ [0, 2π]
4.3. (a) Niech Ω = {−1, 0,
1
3
, 1} zaś Σ = {Ω, {0,
1
3
, 1}}. Co należy dodać do zbioru Σ
aby była to σ-algebra ?
(b) Określmy funkcję: f : Ω 3 x −→ x +
1
3
∈ R. Czy jest to funkcja mierzalna ?
4.4. Udowodnić, że jeśli A i B to σ-algebry to A ∩ B też jest σ-algebrą. Podać przykład,
że nie jest to prawda dla sumy mnogościowej.
4.5. Niech A będzie rodziną złożoną ze wszystkich skończonych podzbiorów zbioru N
oraz ich odpełnień tzn.
A = {A ⊂ N : #A < ∞ lub #(N \ A) < ∞}.
Wykazać, że jest to algebra ale nie jest to σ-algebra.
σ-algebry, funkcje mierzalne i miary
5.1. Sprawdzić, czy rodzina F ⊂ 2
X
jest σ-algebrą, jeżeli:
(a) X = {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
} F = {∅, X, {x
1
}, {x
2
, x
3
}, {x
2
, x
3
, x
4
}},
(b) X = R zaś F jest określona warunkiem:
A ∈ F ⇐⇒ A − otwarty lub X \ A otwarty
(c) X = R zaś F jest określona warunkiem:
A ∈ F ⇐⇒ A − jest ograniczony lub X \ A ograniczony
(
1
)wzór na pole obszaru to |D| = −
H
Γ
ydx =
H
Γ
xdy =
1
2
H
Γ
xdy − ydx, gdzie Γ zorientowana dodatnio, D
- ograniczony łukiem zamkniętym Γ
σ-algebry, funkcje mierzalne i miary
ix
(d) X = R zaś F jest określona warunkiem:
A ∈ F ⇐⇒ [0, 1] ⊂ A − lub [0, 1] ⊂ X \ A
5.2. Wykazać, że jeśli f : X −→ Y odwzorowanie oraz A ⊂ 2
Y
to σ-algebra to B =
{f
−1
(A), A ∈ A} jest σ-algebrą na X.
5.3. Niech X = (0, 1), A
n
:= 0,
n−1
n
, n ∈ N. Czy algebra generowana przez rodzinę
{A
n
} podzbiorów X (najmniejsza algebra zawierająca tę rodzinę, algebra - tak jak σ-algebra
tylko rozważamy skończone sumy) to to samo co σ-algebra generowana przez tę rodzinę ?
(najmniejsza σ-algebra zawierająca tę rodzinę).
5.4. Niech X = R A = {(n, n + 1), n ∈ Z}, B = {[n, n + 1], n ∈ Z}. Sprawdzić jakie
zachodzą zawierania między σ-algebrami generowanymi przez rodzinę A i rodzinę B.
5.5. Odpowiedzieć na pytanie, które ze zbiorów w przestrzeni R są zbiorami borelowskimi
w R: dowolny zbiór domknięty, zbiór jednopunktowy, zbiór liczb wymiernych, zbiór liczb
niewymiernych.
5.6. Udowodnić, że σ-algebra zbiorów borelowskich na R jest najmniejszą σ-algebrą
generowaną przez
(1) rodzinę wszystkich odcinków otwartych,
(2) rodzinę wszystkich odcinków domkniętych,
(3) {(a, b], a, b ∈ R}
5.7. Sprawdzić, czy poniższe wzory określają miary na (X, M):
(1) (X, M) dowolna przestrzeń z σ-ciałem M, x
0
∈ X oraz:
µ(A) := δ
x
0
(A) :=
1, gdy x
0
∈ A
0, gdy x
0
/
∈ A
(2) X = N, M = 2
N
oraz µ(A) := #(A) :=
P
n∈A
1.
(3) X = N, M = 2
N
oraz
µ(A) :=
(
P
n∈A
1
2
n
, gdy A zbiór skończony
+∞,
gdy A zbiór nieskończony
(4) X = N, M = 2
N
oraz
µ(A) :=
0,
gdy A zbiór skończony
+∞, gdy A zbiór nieskończony
(5) X = N, M = 2
N
oraz
µ(A) :=
0,
gdy A zbiór co najwyżej przeliczalny
+∞, gdy A zbiór nieprzeliczalny
(
2
)zbiory borelowskie to elementy σ-algebry generowanej przez zbiory otwarte
x
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
5.8. Niech (f
n
)
∞
n=1
będzie danym ciągiem funkcji ciągłych określonych na R. Wykazać,
że poniższe zbiory są borelowskie:
(1) {x ∈ R :
lim
n −→ ∞
f
n
(x) = +∞},
(2) {x ∈ R : istnieje granica
lim
n −→ ∞
f
n
(x).
5.9. Przypomnieć definicję funkcji mierzalnej. Niech f : (X, M, µ) −→ R. Wykazać, że
poniższe warunki są równoważne:
(1) ∀ a ∈ R zbiór f
−1
((−∞, a)) jest mierzalny,
(2) (1) ∀ a ∈ R zbiór f
−1
((−∞, a]) jest mierzalny,
(3) ∀ a ∈ R zbiór f
−1
((a, ∞) jest mierzalny,
(4) ∀ a ∈ R zbiór f
−1
([a, ∞) jest mierzalny.
5.10. Wykazać, że jeśli f : X −→ R jest funkcją mierzalną, to dla dowolnych a, b ∈ R
takich, że a < b mierzalne są także zbiory:
f
−1
([a, b]), f
−1
((a, b]), f
−1
([a, b)), f
−1
((a, b)).
Na ćwiczenia 10.01. bardzo proszę o rozwiązanie następujących zadań: 5.4, 5.5, 5.8 oraz
poniższych z zestawu 6:
Miary i miary zewnętrzne, warunek Caratheodory’ego,
całki powierzchoniowe
6.1. Niech X = R, Na zbiorze podzbiorów R określamy funkcję następująco:
µ(A) :=
0, gdy 1 /
∈ A, 3 /
∈ A
2, gdy 1 ∈ A, 3 /
∈ A
3, gdy 1 /
∈ A, 3 ∈ A
4, gdy 1 ∈ A, 3 ∈ A
Sprawdzić, czy jest to miara, czy jest to miara zewnętrzna oraz wyznaczyć wszystkie pod-
zbiory R spełniające warunek Caratheodory’ego.
6.2. Niech X = R, Na zbiorze podzbiorów R określamy funkcję następująco:
µ(A) :=
0, gdy A = ∅
1, gdy A 6= ∅, A 6= R
2
gdy A = R
Sprawdzić, czy jest to miara, czy jest to miara zewnętrzna oraz wyznaczyć wszystkie pod-
zbiory R spełniające warunek Caratheodory’ego.
6.3. Przypomnieć definicję miary Lebesgue’a i odpowiedzieć na pytanie ile wynosi miara
Lebesgue’a zbiorów: (1) Q ∩ [1, 2],
(2) Q ∪ [1, 2],
(R \ Q) ∪ [1, 2).
6.4. Niech f : R −→ R będzie dana jako f (x) = x. Zbadać, czy f jest mierzalna, jeśli:
(1) M = {∅, R},
(2) M = {A ⊂ R : {1, 2} ⊂ A
lub A ⊂ R \ {1, 2}}.
6.5. Znaleźć miarę Lebesgue’a zbioru Cantora.