Analiza matematyczna -

ćwiczenia

Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013

Ewa Cygan

Wersja z 4 stycznia 2013

Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia

Zestaw 1 - ekstrema warunkowe i globalne

Wskazówki do rozwiązania zadań domowych:

(1) Jeśli mamy znaleźć inf i sup danej funkcji na danym zbiorze staramy się najpierw

uzasadnić, że zbiór ten jest zwarty, (por. ćwiczenia)

(2) Jeśli mamy poszukać ekstremów funkcji klasy C

1

(np. wielomianu) na zbiorze za-

danym nierównościami słabymi to najpierw szukamy ekstremów lokalnych na zbiorze da-
nym nierównościami silnymi, (wtedy ten zbiór jest otwarty i tam liczymy ekstrema lo-
kalne tradycyjnymi metodami) a potem badamy istnienie ekstremum na zbiorze danym
równaniami jako ekstremum warunkowe np. mnożnikami Lagrange’a, (por. ćwiczenia i
pkt. (3) wskazówek). Przykład: jeśli mam znaleźć inf i sup pewnej funkcji na zbiorze
A = {(x, y) ∈ R

2

:

x

2

+ y

2

6 4} to uzasadniam jego zwartość a następnie rozkładam

go na A = {(x, y) : x

2

+ y

2

< 4} ∪ {(x, y) : x

2

+ y

2

= 4} i szukam osobno ekstremów na

pierwszym zbiorze (licząc lokalne bo to zbiór otwarty) i na drugim zbiorze np. korzystając
z utworzenia funkcji L

f

(x, y) = f (x) + λ(x

2

+ y

2

− 4) i dalej jak na zajęciach. Mając punkty

’podejrzane’ z obu zbiorów liczę wartości f i wybieram największą i najmniejszą.

(3) metoda mnożników Lagrange’a: metodę tę na przykładach mają Państwo opisaną

np. tutaj:

http://mediawiki.ilab.pl/index.php/Analiza_matematyczna_2

- wchodzimy na dole strony na moduł nr 9 o funkcjach uwikłanych i ekstremach warunko-

wych - bardzo proszę przeanalizować oba przykłady z części ’Ekstrema warunkowe.Metoda
mnożników Lagrange’a.’ i spróbować na ich podstawie (oraz na podstawie wykładu o ile to
możliwe:)) rozwiązać zadania domowe. Ewentualne wątpliwości będziemy sobie tłumaczyć
na zajęciach.

Lokalne ekstrema warunkowe w punktach regularnych zbioru

Rozważmy zbiór A = {x ∈ R

n

: g

1

(x) = . . . = g

k

(x) = 0}. Jeśli funkcje g

i

są klasy C

1

to możemy określić tzw. punkt regularny a zbioru A jako taki w którym rząd macierzy:

M =








∂g

1

∂x

1

(x) . . .

∂g

1

∂x

n

(x)

. . .

. . .

. . .

∂g

k

∂x

1

(x) . . .

∂g

1

∂x

k

(x)








i

ii

Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia

jest maksymalny.

W każdym punkcie regularnym zbioru A możemy określić pojęcie przestrzeni stycznej

do tego zbioru w tym punkcie. Dla zbioru A danego równaniami powyżej mamy:

T

x

(A) = {h = (h

1

, . . . , h

n

) ∈ R

n

:

∂g

i

∂x

1

(x)h

1

+ . . . +

∂g

i

∂x

n

h

n

= 0}

czyli przestrzeń styczna opisuje się k-równaniami, (por. przykład jaki podałam na ćwicze-
niach).

Metody badania czy w danym punkcie regularnym zbioru jest minimum/maksimum

lokalne:

Metoda I - określoność formy drugiej pochodnej na przestrzeni stycznej

(1) tworzymy funkcję Lagrange’a L(x

1

, . . . , x

n

) = f (x

1

, . . . , x

n

) + λ

1

g

1

(x) + . . . + λ

k

g

k

(x)

i znajdujemy punkty podejrzane,

(2) w punktach podejrzanych badamy określoność formy kwadratowej drugiej pochodnej

(hesjanu):

H :=














∂

2

f

∂x

2
1

(x)

∂

2

f

∂x

1

∂x

2

(x) . . .

∂

2

f

∂x

1

∂x

n

(x)

∂

2

f

∂x

2

∂x

1

(x)

∂

2

f

∂x

2
2

(x)

. . .

∂

2

f

∂x

2

∂x

n

(x)

..

.

..

.

..

.

..

.

∂

2

f

∂x

n

∂x

1

(x)

∂

2

f

∂x

n

∂x

2

(x) . . .

∂

2

f

∂x

2

n

(x)














licząc Φ(h

1

, . . . , h

n

) :=

 h

1

. . . h

n

 ·H ·






h

1

..

.

h

n






. Jeśli dla każdego h 6= (0, . . . , 0), h ∈ T

x

A

wartość Φ(h) > 0 to mamy minimum, jeśli Φ(h) < 0 to mamy maksimum.

Metoda II - hesjan obrzeżony

W przypadku gdy k = 1 czyli mamy jedno równanie to podobnie jak poprzednio two-

rzymy funkcję Lagrange’a i wyliczamy punkty podejrzane.

Tworzymy tzw. hesjan obrzeżony, czyli macierz:

H

B

:=

















0

∂g

∂x

1

∂g

∂x

2

. . .

∂g

∂x

n

∂g

∂x

1

∂

2

f

∂x

2
1

(x)

∂

2

f

∂x

1

∂x

2

(x) . . .

∂

2

f

∂x

1

∂x

n

(x)

∂g

∂x

2

∂

2

f

∂x

2

∂x

1

(x)

∂

2

f

∂x

2
2

(x)

. . .

∂

2

f

∂x

2

∂x

n

(x)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

∂g

∂x

n

∂

2

f

∂x

n

∂x

1

(x)

∂

2

f

∂x

n

∂x

2

(x) . . .

∂

2

f

∂x

2

n

(x)

















Zestaw 1 - ekstrema warunkowe i globalne

iii

Badamy określoność tej macierzy. Jeśli wyznaczniki wszystkich minorów głównych od

drugiego do n-tego są dodatnie to mamy minimum. Jeśli drugi minor jest dodatni a potem
mamy na przemian: ujemny, dodatni, ujemny, dodatni to mamy maksimum.

Zadania na zajęciach

0.1. Znaleźć lokalne minimum funkcji f (x, y, z) = (x − 1)

2

+ (y − 2)

2

+ (z − 3)

2

na zbiorze

A = {(x, y, z) ∈ R

3

: −x − y + z = 0}. Czy jest to inf f na tym zbiorze ?

0.2. Z prostokątnej tektury o powierzchni 1 m

2

(i wymiarach nie większych od 1) wycina-

my ’rogi’ w postaci kwadratów o długości boku z i sklejamy pudełko. Przy jakich wymiarach
boków oraz z objętość pudełka jest maksymalna ?

0.3. Znaleźć inf f na zbiorze K gdzie f (x, y, z) = xy + xz zaś K = {(x, y, z) ∈ K :

4x

2

+ y

2

− 1 = 0, xz − 1 = 0}.

0.4. Znaleźć ekstrema lokalne i globalne funkcji f (x, y, z) = xyz na zbiorze K =

{(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

= 1, x + y + z = 1}.

0.5. Znaleźć inf f na zbiorze K gdy f (x, y) = 2x + 2y + |x| zaś K = {(x, y) ∈ R

2

:

x

2

+ y

2

6 1}.

Zadania domowe

zad. 1.1. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y, z) = x

2

+3y

2

−5z

2

na zbiorze K = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

6 4}.

zad.1.2. Rozstrzygnąć w którym punkcie zbioru K = {x ∈ R

n

:

||x||

2

= 1, ∀i =

1, . . . , n : x

i

> 0} funkcja f (x

1

, . . . , x

n

) = x

1

x

2
2

· . . . · x

n
n

przyjmuje wartość największą i

obliczyć ją.

zad.1.3. Znaleźć odległość punktu (a, 1) leżącego na prostej y = a od paraboli 2y = x

2

.

zad.1.4. Niech f : {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

6 25} 3 (x, y) −→ x

2

+ y

2

− 12x + 16y ∈ R.

Wyznaczyć obraz funkcji f .

zad.1.5. Niech f : {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+y

2

+z

2

6 100, z 6 8} 3 (x, y) −→ x

2

+2y

2

+3z

2

∈

R. Wyznaczyć obraz funkcji f .

zad.1.6. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y, z) = x + y + z na zbiorze K =

{(x, y, z)R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

6 25, x

2

+ y

2

6 9}.

zad.1.7. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) na

zbiorze A = [0,

π

2

] × [0,

π

2

].

zad.1.8. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y) = x

2

y na zbiorze A = {(x, y) ∈

R

2

: x

2

+ y

2

6 1}.

zad.1.9. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y, z) = yz na zbiorze K = {(x, y, z) ∈

R

3

: x

2

+ y

2

= 1, x = z}.

zad.1.10. Znaleźć infimum i supremum funkcji f (x, y, z) = 4|y| + x + y + z na zbiorze

K = {(x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ 4z

2

6 4}.

zad.1.11. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x

2

− y

2

na zbiorze S = {(x, y) ∈

R

2

: x

2

+ y

2

= 1} stosując metodę I opisaną we wstępie. Sprawdzić, czy działa metoda

hesjanu obrzeżonego.

iv

Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia

Zestaw 2 - całki krzywoliniowe i ich zastosowania

W całkach jakie mamy do wyliczenia niżej można wykorzystać następujące parametryzacje
(należy najpierw sprawdzić, że parametryzacje te istotnie wyznaczają odpowiednie zbiory):

(1) Parametryzacja odcinka o początku A(x

1

, y

1

) i końcu B(x

2

, y

2

): F : x = x

1

+ (x

2

−

x

1

)t, y = y

1

+ (y

2

− y

1

)t gdzie t ∈ [0, 1].

(2) Parametryzacja okręgu o środku S(x

0

, y

0

) i promieniu R: F : x = x

0

+ R cos t,

y = y

0

+ R sin t gdzie t ∈ [0, 2π].

(3) Parametryzacja elipsy o środku S(x

0

, y

0

) i półosiach a, b: F : x = x

0

+ a cos t,

y = y

0

+ b sin t gdzie t ∈ [0, 2π].

Dla poniższych krzywych - asteroidy, cykloidy i kardioidy znaleźć rysunki w

internecie i wiedzieć jak one wyglądają oraz jak powstają

(4) Parametryzacja asteroidy: F : x = a cos

3

t, y = a sin

3

t, t ∈ [0, 2π].

(5) Parametryzacja cykloidy: F : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π].

(6) Parametryzacja kardioidy: F : x = a cos t(1 + cos t), y = a sin t(1 + cos t), t ∈ [0, 2π].

(7) Parametryzacja odcinka w przestrzeni o początku A(x

1

, y

1

, z

1

) i końcu B(x

2

, y

2

, z

2

):

F : x = x

1

+ (x

2

− x

1

)t, y = y

1

+ (y

2

− y

1

)t, z = z

1

+ (z

2

− z

1

)t gdzie t ∈ [0, 1].

(8) Linia śrubowa w przestrzeni o skoku h i nawinięta na walec (x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

= R

2

ma parametryzację: F : x = x

0

+ R cos t, y = y

0

+ R sin t, z =

h

2π

t, gdzie t ∈ R (naszkicować

tę krzywą).

zad.2.1. Obliczyć całkę krzywoliniową

R

C

f (x

1

, . . . , x

n

)ds po łuku C (na płaszczyźnie lub

w przestrzeni stąd n = 2 lub n = 3 - wykorzystać wzory z ćwiczeń) gdy;

(1) f (x, y) =

1

px

2

+ y

2

zaś C to odcinek łączący punkty (0, −1), (2, 0).

(2) f (x, y) = xy zaś C to część okręgu x

2

+ y

2

= R

2

leżąca w I ćwiartce układu,

(3) f (x, y) = x

2

+ y

2

zaś C to okrąg x

2

+ y

2

= x.

(4) f (x, y) =

1

y − x

zaś C to łuk wykresu funkcji y =

1
2

x − 2 między punktami (0, −2),

(4, 0).

(5) f (x, y, z) = xyz zaś C to ćwiartka okręgu x

2

+ y

2

+ z

2

= 4, x

2

+ y

2

= 1 leżąca w

pierwszym oktancie układu współrzędnych.

(6) f (x, y, z) =

xz

1 + 2y

gdzie C to łuk zadany parametrycznie x = t, y = t

2

, z = t

3

dla

t ∈ [0, 1].

(7) f (x, y, z) = xz gdzie C to brzeg trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 2),

C = (2, 1, 1).

Zastosowania: wzór na długość łuku

Zestaw 2 - całki krzywoliniowe i ich zastosowania

v

Jeśli C jest krzywą regularną zadaną parametrycznie równaniami: x

1

= x

1

(t), . . . x

n

=

x

n

(t), dla t ∈ [a, b] to długość łuku takiej krzywej wyraża się wzorem

|C| =

b

Z

a

2

p|x

0
1

(t)|

2

+ . . . + |x

0

n

(t)|

2

dt.

zad.2.2. Obliczyć długości łuków krzywych C:

(1) C : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) t ∈ [0, 2π], (zwykła cykloida)

(2) C - jeden zwój linii śrubowej o skoku h nawiniętej na walec o promieniu R,

(3) C : x = e

−t

cos t, y = e

−t

sin t, z = e

−t

t ∈ [0, +∞), (stożkowa linia śrubowa).

zad.2.3. Naszkicować na płaszczyźnie i w przestrzeni łuki o podanych parametryzacjach:

(1) ϕ(t) = (2 − 3t, −4t) t ∈ R,

(2) ϕ(t) = (2 sin t, 2 cos t) dla t ∈ [0, π],

(3)

ϕ(t) = (t, t

2

) dla t ∈ [0, +∞),

(4) ϕ(t) = (e

−t

, e

2t

), t ∈ R,

(5) ϕ(t) = (3, 2 cos t, 3 sin t),

t ∈ [0, 2π],

(6) ϕ(t) = (1 + 3t, −1 + t, 2t), t ∈ R.

zad.2.4. Obliczyć całki krzywoliniowe funkcji f (x, y, z) po krzywej C:

(1) C - okrąg w przestrzeni dany równaniami: x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

, x + y + z = 0,

f (x, y, z) = x

2

.

(2) C - krzywa dana równaniamix

2

+ y

2

= z

2

, y

2

= ax przebiegana od punktu (0, 0, 0)

do (a, a, a

√

2), f (x, y, z) = z.

(3) C - asteroida, f (x, y) = x

4/3

+ y

4/3

.

Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej w mechanice:

Jeśli % = %(x, y, z) to gęstość liniowa w dowolnym punkcie krzywej C to masa tej krzywej

to M =

R

C

%(x, y, z)ds. Współrzędne środka ciężkości tej krzywej to x

0

=

1

M

Z

C

x%(x, y, z)ds,

y

0

=

1

M

Z

C

y%(x, y, z)ds, z

0

=

1

M

Z

C

z%(x, y, z)ds, (przy krzywej na płaszczyźnie mamy te

same wzory tylko z dwiema zmiennymi).

zad.2.5. Obliczyć masę krzywej x = a cos t, y = b sin t (a > b > 0, 0 6 t 6 2π) jeżeli jej

gęstość wynosi %(x, y) = |y|.

zad.2.6. Wyliczyć masę łuku paraboli y

2

+ 2px, (0

6 x 6 p/2) jeżeli jej gęstość w

punkcie M (x, y) wynisi |y|.

zad.2.7. Obliczyć masę krzywej x = at, y =

a
2

t

2

, z =

a
3

t

3

(t ∈ [0, 1]) o gęstości ϕ =

r 2y

a

.

zad.2.8. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości cykloidy.

vi

Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia

Całka krzywoliniowa skierowana

Def: łuk na płaszczyźnie i w przestrzeni Łukiem zwykłym na płaszczyźnie (odp.
w przestrzeni) będziemy nazywać obraz parametryzacji ϕ : I −→ R

2

, (odp. ϕ : I −→ R

3

gdzie I - przedział w R, ϕ jest ciągła i różnowartościowa na I. Mówimy po prostu o łuku
gdy funkcja ϕ nie jest co prawda różnowartościowa na całym I ale wokół każdego punktu
jest otoczenie w którym jest różnowartościowa. Jeśli wartości ϕ na końcach przedziału I
się pokrywają to mówimy o łuku zamkniętym. Łuk jest gładki gdy parametryzacja jest
regularna (tak jak to sprawdzaliśmy do tej pory).

Def: łuk zorientowany Łuk zwykły niezamknięty na którym ustalono początek i ko-

niec, (czyli kierunek jego przebiegania) nazywam się łukiem zorientowanym. Jeśli Γ to
łuk zorientowany to ten sam łuk ale zorientowany przeciwnie oznaczamy przez −Γ. Jeśli ze
wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji jaką
chcemy to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z jego orientacją.

3.1. Sprawdzić, która z poniższych parametryzacji łuku Γ = {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

=

1, y

> 0} dla którego początkiem jest (1, 0 zaś końcem (−1, 0) jest zgodna z jego orientacją:

(1) x = cos t, y = sin t, t ∈ [0π],

(2) x = cos(−t), y = sin(−t), t ∈ [−π, 0],

(3)

x = sin t, y = cos t, t ∈ [−π/2, π/2],

(4) x = t, y =

√

1 − t

2

, t ∈ [−1, 01].

Teoria: całka krzywoliniowa zorientowana: Jeśli Γ jest łukiem gładkim o ustalonej

orientacji, ϕ = (ϕ

1

, ϕ

2

) : [a, b] −→ R

2

(lub ϕ = (ϕ

1

, ϕ

2

, ϕ

3

) : [a, b] −→ R

3

) jest parame-

tryzacją zgodną z jego orientacją, F = (P, Q) : R

2

3 (x, y) −→(P (x, y), Q(x, y)) ∈ R

2

,

(F = (P, Q, R) : R

3

3 (x, y, z) −→(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ∈ R

3

) to pole wekto-

rowe na R

2

(na R

3

) to całkę zorientowaną, (inaczej skierowaną) po łuku Γ z tego pola

wektorowego liczymy następująco:

Z

Γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

β

Z

α

[P (ϕ

1

(t), ϕ

2

(t))ϕ

0
1

(t) + Q(ϕ

1

(t), ϕ

2

(t))ϕ

0
2

(t)]dt

Z

Γ

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

β

Z

α

[P (ϕ

1

(t), ϕ

2

(t), ϕ

3

(t))ϕ

0
1

(t) + Q(ϕ

1

(t), ϕ

2

(t), ϕ

3

(t))ϕ

0
2

(t) + R(ϕ

1

(t), ϕ

2

(t), ϕ

3

(t))ϕ

0
3

(t)]dt

Uwaga: jeśli łuk zorientowany jest zamknięty i po nim całkujemy to w miejsce oznaczenia

R

piszemy

H .

3.2. Wyliczyć całki krzywoliniowe z danych pól wektorowych po łukach Γ i −Γ, (w miarę

możności najpierw narysować odpowiedni łuk):

(1) F (x, y) = (2x + y, x

2

− y), Γ : x = t, y = t

2

, t ∈ [0, 1],

(2) F (x, y) = (y, −x

2

),

Γ :

x = t, y =

1
2

t

2

, t ∈ [0, 2],

(3) F (x, y) = (x + y, x − y), Γ :

x = 2 cos t, y =

4 sin t, t ∈ [0,

π

4

],

(4) F (x, y) = (xy, x), Γ :

x = t, y = 1 − t

2

, t ∈ [−1, 1],

(5)

F (x, y) = (e

y−x

, xy), Γ : x = 2 + t, y = 3 − t, t ∈ [0, 1],

(6) F (x, y) = (yz, −xz, xy),

Całka krzywoliniowa skierowana

vii

Γ : x = e

t

, y = e

3t

, z = e

−t

t ∈ [0, 1],

(7) F (x, y) = (x, y, z), Γ : x = t

2

, y = 4t + 1, z =

t − 1 t ∈ [1, 4],

(8) F (x, y) = (z, x, y), Γ : x = sin t, y = 3 sin t, z = sin

2

t t ∈ [0,

π

2

],

(9) F (x, y) = (y + z, x + z, x + y), Γ : x = t, y = t

2

, z = t

3

t ∈ [0, 1].

3.2. Obliczyć całki krzywoliniowe z danych pól wektorowych na płaszczyźnie po łukach

określonych równaniem y = y(x) o orientacji zgodnej z parametryzacją:

(1) F (x, y) = (−y, x), y =

√

3x, gdzie x ∈ [0, 3],

(2) F (x, y) = (x

2

+ y

2

, xy), y = e

x

,

gdzie x ∈ [0, 3],

(3) F (x, y) = (x

2

+ y

2

, −x), y =

√

1 − x

2

, gdzie x ∈ [0, 1],

(4)

F (x, y) = (y

2

− 2xy, y

2

− 2xy), y = 1 − |1 − x|, gdzie x ∈ [0, 2].

3.3. Wyliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

R

Γ

(3x + 2y)dx + (2x − y)dy gdy Γ to:

(1) odcinek skierowany od punktu (0, 0) to punktu (1, 1),

(2) łuk paraboli y = x

2

skierowany od punktu (0, 0) do punktu (1, 1),

(3) łuk sinusoidy y = sin

πx

2

skierowany od (0, 0) do (1, 1),

(4) krzywą określoną równaniem x = y

3

skierowaną od punktu (0, 0) do punktu (1, 1).

3.4. Obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną

H

Γ

ydx − xdy gdy Γ to:

(1) brzeg trójkąta o wierzchołkach przebieganych w kolejności (0, 0), (1, 0), (0, 1) i (0, 0)

(suma całek)

(2) brzeg kwadratu o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0)

i (1, 0

(3) górnym półokręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 5

zamkniętym osią Ox przebieganym w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara.

Potencjał pola i pole potencjalne Jeśli mamy pole wektorowe F określone na obsza-

rze D to nazywamy je potecjalnym gdy istnieje U : D −→ R taka, że F = gradU . Funkcję
U nazywa się potencjałem pola F .

Inaczej jeśli F = (P, Q) (albo F = (P, Q, R)) to mamy związek:

P =

∂U

∂x

, Q =

∂U

∂y

P =

∂U

∂x

, Q =

∂U

∂y

, R =

∂U

∂z

.

WKW na potencjalność pola: Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to by

pole F = (P, Q) było potencjalne jest

∂P (x, y)

∂y

=

∂Q(x, y)

∂x

.

3.5. Sprawdzić, czy poniższe pola są potencjalne, jeśli tak to spróbować znaleźć ich

potencjał:

(1) F = (2(x − y), 2x + 3y

2

),

(2) F (x, y) = (3y

2

, 6xy),

(3) F (x, y) = (cos y +

y cos x, sin x − x sin y).

viii

Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia

Twierdzenie Greena i σ-algebry

4.1. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć podane całki krzywoliniowe po łukach do-
datnio zorientowanych względem swojego wnętrza, (tzn. obszar leży cały czas po lewej
stronie przebieganego łuku).

(a)

H

Γ

3xydx + 2xydy, Γ - brzeg prostokąta ograniczonego prostymi: x = −2, x = 4,

y = 1, y = 2.

(b)

H

Γ

(e

x

+ y

2

)dx + (e

y

+ x

2

)dy, Γ - brzeg obszaru ograniczonego wykresami funkcji

y = x

2

, y = x.

(c)

H

Γ

ytg

2

xdx + tgxdy, Γ - okrąg opisany równaniem x

2

+ (y + 1)

2

= 1.

(d)

H

Γ

x

2

ydx − y

2

xdy, Γ - brzeg obszaru położonego w pierwszej ćwiartce układu współ-

rzędnych i ograniczonego okręgiem x

2

+ y

2

= 1.

(e)

H Γ(y − x

2

)dx + (x + y

2

dy, gdzie Γ- brzeg obszaru D := {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

6

R

2

, x > 0, y > 0} zorientowanym dodatnio, sprawdzić całkę licząc ją bezpośrednio.

4.2. Za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanj obliczyć pole obszaru ograniczonego

asteroidą Γ : x = cos

3

t, y = sin

3

t gdzie t ∈ [0, 2π]

1

4.3. (a) Niech Ω = {−1, 0,

1
3

, 1} zaś Σ = {Ω, {0,

1
3

, 1}}. Co należy dodać do zbioru Σ

aby była to σ-algebra ?

(b) Określmy funkcję: f : Ω 3 x −→ x +

1
3

∈ R. Czy jest to funkcja mierzalna ?

4.4. Udowodnić, że jeśli A i B to σ-algebry to A ∩ B też jest σ-algebrą. Podać przykład,

że nie jest to prawda dla sumy mnogościowej.

4.5. Niech A będzie rodziną złożoną ze wszystkich skończonych podzbiorów zbioru N

oraz ich odpełnień tzn.

A = {A ⊂ N : #A < ∞ lub #(N \ A) < ∞}.

Wykazać, że jest to algebra ale nie jest to σ-algebra.

σ-algebry, funkcje mierzalne i miary

5.1. Sprawdzić, czy rodzina F ⊂ 2

X

jest σ-algebrą, jeżeli:

(a) X = {x

1

, x

2

, x

3

, x

4

} F = {∅, X, {x

1

}, {x

2

, x

3

}, {x

2

, x

3

, x

4

}},

(b) X = R zaś F jest określona warunkiem:

A ∈ F ⇐⇒ A − otwarty lub X \ A otwarty

(c) X = R zaś F jest określona warunkiem:

A ∈ F ⇐⇒ A − jest ograniczony lub X \ A ograniczony

(

1

)wzór na pole obszaru to |D| = −

H

Γ

ydx =

H

Γ

xdy =

1
2

H

Γ

xdy − ydx, gdzie Γ zorientowana dodatnio, D

- ograniczony łukiem zamkniętym Γ

σ-algebry, funkcje mierzalne i miary

ix

(d) X = R zaś F jest określona warunkiem:

A ∈ F ⇐⇒ [0, 1] ⊂ A − lub [0, 1] ⊂ X \ A

5.2. Wykazać, że jeśli f : X −→ Y odwzorowanie oraz A ⊂ 2

Y

to σ-algebra to B =

{f

−1

(A), A ∈ A} jest σ-algebrą na X.

5.3. Niech X = (0, 1), A

n

:= 0,

n−1

n

, n ∈ N. Czy algebra generowana przez rodzinę

{A

n

} podzbiorów X (najmniejsza algebra zawierająca tę rodzinę, algebra - tak jak σ-algebra

tylko rozważamy skończone sumy) to to samo co σ-algebra generowana przez tę rodzinę ?
(najmniejsza σ-algebra zawierająca tę rodzinę).

5.4. Niech X = R A = {(n, n + 1), n ∈ Z}, B = {[n, n + 1], n ∈ Z}. Sprawdzić jakie

zachodzą zawierania między σ-algebrami generowanymi przez rodzinę A i rodzinę B.

5.5. Odpowiedzieć na pytanie, które ze zbiorów w przestrzeni R są zbiorami borelowskimi

w R: dowolny zbiór domknięty, zbiór jednopunktowy, zbiór liczb wymiernych, zbiór liczb
niewymiernych.

2

5.6. Udowodnić, że σ-algebra zbiorów borelowskich na R jest najmniejszą σ-algebrą

generowaną przez

(1) rodzinę wszystkich odcinków otwartych,

(2) rodzinę wszystkich odcinków domkniętych,

(3) {(a, b], a, b ∈ R}

5.7. Sprawdzić, czy poniższe wzory określają miary na (X, M):

(1) (X, M) dowolna przestrzeń z σ-ciałem M, x

0

∈ X oraz:

µ(A) := δ

x

0

(A) :=

 1, gdy x

0

∈ A

0, gdy x

0

/

∈ A

(2) X = N, M = 2

N

oraz µ(A) := #(A) :=

P

n∈A

1.

(3) X = N, M = 2

N

oraz

µ(A) :=

(

P

n∈A

1

2

n

, gdy A zbiór skończony

+∞,

gdy A zbiór nieskończony

(4) X = N, M = 2

N

oraz

µ(A) :=

 0,

gdy A zbiór skończony

+∞, gdy A zbiór nieskończony

(5) X = N, M = 2

N

oraz

µ(A) :=

 0,

gdy A zbiór co najwyżej przeliczalny

+∞, gdy A zbiór nieprzeliczalny

(

2

)zbiory borelowskie to elementy σ-algebry generowanej przez zbiory otwarte

x

Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia

5.8. Niech (f

n

)

∞
n=1

będzie danym ciągiem funkcji ciągłych określonych na R. Wykazać,

że poniższe zbiory są borelowskie:

(1) {x ∈ R :

lim

n −→ ∞

f

n

(x) = +∞},

(2) {x ∈ R : istnieje granica

lim

n −→ ∞

f

n

(x).

5.9. Przypomnieć definicję funkcji mierzalnej. Niech f : (X, M, µ) −→ R. Wykazać, że

poniższe warunki są równoważne:

(1) ∀ a ∈ R zbiór f

−1

((−∞, a)) jest mierzalny,

(2) (1) ∀ a ∈ R zbiór f

−1

((−∞, a]) jest mierzalny,

(3) ∀ a ∈ R zbiór f

−1

((a, ∞) jest mierzalny,

(4) ∀ a ∈ R zbiór f

−1

([a, ∞) jest mierzalny.

5.10. Wykazać, że jeśli f : X −→ R jest funkcją mierzalną, to dla dowolnych a, b ∈ R

takich, że a < b mierzalne są także zbiory:

f

−1

([a, b]), f

−1

((a, b]), f

−1

([a, b)), f

−1

((a, b)).

Na ćwiczenia 10.01. bardzo proszę o rozwiązanie następujących zadań: 5.4, 5.5, 5.8 oraz

poniższych z zestawu 6:

Miary i miary zewnętrzne, warunek Caratheodory’ego,

całki powierzchoniowe

6.1. Niech X = R, Na zbiorze podzbiorów R określamy funkcję następująco:

µ(A) :=















0, gdy 1 /

∈ A, 3 /

∈ A

2, gdy 1 ∈ A, 3 /

∈ A

3, gdy 1 /

∈ A, 3 ∈ A

4, gdy 1 ∈ A, 3 ∈ A

Sprawdzić, czy jest to miara, czy jest to miara zewnętrzna oraz wyznaczyć wszystkie pod-
zbiory R spełniające warunek Caratheodory’ego.

6.2. Niech X = R, Na zbiorze podzbiorów R określamy funkcję następująco:

µ(A) :=







0, gdy A = ∅
1, gdy A 6= ∅, A 6= R
2

gdy A = R

Sprawdzić, czy jest to miara, czy jest to miara zewnętrzna oraz wyznaczyć wszystkie pod-
zbiory R spełniające warunek Caratheodory’ego.

6.3. Przypomnieć definicję miary Lebesgue’a i odpowiedzieć na pytanie ile wynosi miara

Lebesgue’a zbiorów: (1) Q ∩ [1, 2],

(2) Q ∪ [1, 2],

(R \ Q) ∪ [1, 2).

6.4. Niech f : R −→ R będzie dana jako f (x) = x. Zbadać, czy f jest mierzalna, jeśli:

(1) M = {∅, R},

(2) M = {A ⊂ R : {1, 2} ⊂ A

lub A ⊂ R \ {1, 2}}.

6.5. Znaleźć miarę Lebesgue’a zbioru Cantora.