1

Materiały (9 stron) do wykładów nr 11, 12 i 13  z przedmiotu

„Mechanika i wytrzymałość materiałów”

„Mechanika i wytrzymałość materiałów”

„Mechanika i wytrzymałość materiałów”

„Mechanika i wytrzymałość materiałów”

przeznaczone do celów dydaktycznych 

dla studentów I roku studiów dziennych wydz. Odlewnictwa AGH

oraz studentów studiów dziennych wydz. Metale Nieżelazne AGH

Rok akademicki 2008/2009, semestr letni  

Autor materiałów: dr hab. inż. Marek 

Autor materiałów: dr hab. inż. Marek 

Autor materiałów: dr hab. inż. Marek 

Autor materiałów: dr hab. inż. Marek Płachno

Płachno

Płachno

Płachno

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

eeee----mail

mail

mail

mail: : : : plachno@imir.agh.edu.pl

plachno@imir.agh.edu.pl

plachno@imir.agh.edu.pl

plachno@imir.agh.edu.pl

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

Zastrzeżenia autorskie

1. Niniejsze  materiały  stanowią  przedmiot  prawa  autorskiego  określonego  w  Ustawie  o  prawie  autorskim

i prawach pokrewnych (Dz. U. z 2006 r. nr 90 poz,631, nr 94 poz. 658, nr 121 poz. 843, z 2007 r. nr 99
poz. 662, Nr 181 poz. 1293.

2. Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie niniejszych materiałów niż podane w ich przeznaczeniu.

2

Obliczanie napręŜeń wywołanych przez moment zginający (2)

Moment zginający 

M

g

działający 

w płaszczyźnie 

yz

powoduje, Ŝe:

• Powierzchnie płaskie prostopadłe do

osi 

y

zmieniają  się  w  powierzchnie 

walcowe o  wspólnej  osi 

S 

prosto-

padłej do osi 

y

.

• przekroje płaskie poprzeczne, tj. pros-

topadłe do osi 

z

obracają się względem

osi  tworzących  powierzchnię  walcową
nazywaną warstwą obojętną.

• następuje podział kaŜdego przekroju

poprzecznego  na  strefę  ściskania

oraz  strefę  rozciągania  przedzielo-

nych osią obojętną.

• W kaŜdym przekroju poprzecznym powstaje jednoosiowy stan napręŜeń o liniowym rozkładzie

wzdłuŜ osi 

y

opisanym jako: 

y

 

 

J

M

 

 

y

 

E

 

 

dz

)

y

(

dz

∆

 

 

E

 

(y)

 

x

g

 

g

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

ρρρρ

σ

c

x

g

gc

x

g

y

J

M

  

  

,

y

J

M

  

 

 

r

gr

====

====

σ

σ

J

x

– moment bezwładności przekroju poprzecznego

względem osi obojętnej tego przekroju, 

ρ 

ρ 

ρ 

ρ −−−−

promień krzywizny elementarnego odcinka

wywołanej przez   moment  zginający 

M

g 

,

y

r

,

y

c

– współrzędne skrajnych powierzchni 

elementarnego  odcinka.

Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na zginanie
belki wykonanej z materiału  spręŜysto-plastycznego

W przypadku materiałów spręŜysto- plastycznych, 

charakteryzujących się jednakową wytrzymałością na rozciąganie i ściskanie

,

Takie napręŜenie występuje w tzw. przekroju niebezpiecznym belki,

o bezpieczeństwie belki zginanej decyduje napręŜenie, które jest

największe co do bezwzględnej wartości

.

w punkcie najbardziej oddalonym od osi obojętnej tego przekroju

.

Przykład

c

c

m

m

g

max

max

g

n

R

n

R

 

y

J

M

  

k

x

g

 

====

====

====

≤≤≤≤

σ

Schemat obliczeniowy

Warunek

wytrzymałościowy

Postać analityczna:

Postać praktyczna:

c

c

m

m

g

max

g

n

R

n

R

 

W

M

  

k

x

g

 

====

====

====

≤≤≤≤

σ

W

x

– wskaźnik wytrzymałości przekroju

na zginanie

4

Momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na zginanie

wybranych przekrojów belek

Przekrój

Moment bezwładności 

oraz

wskaźnik wytrzymałości 

na zginanie

64

d

J

4

x

π

====

32

d

W

3

x

π

====

12

bh

J

3

x

====

6

bh

W

2

x

====

12

bh

BH

J

3

3

x

−−−−

====

H

6

bh

BH

W

3

3

x

−−−−

====

Moment bezwładności 

oraz

wskaźnik wytrzymałości 

na zginanie

Przekrój

64

)

4

d

4

D

J

(

x

−−−−

====

π

D

32

)

4

d

4

D

W

(

x

−−−−

====

π

12

a

J

4

x

====

6

a

W

3

x

====

12

4

4

A

J

a

x

−−−−

====

A

6

4

4

A

W

a

x

−−−−

====

Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na zginanie
belki wykonanej z materiału  spręŜysto-kruchego

W przypadku materiałów spręŜysto-kruchych, 

charakteryzujących się róŜną wytrzymałością na rozciąganie i ściskanie

,

Z tego powodu, w przekroju niebezpiecznym belki naleŜy sprawdzić

nie jest największe co do bezwzględnej wartości

.

zarówno

największe  napręŜenie rozciągające jak i ściskające

Przykład

c

c

c

max

c

max

c

n

R

 

y

J

M

  

k

x

g

 

====

====

≤≤≤≤

σ

Schemat obliczeniowy

Warunek

wytrzymałościowy

Dla ściskania:

Dla rozciągania:

o bezpieczeństwie belki zginanej moŜe decydować napręŜenie, które

m

m

r

max

r

max

r

n

R

 

y

J

M

  

k

x

g

 

====

====

≤≤≤≤

σ

6

Zginanie z równoczesnym rozciąganiem

lub ściskaniem

Jest to taki przypadek sił zewnętrznych działających na bryłę, który

Definicja

w najbardziej naraŜonym na zniszczenie przekroju tej bryły

• jedną składową wektora głównego sił wewnętrznych, 

prostopadłą  (normalną)  do przekroju.

wywołuje układ sił zewnętrznych zawierający tylko dwie składowe 

róŜne zera, tj.:

• jedną składową momentu głównego sił wewnętrznych,

działającą w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju,

7

Przykład techniczny zginania 

z równoczesnym rozciąganiem

Hak dźwigowy

NapręŜenia od siły 

P

:

A

P

r

====

σ

NapręŜenie od momentu

M

x

:

x

x

min

g

x

x

max

g

W

M

   

,

 

W

M

−−−−

====

====

σ

σ

NapręŜenie całkowite:

x

x

min

x

x

max

W

M

A

P

   

,

W

M

A

P

−−−−

====

++++

====

σ

σ

Warunek wytrzymałościowy 

bezpieczeństwa:

r

min

r

max

k

  

,

 

k

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σ

σ

8

Zginanie z równoczesnym skręcaniem

Jest to taki przypadek sił zewnętrznych działających na bryłę, który

Definicja

w najbardziej naraŜonym na zniszczenie przekroju tej bryły

• jedną składową momentu głównego sił wewnętrznych, 

działającą w  płaszczyźnie przekroju (moment skręcający)

wywołuje układ sił zewnętrznych zawierający tylko dwie składowe 

róŜne zera, tj.:

• jedną  składową  momentu  głównego  sił  wewnętrznych,

działającą  w  płaszczyźnie  prostopadłej  do  przekroju

(moment zginający),

9

Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa 

na zginanie z równoczesnym skręcaniem

Zginanie z równoczesnym skręcaniem wywołuje w materiale 

równoczesne występowanie napręŜeń normalnych i stycznych.

W takich przypadkach, do oceny bezpieczeństwa materiału naleŜy 

stosować parametr nazywany wytęŜeniem.

WytęŜenie,  to wg polskiego uczonego M.T. Hubera, 

stopień zbliŜenia się materiału do stanu niebezpiecznego, 

z tzw. napręŜeniem zredukowanym, 

σσσσ

red

, 

obliczanym za pomocą 

hipotez wytęŜeniowych:

Dla materiałów 

spreŜysto-plastycznych

(Hipoteza Hubera-Misesa)

Dla materiałów 

spreŜysto-kruchych

(Hipoteza de Saint-Venanta)

r

2

max

s

2

max

g

red

k

3

≤≤≤≤

++++

====

τ

σ

σ

r

2

1

red

k

≤≤≤≤

−−−−

====

σ

σ

σ

ν

)

(

2

max

s

2

max

g

max

g

1

4

5

,

0

τ

σ

σ

σ

++++

++++

====

)

(

2

max

s

2

max

g

max

g

2

4

5

,

0

τ

σ

σ

σ

++++

−−−−

====

σσσσ

gmax

–

maksymalne napręŜenie od zginania,

ττττ

smax

–

maksymalne napręŜenie od skręcania,

k

r

–

napręŜenie dopuszczalne na rozciąganie materiału, 

ν 

ν 

ν 

ν 

– liczba Poissona

określany poprzez porównywanie napręŜenia niszczącego materiał