wer. 2014 MT

1

LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

6

Wyznaczenie energii mechanicznej w ruchu płaskim

Cel

ć

wiczenia

Celem

ć

wiczenia jest wyznaczenie energii mechanicznej kr

ąż

ka poruszaj

ą

cego si

ę

po krzywoliniowym torze.

Literatura

1. Z. Engel, J. Giergiel Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. 10 i 11.
2. J. Misiak, Mechanika Ogólna , tom II, rozdz. 22.

Zagadnienia kontrolne

1. Pole zachowawcze sił
2. Przykłady sił zachowawczych
3. Praca siły
4. Energia potencjalna
5. Energia kinetyczna
6. Energia mechaniczna
7. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim
8. Zasada zachowania energii
9. Zasada zachowania energii mechanicznej
10. Praca sił zewn

ę

trznych

11. Moment bezwładno

ś

ci tarczy kołowej

12. Ruch płaski bryły sztywnej
13. Przebieg

ć

wiczenia

Uwaga! W opracowaniu podano tylko wybrane zagadnienia zwi

ą

zane bezpo

ś

rednio

z

ć

wiczeniem. Aby wyczerpa

ć

temat w zakresie podanych zagadnie

ń

kontrolnych

nale

ż

y si

ę

gn

ąć

do podanej literatury lub innych ksi

ąż

ek dotycz

ą

cych dynamiki.

1. Podstawy teoretyczne dotycz

ą

ce bezpo

ś

rednio

ć

wiczenia

Zasada zachowania całkowitej energii układu mówi,

ż

e zmiana całkowitej

energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.
Je

ś

li

ż

adna energia nie zostanie do układu dostarczona ani od niego odebrana, to

całkowita energia układu musi pozosta

ć

niezmienna.

Je

ż

eli nad układem wykonana zostanie praca sił zewn

ę

trznych, to zasad

ę

zachowania energii mo

ż

na opisa

ć

równaniem:

wewn

term

mech

E

E

E

W

∆

+

∆

+

∆

=

gdzie: W – praca sił zewn

ę

trznych,

mech

E

∆

- zmiana energii mechanicznej układu,

term

E

∆

- zmiana energii termicznej,

wewn

E

∆

- zmiana innych rodzajów energii

wewn

ę

trznej układu.

wer. 2014 MT

2

Powy

ż

sza zasada nie została wyprowadzona z podstawowych aksjomatów i praw

fizyki, ale wynika ona z niezliczonych do

ś

wiadcze

ń

.

Je

ż

eli układ jest izolowany i energia nie mo

ż

e zosta

ć

do niego dostarczona w

ż

adnej

formie to mo

ż

emy zapisa

ć

:

0

=

∆

+

∆

+

∆

wewn

term

mech

E

E

E

gdzie:

1

2

mech

mech

mech

E

E

E

−

=

∆

,

wska

ź

niki 1 i 2 odnosz

ą

si

ę

do dwóch rozpatrywanych

chwil czasowych, np. przed i po zaj

ś

ciu jakiego

ś

procesu.

Cho

ć

wewn

ą

trz układu izolowanego mo

ż

e zachodzi

ć

wiele zmian energii (np. z

potencjalnej na kinetyczn

ą

, z kinetycznej na termiczn

ą

itp.), to jednak suma

wszystkich rodzajów energii musi pozosta

ć

stała.

Powy

ż

sze mo

ż

emy zapisa

ć

jako:

0

1

2

=

∆

+

∆

+

−

wewn

term

mech

mech

E

E

E

E

St

ą

d:

wewn

term

mech

mech

E

E

E

E

∆

−

∆

−

=

1

2

Dla układu izolowanego mo

ż

emy wi

ę

c wyznaczy

ć

energi

ę

w okre

ś

lonej chwili znaj

ą

c

energi

ę

w innej chwili, bez znajomo

ś

ci energii w chwilach po

ś

rednich.

Je

ż

eli w izolowanym układzie zaniedbamy siły niezachowawcze (np. tarcie) i zmiany

innych rodzajów energii, to mo

ż

emy napisa

ć

:

1

2

mech

mech

E

E

=

albo:

0

=

∆

mech

E

Poniewa

ż

energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej

(któr

ą

mo

ż

emy zdefiniowa

ć

dla sił zachowawczych) mo

ż

emy zapisa

ć

:

0

=

∆

+

∆

=

∆

p

k

mech

E

E

E

gdzie:

k

E

∆

jest zmian

ą

energii kinetycznej,

p

E

∆

zmian

ą

energii potencjalnej.

Po prostym przekształceniu mo

ż

emy zapisa

ć

:

1

1

2

2

p

k

p

k

E

E

E

E

+

=

+

gdzie: indeksy 1 i 2 odnosz

ą

si

ę

do dwóch stanów układu w ró

ż

nych chwilach

czasowych.
Jest to znana zasada zachowania energii mechanicznej.
Podczas realizacji

ć

wiczenia modelowany jest ruch w jednej płaszczy

ź

nie (ruch

płaski) tarczy poruszaj

ą

cej si

ę

po torze krzywoliniowym pod wpływem siły ci

ęż

ko

ś

ci

(siły zachowawczej). W ruchu płaskim zło

ż

onym z ruchu post

ę

powego i obrotowego

energi

ę

kinetyczn

ą

ciała oblicza si

ę

wg. wzoru Koeniga:

2

2

2

1

2

1

s

s

s

k

I

Mv

E

ω

+

=

gdzie: M – masa ciała,

s

v

r

- jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

ś

rodka masy, I

S

– moment bezwładno

ś

ci

ciała wzgl

ę

dem osi przechodz

ą

cej przez

ś

rodek masy i prostopadłej do płaszczyzny

ruchu, a

s

ω

r

pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

ciała.

Zmian

ę

grawitacyjnej energii potencjalnej układu „Ziemia-badana tarcza” w pobli

ż

u

powierzchni Ziemi mo

ż

emy zapisa

ć

jako:

h

mg

E

p

∆

=

∆

gdzie:

h

∆

jest zmian

ą

poło

ż

enia pionowego osi tarczy wzgl

ę

dem poziomu

odniesienia

wer. 2014 MT

3

2. Przebieg

ć

wiczenia

2.1. Wst

ę

p

Z podanych wy

ż

ej wzorów wynika,

ż

e aby wyznaczy

ć

w ka

ż

dej chwili czasu

energi

ę

mechaniczn

ą

tarczy nale

ż

y w ka

ż

dym poło

ż

eniu zna

ć

pr

ę

dko

ść

ś

rodka masy

V

s

, pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

ω

s

tarczy oraz poło

ż

enie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci osi tarczy. Wielko

ś

ci

te mo

ż

na wyznaczy

ć

z pomiarów poło

ż

e

ń

ś

rodka masy w poszczególnych chwilach

czasowych przy zało

ż

eniu,

ż

e tarcza porusza si

ę

bez po

ś

lizgu. Pomiar

współrz

ę

dnych poło

ż

enia

ś

rodka masy odbywa si

ę

w oparciu o kamer

ę

do szybkich

zdj

ęć

i oprogramowanie pozwalaj

ą

ce na ka

ż

dej klatce filmu wyznaczy

ć

współrz

ę

dne

tego punktu i zapisa

ć

te warto

ś

ci w arkuszu kalkulacyjnym.

Dodatkowo nale

ż

y wyznaczy

ć

teoretycznie pr

ę

dko

ść

ś

rodka masy tarczy

(szpulki) w trzech charakterystycznych punktach (lokalnych minimach i maksimum
oznaczonych jako 1,2 i 3 na fotografii 1). W tym celu do oblicze

ń

teoretycznych

nale

ż

y wykorzysta

ć

zasad

ę

zachowania energii. Otrzymane wyniki nale

ż

y zestawi

ć

z

do

ś

wiadczalnymi.

Wszystkie pomiary nale

ż

y wykonywa

ć

zgodnie z krokami wymienionymi w

arkuszu sprawozdania.

Ć

wiczenie wykonywa

ć

mo

ż

na w ró

ż

nych wariantach (patrz tabela poni

ż

ej

i fotografia 1). Wariant zadaje prowadz

ą

cy.

Wariant

Badana tarcza

Materiał tarczy

Punkt startowy

1

Duraluminium

A – nad drugim
otworem

2

B

–

po

ś

rodku

pomi

ę

dzy drugi a

trzecim otworem

3

C – nad trzecim
otworem

4

Mosi

ą

dz

A – j.w.

5

B – j.w.

wer. 2014 MT

4

Fot.1. Poło

ż

enie punktów pocz

ą

tkowych dla rejestracji ruchu (A,B,C) oraz punkty

(1,2,3), w których nale

ż

y wyznaczy

ć

dodatkowo teoretycznie pr

ę

dko

ść

ś

rodka masy

tarczy

Przy obliczaniu momentu bezwładno

ś

ci przyjmij przybli

ż

on

ą

g

ę

sto

ść

tablicow

ą

materiału i pomi

ń

moment bezwładno

ś

ci osi, do której przymocowana jest tarcza oraz

otwory w tarczy mosi

ęż

nej.

2.2. Rejestracja ruchu

W celu dokonania rejestracji obrazu z kamery nale

ż

y uruchomi

ć

program PCV.

Nast

ę

pnie w zakładce programu „Camera” wybra

ć

sposób wy

ś

wietlania: ”Display

/Live”. Ustawi

ć

za pomoc

ą

regulacji przy obiektywie kamery ostro

ść

obrazu tak, aby

wyra

ź

nie widoczny był namalowany punkt na osi tarczy.

Nast

ę

pnie wybra

ć

przycisk „Frame Rate” i ustawi

ć

ilo

ść

rejestrowanych klatek w

ci

ą

gu sekundy: 125 klatek/ sek.

W kolejnym kroku wybra

ć

rozdzielczo

ść

obrazu (przycisk „Resolution”): 1024 x 512.

Dalej nale

ż

y nacisn

ąć

przycisk „Record” i pu

ś

ci

ć

swobodnie tarcz

ę

tak, aby rozpocz

ą

ł

si

ę

jej ruch (nie wolno nadawa

ć

tarczy pr

ę

dko

ś

ci pocz

ą

tkowej). Rozpocz

ąć

rejestracj

ę

poprzez naci

ś

niecie przycisku „Trigger In”, który pojawi si

ę

w miejsce

przycisku „Record”.
Zako

ń

czy

ć

rejestracj

ę

przyciskiem „Rec Done” w momencie, gdy tarcza przemie

ś

ci

si

ę

do ko

ń

ca toru.

2.3. Zapis rejestracji

Przej

ść

do zakładki „Data Save” i wpisa

ć

w polu „File Name” nazw

ę

zapisywanego pliku.

Nale

ż

y wybra

ć

fragment filmu, który ma znale

źć

si

ę

w pliku. W tym celu

przesun

ąć

za pomoc

ą

myszy wska

ź

nik pocz

ą

tku i ko

ń

ca nagrania u dołu zakładki

(strzałki na pasku ilustruj

ą

cym całe nagranie). Film powinien obejmowa

ć

fragment od

pocz

ą

tku ruchu a

ż

do osi

ą

gni

ę

cia ko

ń

ca toru (bez odbicia i powrotu tarczy).

Nast

ę

pnie nacisn

ąć

przycisk „Save”, aby zapisa

ć

wynik rejestracji.

wer. 2014 MT

5

2.4. Analiza obrazu

W celu wykonania analizy obrazu nale

ż

y uruchomi

ć

program „Motion Tools”.

Z menu głównego wybra

ć

opcj

ę

„File” i dalej „Open File”. W okienku dialogowym

wybra

ć

uprzednio zapisany plik.

Przej

ść

do zakładki „Analysis” i nacisn

ąć

przycisk na belce narz

ę

dziowej „Strat

Analysis for Current Video” (przycisk na

ś

rodku belki oznaczony kolorowymi kółkami).

Nacisn

ąć

przycisk „Meter” w prawej cz

ęś

ci belki narz

ę

dziowej. Spowoduje to

otwarcie okna „Calibration”. Poprzez klikni

ę

cie lewym przyciskiem myszy zaznaczy

ć

na pierwszej klatce filmu pocz

ą

tek wzorca długo

ś

ci narysowanego na stanowisku

(patrz fotografia 2). Wróci

ć

do otwartego okna dialogowego „Calibration” i klikn

ąć

„SetPoint# 1”. Na tej samej klatce filmu zaznaczy

ć

koniec tego wzorca, a w oknie

„Calibration” wybra

ć

„SetPoint #2”. Nast

ę

pnie w oknie „Calibration” nale

ż

y wpisa

ć

w

polu „Dimension” rzeczywist

ą

długo

ść

wzorca w wybranej jednostce (s

ą

siednie

okienko). Nacisn

ąć

klawisz „Apply”, a nast

ę

pnie „Close” zamykaj

ą

c okno dialogowe.

W wyniku przeprowadzonej kalibracji wymiar obrazu w pikselach przeliczany jest na
wymiar rzeczywisty i wyniki analizy (poło

ż

enie

ś

ledzonego punktu) podane b

ę

d

ą

w

wybranej realnej jednostce miary długo

ś

ci.

Fot.2. Pocz

ą

tek i koniec wzorca długo

ś

ci

Nast

ę

pnie wybra

ć

z listy „Auto Track” numer kolejny znacznika np. 1. Klikn

ąć

na belce narz

ę

dziowej „Draw a region for selection ” (ikona ze szkłem

powi

ę

kszaj

ą

cym). Za pomoc

ą

myszy i techniki przeci

ą

gania zaznaczy

ć

na obrazie

prostok

ą

tny obszar, którego

ś

rodek ma by

ć

ś

ledzony. Obszar ten powinien obj

ąć

o

ś

tarczy wraz z niewielkim fragmentem jej otoczenia. Pozwoli to programowi
jednoznacznie odró

ż

ni

ć

wskazany obszar na ka

ż

dej klatce filmu i

ś

ledzi

ć

ruch jego

ś

rodka.

W kolejnym kroku mo

ż

na uruchomi

ć

przycisk „Auto Track the current Region”

(przycisk z czerwon

ą

strzałk

ą

na belce narz

ę

dziowej). Program b

ę

dzie

ś

ledził

automatycznie ruch

ś

rodka zaznaczonego obszaru. Zapis współrz

ę

dnych poło

ż

enia

ś

ledzonego

ś

rodka obszaru i chwil czasu dla ka

ż

dej klatki odbywa si

ę

po naci

ś

ni

ę

ciu

przycisku „Export the Feature Positions” po prawej stronie belki narz

ę

dziowej. Po tej

operacji dane zostaj

ą

zapisane w arkuszu programu Excel, który nale

ż

y

przekopiowa

ć

w celu wykonania dalszych oblicze

ń

. W tym celu konieczne jest

przyniesienie na zaj

ę

cia pami

ę

ci typu flash.

wer. 2014 MT

6

2.5. Analiza pomiarów

Celem tej analizy jest wyznaczenie energii mechanicznej badanego układu.

Niezb

ę

dne do tego jest wyznaczenie pr

ę

dko

ś

ci liniowej

ś

rodka masy tarczy. Aby tego

dokona

ć

na podstawie zarejestrowanych współrz

ę

dnych x i y nale

ż

y osobno

rozpatrzy

ć

odpowiednie rzuty szukanej pr

ę

dko

ś

ci na kierunki osi układu

współrz

ę

dnych.

UWAGI.

Program przyjmuje,

ż

e o

ś

y jest skierowana w dół. Pami

ę

taj, aby przeliczy

ć

współrz

ę

dne y przyjmuj

ą

c poziom odniesienia np. jako maksimum y. Podobnie

mo

ż

esz wyskalowa

ć

poło

ż

enie x tak, aby zaczynało si

ę

ono od zera, odejmuj

ą

c od

ka

ż

dego pomiaru warto

ść

minimaln

ą

x.

Wszystkie wielko

ś

ci przelicz na podstawowe jednostki SI.

W kolejnych kolumnach arkusza wyznacz: pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

tarczy (szpuli) w

ka

ż

dej z chwil czasowych, wygładzon

ą

warto

ść

poło

ż

enia y, energi

ę

potencjaln

ą

wzgl

ę

dem przyj

ę

tego poło

ż

enia odniesienia, energi

ę

kinetyczn

ą

tarczy w ruchu

płaskim i energi

ę

mechaniczn

ą

.

Ostatecznie wyznacz zmiany energii mechanicznej (

∆

E

m

– ró

ż

nice dla

poszczególnych chwil czasowych). Czy s

ą

one zawsze bliskie zeru? Je

ś

li nie,

zastanów si

ę

dlaczego.

Aby bardziej obiektywnie wyznaczy

ć

składowe pr

ę

dko

ś

ci nale

ż

y zastosowa

ć

numeryczne oszacowanie pierwszej pochodnej w postaci (dla ka

ż

dych 4 kolejnych

punktów) [1]:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

)

(

11

)

(

18

)

(

9

)

(

2

6

1

)

(

2

)

(

3

)

(

6

)

(

6

1

)

(

)

(

6

)

(

3

)

(

2

6

1

)

(

2

)

(

9

)

(

18

)

(

11

6

1

3

2

1

3

3

2

1

2

3

2

1

1

3

2

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

+

−

=

+

+

−

=

−

+

−

−

=

+

−

+

−

=

i

i

i

i

i

x

i

i

i

i

i

x

i

i

i

i

i

x

i

t

i

i

i

x

t

x

t

x

t

x

t

x

h

t

v

t

x

t

x

t

x

t

x

h

t

v

t

x

t

x

t

x

t

x

h

t

v

t

x

t

x

t

x

t

x

h

t

v

(1)

gdzie: h jest odst

ę

pem czasowym pomi

ę

dzy kolejnymi klatkami zarejestrowanego

filmu,

)

(

i

x

t

v

, jest składow

ą

x pr

ę

dko

ś

ci

ś

rodka masy tarczy w ruchu post

ę

powym dla

chwili czasowej t

i

(i=1,2...N),

( )

i

t

x

jest współrz

ę

dn

ą

ś

rodka masy tarczy w tej chwili.

Nast

ę

pnie nale

ż

y dokona

ć

wygładzenia zale

ż

no

ś

ci v

x

(t) wykorzystuj

ą

c metod

ę

u

ś

redniania bie

żą

cego w postaci [2]:

∑

−

+

=

=

1

)

(

1

)

(

~

q

i

i

j

j

x

i

x

t

v

q

t

v

(2)

gdzie:

x

v~

– element u

ś

rednionego szeregu,

x

v

– element pierwotnego szeregu

obliczonych pr

ę

dko

ś

ci.

Parametr q mo

ż

na przyj

ąć

na poziomie od 10 do 20 w zale

ż

no

ś

ci od potrzeb.

Poniewa

ż

ko

ń

cowe dane nie b

ę

d

ą

wła

ś

ciwie u

ś

rednione nie uwzgl

ę

dnia si

ę

ich w

dalszych obliczeniach i rysunkach. Nale

ż

y odrzuci

ć

wi

ę

cej ni

ż

q ko

ń

cowych warto

ś

ci,

je

ś

li istotnie odbiegaj

ą

one od ogólnej tendencji zmian danej wielko

ś

ci.

Podobnie nale

ż

y wyznaczy

ć

składow

ą

y pr

ę

dko

ś

ci. W kolejnym kroku nale

ż

y

wyznaczy

ć

moduł wektora pr

ę

dko

ś

ci

ś

rodka masy tarczy:

wer. 2014 MT

7

2

2

~

~

y

x

s

v

v

v

+

=

(3)

Pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

nale

ż

y wyznaczy

ć

przyjmuj

ą

c,

ż

e tarcza toczy si

ę

bez

po

ś

lizgu. Przy takim zało

ż

eniu:

(4)

( )

( )

r

t

v

t

i

s

i

s

=

ω

gdzie:

ω

s

(t

i

)

– pr

ę

dko

ść

k

ą

towa w chwili t

i

, r – promie

ń

osi tocz

ą

cej si

ę

po torze, na

której zamocowano tarcz

ę

.

Ś

ledz

ą

c poło

ż

enie w osi y

ś

rodka masy mo

ż

na oszacowa

ć

energi

ę

potencjaln

ą

wzgl

ę

dem przyj

ę

tego poło

ż

enia odniesienia. Nale

ż

y jednak wyznaczy

ć

wygładzone

y

~

korzystaj

ą

c z metody (2) i tego samego q co w przypadku pr

ę

dko

ś

ci.

Podobnie jak poprzednio odrzuca si

ę

ko

ń

cowe pomiary.

Ostatecznie nale

ż

y sprawdzi

ć

czy zmiany całkowitej energii mechanicznej (dla

ka

ż

dego z u

ś

rednionych pomiarów) wynosz

ą

zero.

Wyniki nale

ż

y zilustrowa

ć

odpowiednimi wykresami zgodnie z poleceniami zawartymi

w arkuszu sprawozdania. Z powodu bardzo du

ż

ej liczby punktów rysunki najlepiej

wykona

ć

za pomoc

ą

oprogramowania komputerowego.

W wnioskach ustosunkuj si

ę

do poszczególnych wykresów, oce

ń

zgodno

ść

oszacowania pr

ę

dko

ś

ci w charakterystycznych punktach oraz wypowiedz si

ę

na

temat tego czy energia mechaniczna została zachowana podczas ruchu. Zwró

ć

uwag

ę

na mo

ż

liwo

ść

wyst

ę

powania po

ś

lizgów jak i wyst

ę

powania tarcia i ich wpływ

na wynik eksperymentu. We

ź

pod uwag

ę

tak

ż

e dokładno

ść

procedury pomiarowej.

Zastanów si

ę

czy ewentualne ró

ż

nice s

ą

istotne.

Literatura dodatkowa przywołana w instrukcji

[1] Otto E. Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom 3, rozdz.
XVI, §111, PWN, Warszawa
[2] Jó

ź

wiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, rozdz. 16, PWE, Warszawa