Egzamin z Analizy Matematycznej

Elektrotechnika

2012

1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = e

2x

x + y

2

+ 2y

.

2. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

f (x, y) =

1

x

+

1

y

jeśli

1

x

2

+

1

y

2

=

1

4

.

3. Obliczyć całkę wprowadzając odpowiednią zmianę zmiennych:

R

ˆ

−R

dx

√

R

2

−x

2

ˆ

−

√

R

2

−x

2

dy

√

R

2

−x

2

−y

2

ˆ

0

x

2

+ y

2

dz.

• Obliczyć całkę krzywoliniową

ˆ

y

AB

x

2

dx +

√

xydy,

gdzie

y

AB jest częścią okręgu x

2

+y

2

= R

2

zawartą w I-szej ćwiartce układu współrzędnych

między punktami A = (0, R), B = (R, 0).

1. Obliczyć

ˆ

L

1

√

1 + 5y

ds,

gdzie L jest krzywą zadaną równaniami parametrycznymi x = t cos t, x = t

2

, z = t sin t,

t ∈ [0, 2π].

Egzamin z Analizy Matematycznej

Elektrotechnika

2012

1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x − 2y + ln

p

x

2

+ y

2

+ 3arctg

y

x

.

2. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji

f (x, y) = x

3

− x

2

− y

2

+ 3,

jeśli x

2

+ y

2

≤ 1.

3. Obliczyć całkę

¨

D

(2x − 2y) dx dy,

gdzie D : (x − 1)

2

+ y

2

≤ 1.

4. Obliczyć całkę krzywoliniową

ˆ

y

AB

(x − y) dx + 2xy dy,

gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi: y = e

x

, y = e, x = 0 zorientowany

zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

5. Obliczyć

ˆ

L

e

√

x

2

+y

2

ds,

gdzie L jest krzywą: r = a, ϕ ∈

h

0,

π

4

i

(gdzie r i ϕ -współrzędne biegunowe).