SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 2, 2010-10-14

Granica ciągu

Twierdzenie: Jeżeli ciąg (a

n

)

n∈N

ma granicę to granica ta jest tylko jedna. (Ciąg nie może

mieć dwóch lub więcej różnych granic).

Definicja podciągu: Niech dany będzie ciąg (a

n

)

n∈N

, a

n

∈ R oraz rosnący ciąg (n

k

)

k∈N

liczb naturalnych n

k

∈ N . Wtedy ciąg (b

k

)

k∈N

zdefiniwany następująco: b

k

= a

n

k

nazywamy

podciągiem ciagu (a

n

)

n∈N

.

Uwaga: Podciąg otrzymujemy z ciągu wyjściwego usuwając część wyrazów, pozostać jednak
musi nieskończenie wiele wyrazów.

Przkład: Podciągami ciągu a

n

=

1

n

są : b

k

=

1

k + 5

, c

k

=

1

2k − 1

, d

k

=

1

2k

2

+ 4

.

Twierdzenie: Jeżeli ciąg ma granicę to każdy jego podciąg ma tę samą granicę.

Przkład 1: lim

n→∞

1

2n

2

+ 4

= 0 ponieważ b

n

=

1

2n

2

+ 4

jest podciągiem ciągu a

n

=

1

n

który

jest zbieżny do 0.

Przykład 2: Pokazać, ze ciąg a

n

= (−1)

n

nie ma granicy.

Dowód nie wprost. Gdyby ciąg (a

n

)

n∈N

miał granicę, to kazdy jego podciąg miałby tę samą

granicę. Znajdziemy dwa podciągi mające różne granice.
Podciąg pierwszy: b

k

= a

2k

= (−1)

2k

= 1

lim

k→∞

b

k

= lim

k→∞

1 = 1

Podciąg drugi: c

k

= a

2k+1

= (−1)

2k+1

= −1

lim

k→∞

c

n

= lim

k→∞

−1 = −1

Widzimy, że lim

k→∞

b

k

6= lim

k→∞

c

k

a więc ciąg a

n

nie ma granicy.

Uwaga: Dla każdego ciągu rozbieżnego istnieją dwa podciągi mające różne granice (skoń-
czone lub nieskończone).

Dla dowolnego ciągu zachodzi jeden z poniższych warunków:

1. ciąg ma granicę skończoną
2. ciąg ma granicę +∞
3. ciąg ma granicę −∞
4. ciąg nie ma granicy, czyli dla dowolnie dużych n wyrazy ciągu ’oscylują’ .

Symbol

1

0

Jeżeli a

n

6= 0 , lim

n→∞

a

n

= 0 to granica ciągu lim

n→∞

1

a

n

jest nioznaczona. Aby znaleźć tę granicę

wystarczy sprawdzić znak a

n

:

Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są dodatnie: (∃n

0

)(∀n > n

0

)

a

n

> 0 to

lim

n→∞

1

a

n

= ∞ (oznaczenie:

1

0

+

= +∞)

Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są ujemne: (∃n

0

)(∀n > n

0

)

a

n

< 0 to

lim

n→∞

1

a

n

= −∞ (oznaczenie:

1

0

−

= −∞)

Jeśli dla dowolnei dużych n wyrazy ciagu zmieniają znak: (∀n

0

)(∃n > n

0

)

a

n

> 0 oraz

(∀n

0

)(∃n > n

0

)

a

n

< 0 to ciąg (a

n

) nie ma granicy.

Uwaga: W większości twierdzeń dotyczących granic ciągów zamiast warunku dla wszystkich
n : ∀n wystarczy warunek dla dostatecznie dużych n : (∃n

0

)(∀n ­ n

0

)

1

Przykład : Obliczyć lim

n→∞

1

q

1 +

1

n

− 1

lim

n→∞

q

1 +

1

n

− 1 = 0

Mamy więc symbol

1

0

.

Sprawdzamy, czy

q

1 +

1

n

− 1 > 0

q

1 +

1

n

> 1 - nierówność prawdziwa. Stąd:

lim

n→∞

1

q

1 +

1

n

− 1

=

1

0

+

= ∞

Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (a

n

) , (b

n

) mające granice. Jeśli (∀n)a

n

¬ b

n

to lim

n→∞

a

n

¬

lim

n→∞

b

n

Uwaga 1: Granice ciągów mogą być skończone lub nieskończone.
Uwaga 2: W twierdzeniu tym nie można zastąpić nierówności słabej nierównością ostrą,
Dowodzi tego poniższy przykład:

a

n

= 0 , b

n

=

1

n

.

Mamy a

n

= 0 <

1

n

= b

n

Oraz lim

n→∞

a

n

= 0 , lim

n→∞

b

n

= 0 czyli lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

Twierdzenie o trzech ciągach: Dane są trzy ciągi: (a

n

) , (b

n

) , (c

n

) takie, że (∀n)

b

n

¬

a

n

¬ c

n

. Jeżeli lim

n→∞

b

n

= lim

n→∞

c

n

= g ∈ R to ciąg (a

n

) jest zbieżny i ponadto lim

n→∞

a

n

= g

Uwaga 1: Podobne twierdzenie zachodzi dla granic nieskończonych; wystarczą wtedy tylko
dwa ciągi:
Jeśli lim

n→∞

b

n

= ∞ to lim

n→∞

a

n

= ∞

Jeśli lim

n→∞

c

n

= −∞ to lim

n→∞

a

n

= −∞

Uwaga 2: Wystarczy, żeby warunek b

n

¬ a

n

¬ c

n

zachodził dla dostatecznie duzych n .

Przykład: Obliczyć granicę lim

n→∞

(−1)

n

n

Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Weźmy b

n

= −

1

n

, c

n

=

1

n

. Wtedy mamy:

−

1

n

¬

(−1)

n

n

¬

1

n

oraz lim

n→∞

−

1

n

= 0 = lim

n→∞

1

n

. Z twierdzenia o trzch ciagach wynika więc, że lim

n→∞

(−1)

n

n

= 0

Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (a

n

) , (b

n

) . Jeżeli ciąg (b

n

) jest ograniczony, a lim

n→∞

a

n

= 0

to lim

n→∞

a

n

b

n

= 0

Przykład: Obliczyć granicę lim

n→∞

n

√

a dla a > 0

Mamy:
1 ¬

n

√

a ¬

n

√

n dla n ­ a stąd: lim

n→∞

n

√

a = 1

Przykład 1: Obliczyć lim

n→∞

(

√

n

2

+ 4n − 5n)

Jest to granica typu ∞ − ∞. Przekształcamy a

n

lim

n→∞

(

√

n

2

+ 4n − 5n) = lim

n→∞

n(

q

1 +

4

n

− 5) = ∞ · (−4) = −∞

Przykład 2: Obliczyć lim

n→∞

(

√

n

2

+ 4n − n)

Jest to granica typu ∞ − ∞. Przekszatłcamy a

n

2

lim

n→∞

(

√

n

2

+ 4n − n) = lim

n→∞

(

√

n

2

+ 4n − n) · (

√

n

2

+ 4n + n)

√

n

2

+ 4n + n

= lim

n→∞

n

2

+ 4n − n

2

√

n

2

+ 4n + n

=

lim

n→∞

4n

n(

q

1 +

4

n

+ 1)

= lim

n→∞

4

q

1 +

4

n

+ 1

= 2

Przykład 3: Obliczyć lim

n→∞

2

n

n

3

+ 4

n

n

3

n

+ 2

2n

n

Jest to granica typu

∞
∞

. Przekszatłcamy a

n

lim

n→∞

2

n

n

3

+ 4

n

n

3

n

+ 2

2n

n

= lim

n→∞

4

n

n(

n

3

2

n

+ 1)

4

n

n







1

n(

4

3

)

n

+ 1







= lim

n→∞

n

3

2

n

+ 1

1

n(

4

3

)

n

+ 1

=

0 + 1

0 + 1

= 1

Uwaga : Częstym błędem przy obliczaniu granic jest przechodzenie do granicy z wybranymi
n w wyrażeniu a

n

. Ryzykujemy wtedy zgubienie symbolu nieoznaczonego i w konsekwencji

błędny wynik. Aby tego uniknąć należy przechodzić do granicy ze wszystkimi n jednocześnie.

Przykład 1: Obliczyć lim

n→∞

1

n

· n

Obliczanie błędne: lim

n→∞

1

n

· n = lim

n→∞

0 · n = lim

n→∞

0 = 0

Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem

1

n

pozostawiając n bez zmian.

Obliczanie poprawne:

lim

n→∞

1

n

· n

Dzielimy wyrażenie na dwie części

lim

n→∞

1

n

= 0

lim

n→∞

n = ∞

Teraz łączymy te części. Tym razem przechodzimy do granicy jednocześnie ze wszystkimi n:

lim

n→∞

1

n

·n = 0·∞ - symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Obliczymy

ją inaczej:

lim

n→∞

1

n

· n = lim

n→∞

1 = 1

Przykład 2: Obliczyć lim

n→∞



1 +

1

n



n

Obliczanie błędne: lim

n→∞



1 +

1

n



n

= lim

n→∞

1

n

= lim

n→∞

1 = 1

Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem

1

n

pozostawiając n bez zmian.

Obliczanie poprawne:
Dzielimy wyrażenie na dwie części

lim

n→∞

(1 +

1

n

) = 1

lim

n→∞

n = ∞

lim

n→∞



1 +

1

n



n

= 1

∞

- symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Gra-

nica ta zostanie omówiona w dalszej częsci wykładu.

Twierdzenie: Jeżeli ciąg (a

n

) jest zbieżny to jest ograniczony.

Twierdzenie: Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną.

Uwaga 1: Istotnym założeniem w tym twierdzeniu jest to, że wyrazy ciągu i granica są
liczbami rzeczywistymi. Dla liczb wymiernych to twierdzenie nie zachodzi.

Uwaga 2: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony to ma granicę nieskończoną: ro-
snący +∞ , malejący −∞

3

Ciąg a

n

= (1 +

1

n

)

n

Ciąg a

n

= (1 +

1

n

)

n

jest rosnący i ograniczony, ma więc granicę.

Dowód

a

n

= (1 +

1

n

)

n

= 1 +



n

1



1

n

+

n

2

!

1

n

2

+

n

3

!

1

n

3

+ · · · +

n

n

!

1

n

n

= 1 +

n

1

·

1

n

+

n(n − 1)

2!

·

1

n

2

+

n(n − 1)(n − 2)

3!

·

1

n

3

+ · · · +

n(n − 1)(n − 2) . . . 1

n!

·

1

n

n

= 2 +

1

2!



1 −

1

n



+

1

3!



1 −

1

n



·



1 −

2

n



+ · · · +

1

n!



1 −

1

n



·



1 −

2

n



· · ·



1 −

n − 1

n



Widać, że każde wyrażenie w nawiasach jest dodatnie i mniejsze od 1. Stąd

a

n

< 2 +

1

2!

+

1

3!

+ · · · +

1

n!

= 2 +

1

2

+

1

2 · 3

+ · · · +

1

2 · 3 · · · n

< 2 +

1

2

+

1

2

2

+ · · · +

1

2

n−1

<

2 +

1

2

+

1

2

2

+ · · · = 2 +

1

2

·

1

1 −

1
2

= 3

Mamy więc dowód, ze ciąg (a

n

) jest ograniczony od góry.

Widać, że ciąg jest rosnący. Jeśli zmienimy n na n + 1 to:

1. Dojdzie jeden wyraz dodatni:



n+1
n+1



1

(n + 1)

n+1

2. Każdy składnik sumy zwiększy się, np:

1

3!



1 −

1

n + 1



·



1 −

2

n + 1



>

1

3!



1 −

1

n



·



1 −

2

n



Granicę tego ciągu oznaczamy e

lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

= e

Liczba e jest liczbą niewymierną. Nawywamy ją liczbą Eulera. Jej przybliżenie jest równe:
e = 2.71828182846 . . .

Uwaga 1: Liczba e często stosujemy jako podstawę funkcji wykładniczej e

x

oraz logarytmu

log

e

x . Logarytm przy podstawie e nazwyamy logarytmem naturalnym i oznaczamy:

ln x = log

e

x

Uwaga 2: Symbol log x oznacza zwykle logarytm przy podstawie 10 : log x = log

10

x .

Czasami jednak, może oznaczać logarytm naturalny.

Można pokazać, że ciąg b

n

= (1 +

1

n

)

n+1

jest malejący. Jego granica jest równa:

lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n+1

= lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

· (1 +

1

n

) = e · 1 = e

Wynikają stąd następujące ważne nierówności:
a

n

< e < b

n

dla każdego n ∈ N

(1 +

1

n

)

n

< e < (1 +

1

n

)

n+1

Logarytmując nierówności:
n ln



1 +

1

n



< 1 < (n + 1) ln



1 +

1

n



Czyli

1

n + 1

< ln



1 +

1

n



<

1

n

Twierdzenie: Dany jest ciąg (a

n

) taki, że a

n

> −1 , a

n

6= 0 oraz lim

n→∞

a

n

= 0 Wtedy istnieje

granica:

lim

n→∞



1 + a

n



1

a

n

= e

4

Uwaga: Z twierdzenia tego korzystamy często obliczając granice typu 1

∞

Przykład: Obliczyć lim

n→∞

n

2

+ 4

n

2

+ 2

!

n

2

−1

Jest to granica typu 1

∞

. Przekształcamy wyraz ciągu taj, aby skorzystać z twierdzenia:

n

2

+ 4

n

2

+ 2

!

n

2

−1

=



1 +

2

n

2

+ 2



n

2

−1

Stosujemy twierdzenie biorąc a

n

=

2

n

2

+ 2

Widać, że lim

n→∞

2

n

2

+ 2

= 0

Przkształcamy wykładnik, aby uzyskać w nim

1

a

n

=

n

2

+ 2

2



1 +

2

n

2

+ 2



n

2

−1

=





1+

2

n

2

+ 2





n

2

+ 2

2

·

2

n

2

+ 2

· (n

2

− 1)

=













1 +

2

n

2

+ 2





n

2

+ 2

2









2

n

2

+ 2

· (n

2

− 1)

Obliczmy granice:

lim

n→∞





1 +

2

n

2

+ 2





n

2

+ 2

2

= e : korzystamy z twierdzenia

lim

n→∞

2

n

2

+ 2

· (n

2

− 1) = lim

n→∞

2n

2

− 2

n

2

+ 2

= lim

n→∞

n

2

(2 −

2

n

2

)

n

2

(1 +

2

n

2

)

= 2

Stąd:

lim

n→∞

n

2

+ 4

n

2

+ 2

!

n

2

−1

= e

2

5

Elementy topologii

Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z
otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.
Poniżej zakładamy, że zbiory A, B ⊂ R

Definicja: Niech x ∈ R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy
przedział O

ε

= (x − ε , x + ε) dla ε > 0

Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O

ε

punktu x zawarte w A : O

ε

⊂ A

Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O

ε

punktu x rozłączne z A : O

ε

∩ A = ∅

Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.

Uwaga: Punkt x ∈ R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde
otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.

Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru
A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).

Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.
Brzeg A oznaczamy ∂A .

Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A ∪ ∂A .

Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , ∂A i zbiór punktów
zewnętrznych.

Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >
int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >

Przykład 2: Dla A =< 0, 1)

int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >

Przykład 3: Dla A =< 0, ∞)
int A = (0, ∞) , ∂A = {0} , A =< 0, ∞ >

Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych
int A = ∅ , ∂A = R , A = R

Przykład 4: Dla A = {2, 3}
int A = ∅ , ∂A = {2, 3} , A = {2, 3}

Pewne własności: ( Oznaczamy: A

0

= R \ A)

int A ⊂ A ⊂

A

(int A)

0

= A

0

∂A = A \ int A
∂A = A ∩ A

0

Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A

Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A

Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:
A = (0, 1) , A = R , A = ∅ , A = (1, 3) ∪ (5, 6) , A = (0, ∞)

Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:

6

A =< 0, 1 > , A = R , A = ∅ , A =< 1, 3 > ∪ < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ∞)

Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:
A =< 0, 1) , A = (1, 3) ∪ < 5, 6 > , A = Q

Pewne własności:
Jeśli zbiory O

α

są otwarte to zbiór

S

α

O

α

jest otwarty

Jeśli zbiory D

α

są domknięte to zbiór

T

α

D

α

jest domknięty

Jeśli zbiory O

1

, O

2

są otwarte to zbiór O

1

∩ O

2

jest otwarty

Jeśli zbiory D

1

, D

2

są domknięte to zbiór D

1

∪ D

2

jest domknięty

Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar-
tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.
Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy
przykład:

Przykład: O

n

= (−

1

n

,

1

n

) - zbiory otwarte. Zbiór

T

n∈N

O

n

= {0} nie jest otwarty

Definicja: Liczbę x ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x ∈ A \ {x}

Definicja: Liczbę x ∈ A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x /

∈ A \ {x}

Przykład 1: A = (0, 1)
Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - ∅

Przykład 2: A = {

1

n

: n ∈ N}

Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - {

1

n

: n ∈ N}

Przykład 3: A = Q
Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - ∅

Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:
Twierdzenie: x ∈ R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg



x

n



n∈N

, x

n

∈ A , x

n

6= x taki, że lim

n→∞

x

n

= x

Granica funkcji

Definicja: Niech dana będzie funkcja f : D → R , D ⊂ R oraz punkt skupienia a zbioru D.
Mówimy, że b ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: lim

x→a

= b ) wtedy i tylko

wtedy, gdy dla każdego ciągu (x

n

) spełniającego warunki:

(∀n)x

n

∈ D

(∀n)x

n

6= a

lim

n→∞

x

n

= a

zachodzi lim

n→∞

f (x

n

) = b

Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.
Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej
jeden ciąg x

n

spełniający żądane warunki.

Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicę dla a = ±∞ oraz b = ±∞ . Dla a = +∞
należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest
ograniczony od góry. Podobnie dla a = −∞.

7