SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 4, 2010-10-28

Funkcja ciągła c.d.

Rodzaje punktów nieciągłości
Przykłady funkcji f :< 0, ∞) → R nieciągłej tylko w jednym punkcie x

0

= 0

1. Funkcja ma granicę skończoną w x

0

, ale granica ta nie jest równa wartości funkcji w x

0

f (x) =

(

1

dla x > 0

0

dla x = 0

W punkcie x

0

= 0 funkcja ma skok skończony.

2. Funkcja ma granicę nieskończoną w x

0

f (x) =







1

x

dla x > 0

0

dla x = 0

W punkcie x

0

= 0 funkcja ma skok nieskończony.

3. Funkcja nie ma granicy w x

0

(nieskończenie wiele oscylacji w otoczeniu x

0

)

f (x) =

(

sin

1
x

dla x > 0

0

dla x = 0

Uwaga: W każdym punkcie nieciągłości funkcja zachowuje się podobnie jak w powyższych
przykładach. Zachowanie się funkcji nieciągłej może być bardziej złożone niż w powyższych
prostych przykładach:
1. Amplituda oscylacji może być nieskończona
2. Funkcja może być ciągła z np. lewej strony i nieciągła z prawej
3. Typy nieciągłości funkcji z lewej i prawej strony mogą być różne
4. Może być wiele (nieskończenie wiele) punktów nieciągłości np. funkcja Dirichleta nieciągła
w każdym punkcie:

f (x) =

(

1 dla x ∈ Q
0 dla x /

∈ Q

Zastosowania funkcji ciągłej:

Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła, a zbiór D jest domknięty i ograniczony
to f jest ograniczona (tzn. zbiór f (D) jest ograniczony).

Twierdzenie 2 Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła, a zbiór D jest domknięty i ograniczony
to f ma na D maksimum i minimum globalne (tzn.



∃x

1

∈ D



f (x

1

) = max (D) oraz



∃x

2

∈ D



f (x

2

) = min (D) ).

Twierdzenie 3 Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła, a zbiór D jest przedziałem to zbiór
f (D) jest też przedziałem.
Z tego twierdzenie wynika, że dla D =< a, b > jeżeli f (a) > 0 oraz f (b) < 0 to istnieje
x

0

∈ (a, b) takie, że f (x

0

) = 0

Uwaga: Ważnym założeniem w powyższych twierdzeniaech są założenia o zbiorze D.

Przykład: Pokazać, że równanie e

x

= 2 − x ma rozwiązanie.

Niech f (x) = e

x

+ x − 2. Mamy f (0) = −1 < 0 , f (1) = e − 1 > 0. Funkcja f jest ciągła

na przedziale < 0, 1 >. Wynika stąd, że w przedziale (0, 1) ma przynajmniej jedno miejsce
zerowe: f (x

0

) = 0 , x

0

∈ (0, 1) . c

0

jest rozwiązaniem równania.

Pochodna funkcji

Definicja:

1

Niech będzie dana funkcja f : D → R oraz punkt x ∈ intD. Wtedy pochodną funkcji f w
punkcie x nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona):

f

0

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

Uwaga 1: Wyrażenie

f (x + h) − f (x)

h

nazywamy ilorazem różnicowym; iloraz ten oznacza

się rózwnież

∆f

∆x

- stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu. Pochodna

jest to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Pochodną funkcji
oznaczamy też:

f

0

=

df

dx

Uwaga 2: Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x to mówimy, że jest różniczkowalna
w punkcie x. Jeżeli ma pochodną w każdym punkcie x ∈ D to mówimy, że funkcja jest
różniczkowalna. Obliczanie pochodnej nazywamy też różniczkowaniem funkcji.

Interpretacja geometryczna pochodnej
Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej siecznej wykresu funkcji:
prostej przechodzącej przez punkty P (x, f (x)) i Q(x + h, f (x + h)) . Pochodna jest współ-
czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie P

Interpretacja fizyczna pochodnej
Niech x(t) będzie położenima ciała w chwili t. Prędkością średnią nazywamy iloraz różnicowy:

v

s

(t, ∆t) =

x(t + ∆t) − x(t)

∆t

Prędkość średnia jest funkcją dwóch zmiennych: t i ∆t. Prędkością chwilową nazywamy
granicę prędkości średniej:
v(t) = lim

∆t→0

v

s

(t, ∆t)

Prędkość chwilowa jest funkcją jednej zmiennej t. Widać, że:
v(t) = x

0

(t)

Podobnie:
a(t) = v

0

(t)

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = a (funkcja stała)
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f

0

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

= lim

h→0

a − a

h

= 0

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = a jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(a)

0

= 0

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x

3

Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f

0

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

= lim

h→0

(x + h)

3

− x

3

h

= lim

h→0

x

3

+ 3x

2

h + 3xh

2

+ h

3

− x

3

h

=

lim

h→0

3x

2

h + 3xh

2

+ h

3

h

= lim

h→0

(3x

2

+ 3xh + h

2

) = 3x

2

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = x

3

jest różniczkowalna i jej

pochodna jest równa:
(x

3

)

0

= 3x

2

2

Uwaga: Wzór ten jest prawdziwy dla x > 0.

Dla x < 0 wzór ten jest prawdziwy, jeśli α =

p

q

(liczba wymierna, ułamek nieskracalny),

p, q ∈ Z , q jest liczbą nieparzystą. Jeżeli ponadto α > 1 to zwór oboiązuja dla x = 0.

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = sin x
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f

0

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

= lim

h→0

sin(x + h) − sin x

h

= lim

h→0

2 sin

h

2

cos

2x + h

2

h

=

lim

h→0

sin

h

2

h

2

cos

2x + h

2

= cos x

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = sin x jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:

(sin x)

0

= cos x

Analogicznie pokazujemy, że:

(cos x)

0

= − sin x

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ln x
Dziedzina f D = (0, ∞) jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ (0, ∞) jest punktem
wewnętrznym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f

0

(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

= lim

h→0

ln(x + h) − ln x

h

= lim

h→0

ln(1 +

h

x

)

h

= lim

h→0

ln(1 +

h

x

)

h

x

·

1

x

=

1

x

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ (0, ∞) a więc funkcja f (x) = ln x jest różniczkowalna i
jej pochodna jest równa:

(ln x)

0

=

1

x

Własności pochodnej:

Jeżeli istnieją pochodna funkcji f

0

(x) i g

0

(x) to istnieją też poniższe pochodne i są równe:

1. (af (x))

0

= af

0

(x) , a ∈ R

2. (f (x) + g(x))

0

= f

0

(x) + g

0

(x)

3. (f (x) − g(x))

0

= f

0

(x) − g

0

(x)

4. (f (x) · g(x))

0

= f

0

(x) · g(x) + f (x) · g

0

(x)

5.

f (x)

g(x)

!

0

=

f

0

(x) · g(x) − f (x) · g

0

(x)

g

2

(x)

, jeśli g(x) 6= 0

6. Jeżeli y = g(x) i istnieje f

0

(y) to (f (g(x)))

0

= f

0

(y) · g

0

(x)

Uwaga 1: Własności pochodnej 1,2,3 są takie same jak własości granic funkcji, natomiast
własności 4,5,6 są inne!
Uwaga 2: Własność 6 jest to pochodna złożenia (superpozycji) funkcji. Funkcję f nazywamy
funkcją zewnętrzną, a funkcję g funkcją wewnętrzną. Pochodna złożenia jest więc równa
iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrzej i pochodnej funkcji wewnętrznej (w odpowiednich
punktach).

3

Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:

(6x

4

− 4x

2

+ 7)

0

= 6(x

4

)

0

− 4(x

2

)

0

+ (7)

0

= 6 · 4x

3

− 4 · 2x

1

+ 0 = 24x

3

− 8x

2x

3

− 6x + 2

√

x

!

0

=



2x

5
2

− 6x

1
2

+ 2x

−

1
2



0

= 5x

3
2

− 3x

1
2

− x

−

3
2

= 5

√

x

3

− 3

1

√

x

−

1

√

x

3

(x

3

ln x)

0

= (x

3

)

0

ln x + x

3

(ln x)

0

= 3x

2

ln x + x

3

1

x

= 3x

2

ln x + x

2

= x

2

(3 ln x + 1)

x

2

+ 1

x

2

− 1

!

0

=

(x

2

+ 1)

0

· (x

2

− 1) − (x

2

+ 1) · (x

2

− 1)

0

(x

2

− 1)

2

=

2x · (x

2

− 1) − (x

2

+ 1) · 2x

(x

2

− 1)

2

=

−4x

(x

2

− 1)

2

(tg x)

0

=



sin x

cos x



0

=

(sin x)

0

cos x − sin x(cos x)

0

cos

2

x

=

cos x cos x − sin x(− sin x)

cos

2

x

=

1

cos

2

x

(ctg x)

0

= −

1

sin

2

x

(analogicznie)

(ln(cos x))

0

Wykorzystujemy wzór na pochodną złożenia funkcji: y = g(x) = cos x , f (y) = ln y . Wtedy:

f

0

(y) =

1

y

, g

0

(x) = − sin x , a więc:

(ln(cos x))

0

=

1

y

· (− sin x) = −

sin x

cos x

= − tg x



√

x

2

+ 1



0

Mamy: y = x

2

+ 1 , f (y) =

√

y



√

x

2

+ 1



0

=

1

2

√

y

· 2x =

2x

√

x

2

+ 1

(sin(ln x))

0

Mamy: y = ln x , f (y) = sin y

(sin(ln x))

0

= cos y ·

1

x

=

1

x cos(ln x)

(ln(sin x

2

))

0

Jest to złożenie trzech funkcji. Mamy: y = ln x

2

, z = sin y , f (z) = ln z

(ln(sin x

2

)

0

=

1

z

· cos y · 2x =

2x cos(x

2

)

sin(x

2

)



ln(x

3

+ x sin

2

x))



0

=

3x

2

+ sin

2

x + x · 2 sin x cos x

x

3

+ x sin

2

x

(x

α

)

0

= (e

ln x

α

)

0

= (e

α ln x

)

0

= e

α ln x

·

1

x

= x

α

·

1

x

= αx

α−1

, α ∈ R , x > 0

Pochodna funkcji odwrotnej

Twierdzenie: Dana jest funkcja f : D

1

→ D

2

ciągła, odwracalna oraz punkt x ∈ D

1

taki, że

f

0

(x) 6= 0 . Wtedy funkcja odwrotna do f ma pochodną w punkcie y = f (x) i jej pochodna

jest równa:

(f

−1

(y))

0

=

1

f

0

(x)

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji e

x

Funkcja f (x) = ln x spełnia założenia twierdzenia w każdym punkcie x ∈ (0, ∞) . Funkcją
odwrotną jest e

x

:

4

y = ln x ⇐⇒ x = e

y

Stąd

(e

y

)

0

=

1

(ln x)

0

=

1
1

x

= x = e

y

Lub zmieniając oznaczenie argumentu:
(e

x

)

0

= e

x

Przykład zastosowania pochodnej
Dane jest położenie ciała w czasie t :
x(t) = t

3

+ 4 cos t. Obliczyć prędkość chwilową v(t) i przyśpieszenie chwilowe a(t) w czasie t

v(t) = (x(t))

0

= 3t

2

− 4 sin t

a(t) = (v(t))

0

= 6t − 4 cos t

Funkcje hiperboliczne

Sinus hiperboliczny

sinh x =

e

x

− e

−x

2

Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: sinh(D) = R
Funkcja nieparzysta, rosnąca

Cosinus hiperboliczny

cosh x =

e

x

+ e

−x

2

Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: cosh(D) =< 1, ∞)
Funkcja parzysta, rosnąca w przedziale < 0, ∞)

Tangens hiperboliczny

tgh x =

sinh x

cosh x

Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: tgh(D) = (−1, 1)
Funkcja nieparzysta, rosnąca

Cotangens hiperboliczny

ctgh x =

cosh x

sinh x

Dziedzina: D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
Zbiór wartości: ctgh(D) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Funkcja nieparzysta, malejąca w przedziale (−∞, −1) oraz w przedziale (1, ∞)

Pewne własności funkcji hiperbolicznych:
cosh

2

x − sinh

2

x = 1

cosh

2

x + sinh

2

x = cosh 2x

(sinh x)

0

= cosh x

(cosh x)

0

= sinh x

(tgh x)

0

=

1

cosh

2

x

(ctgh x)

0

= −

1

sinh

2

x

Funkcje cyklometryczne

Chcemy zdefiniować funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Aby funkcja odwrotna
istniała musimy ograniczyć dzidzinę i przeciwdziedzinę funkcji trygonometrycznych, aby uzy-
skać funkcją różnowartościową i “na”.

5

Funkcja f :< −

π

2

,

π

2

>→< −1, 1 > , f (x) = sin x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazy-

wamy arcus sinus:

arc sin x :< −1, 1 >→< −

π

2

,

π

2

>

y = arc sin x ⇐⇒







x = sin y

y ∈< −

π

2

,

π

2

>

Funkcja f :< 0, π >→< −1, 1 > , f (x) = cos x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy
arcus cosinus:
arc cos x :< −1, 1 >→< 0, π >

y = arc cos x ⇐⇒

(

x = cos y
y ∈< 0, π >

Funkcja f : (−

π

2

,

π

2

) → (−∞, ∞) , f (x) = tg x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy

arcus tangens:

arc tg x : (−∞, ∞) → (−

π

2

,

π

2

)

y = arc tg x ⇐⇒







x = tg y

y ∈ (−

π

2

,

π

2

)

Funkcja f : (0, π) → (−∞, ∞) , f (x) = ctg x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy
arcus cotangens:
arc ctg x : (−∞, ∞) → (0, π)

y = arc ctg x ⇐⇒

(

x = ctg y
y ∈ (0, π)

Uwaga Powyższe funkcje są funkjami odwrotnymi tylko do jednej gałęzi danej funkcji try-
gonometrycznej.
Przykład 1: Obliczyć y = sin(arc sin x)

Oznaczmy z = arc sin x

Wtedy x = sin z , z ∈< −

π

2

,

π

2

>

Oraz:
y = sin z
Stąd:
y = x ∀x ∈< −1, 1 >
Przykład 2: Obliczyć y = arc sin(sin x)

Oznaczmy z = sin x
Wtedy y = arc sin z , czyli

z = sin y , y ∈< −

π

2

,

π

2

>

Mamy:
sin y = sin x
więc
y = x + 2kπ lub y = π − x + 2kπ , k ∈ Z i k jest takie aby otrzymać wartość y z przedziału
< −

π

2

,

π

2

>

Pochodne funkcji cyklometrycznych

Obliczmy (arc sin y)

0

dla y ∈ (−1, 1) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. Niech

x = arc sin y, wtedy

(arc sin y)

0

=

1

(sin x)

0

=

1

cos x

=

1

√

1 − sin

2

x

=

1

√

1 − y

2

6

Zmieniając oznaczenie argumentu:

(arc sin x)

0

=

1

√

1 − x

2

Analogicznie:

(arc cos x)

0

= −

1

√

1 − x

2

Obliczmy (arc tg y)

0

dla y ∈ (−∞, ∞) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. NIech

x = arc tg y, wtedy

(arc tg y)

0

=

1

(tg x)

0

=

1
1

cos

2

x

= cos

2

x =

cos

2

x

cos

2

x + sin

2

x

=

1

1 + tg

2

x

=

1

1 + y

2

Zmieniając oznaczenie argumentu:

(arc tg x)

0

=

1

1 + x

2

Analogicznie:

(arc ctg x)

0

= −

1

1 + x

2

Przykłady: Obliczyć pochodne:

(arc tg(x

2

))

0

=

1

1 + x

4

· 2x =

2x

1 + x

4

(x cosh x)

0

= cosh x + x sinh x

(arc sin

√

x)

0

=

1

√

1 − x

·

1

2

√

x

=

1

2

√

x − x

2

7