Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II, 4 II 2008, cz¸

e´

s´

c pierwsza

1. X, Y

1

, Y

2

, . . . s¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi rzeczywistymi okre´

slonymi

na tej samej przestrzeni probabilistycznej, przy czym X ma rozk lad N (0, 1), za´

s

Y

n

ma rozk lad jednostajny na [1 −

1

n

, 1 +

1

n

] dla n = 1, 2, . . .

a) Prosz¸

e udowodni´

c, ˙ze ci¸

ag zmiennych losowych (X + Y

n

)

∞

n=1

jest zbie˙zny

wed lug rozk ladu (gdy n −→ ∞) i wyznaczy´

c rozk lad graniczny.

b) Czy za lo˙zenie o niezale˙zno´

sci zmiennych jest tu istotne?

2.

Dany jest ci¸

ag (X

n

)

∞

n=1

niezale˙znych zmiennych losowych rzeczywistych

o rozk ladzie IP (X

n

= −1) = IP (X

n

= 1) = 1/2 (n = 1, 2, . . .).

Niech

S

n

=

P

n
k=1

X

k

dla n = 1, 2, . . . i niech T = inf{n ∈ IN : S

n

= n − 2008}.

a) Prosz¸

e udowodni´

c, ˙ze IP (∃n ∈ IN : S

n

= n − 2008) = 1.

b) Prosz¸e udowodni´

c, ˙ze IET ≤ 2008.

3. Czy z tego, ˙ze ϕ : IR −→ C jest funkcj¸

a charakterystyczn¸

a pewnej rzeczy-

wistej zmiennej losowej, wynika, i˙z funkcja ψ : IR −→ C okre´

slona wzorem

ψ(t) = (Re ϕ(t))

2

− (Im ϕ(t))

2

(t ∈ IR) tak˙ze jest funkcj¸

a charakterystyczn¸

a

jakiej´

s rzeczywistej zmiennej losowej?

Prosz¸

e wszystko dok ladnie uzasadnia´

c!

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II, 4 II 2008, cz¸

e´

s´

c druga

4. Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . s¸

a niezale˙zne i ka˙zda z nich ma rozk lad N (0, 1).

Prosz¸

e obliczy´

c lim

n→∞

IP (

P

n
k=1

X

2

k

≤ n +

√

n).

5. Mamy do dyspozycji trzy bia le kule ponumerowane liczbami od 1 do 3 i
trzy czarne kule ponumerowane liczbami od 1 do 3. Na pocz¸

atku wk ladamy

do pustej urny wszystkie bia le kule. Nast¸

epnie dokonujemy 2008 zmian wed lug

nast¸

epuj¸

acych regu l: w ka˙zdej turze losujemy z urny jedn¸

a kul¸

e i zamiast niej

odk ladamy do urny kul¸

e oznaczon¸

a tym samym numerem, ale o odmiennym

kolorze (po ka˙zdej zmianie b¸

ed¸

a wi¸

ec w urnie trzy kule o numerach 1, 2 i 3).

a) Prosz¸

e wyznaczy´

c przybli˙zone prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze po 2008 turach

zmian w urnie b¸

ed¸

a trzy czarne kule.

b) Prosz¸

e wyznaczy´

c przybli˙zone prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze po 2008 turach

zmian w urnie b¸

ed¸

a trzy bia le kule.

6. Dwie osoby graj¸

a w pewn¸

a gr¸

e losow¸

a. Pierwszy gracz zaczyna j¸

a z kapita lem

n

2

+ n z lotych, drugi za´

s - z kapita lem n

2

z lotych (n ∈ IN ). Rzucamy wiele razy

symetryczn¸

a monet¸

a. Za ka˙zdym razem, gdy wypadnie reszka, pierwszy gracz

traci 1 z l, a stan posiadania drugiego nie zmienia si¸

e. Za ka˙zdym razem, gdy

wypadnie orze l, drugi gracz traci 1 z l, a kapita l pierwszego nie ulega zmianie.
Gra ko´

nczy si¸

e, gdy kt´

oremu´

s z graczy zabraknie pieni¸

edzy. Prosz¸

e dowie´

s´

c, ˙ze

prawdopodobie´

nstwo tego, i˙z gra sko´

nczy si¸

e z powodu bankructwa pierwszego

gracza, zbiega do pewnej liczby, gdy n −→ ∞. Prosz¸

e te˙z wyznaczy´

c t¸

e granic¸

e.

Odpowiedzi mo ˙zna wyra ˙za´

c za pomoc¸

a dystrybuanty Φ rozk ladu N (0, 1).