Zadania

przygoto

w

a

w

ze

z

RP

2

1.

P

o

wierz

hoªk

a

h

sze± ian

u

ABCD

A'B'C'D'

przesu

w

a

si

pionek.

W

k

a»dym

ru

h

u

pionek

mo»e

z

jednak

o

wym

pra

wdop

o

dobie«st

w

em

przej±¢

do

jednego

z

s¡siaduj¡ y

h

wierz

hoªk

ó

w.

Zakªa-

dam

y

,

»e

pionek

startuje

z

punktu

A.

a)

Obli zy¢

pra

wdop

o

dobie«st

w

o,

»e

pionek

do

jdzie

do

punktu

D'

szyb

iej

ni»

do

punktu

B.

b)

Obli zy¢

pra

wdop

o

dobie«st

w

o,

»e

pionek

do

jdzie

do

punktu

D'

szyb

iej

ni»

do

punktó

w

B

i

C.

)

Obli zy¢

w

arto±¢

o

zekiw

an¡

li zb

y

ru

hó

w

przed

pierwszym

p

o

wrotem

do

punktu

A.

d)

Obli zy¢

w

arto±¢

o

zekiw

an¡

li zb

y

ru

hó

w

przed

drugim

p

o

wrotem

do

punktu

A.

e)

Obli zy¢

w

arto±¢

o

zekiw

an¡

li zb

y

przej±¢

przez

punkt

D'

przed

pierwszym

p

o

wrotem

do

punktu

A.

(Un), (Vn), (Xn), (Yn), (Zn) 2.

Dane

s¡

i¡

gi

zmienn

y

h

loso

wy

h.

Rozkªady

t

y

h

zmienn

y

h

zadane

s¡

nastpuj¡ o:

−n2 + 5n + 1

3n + 1

√

√

3n − 2

1

P Un =

=

, P(U

n + 1 − n) =

, P(U

,

3

n = sin(

n = n) =

n2 + 1

6n

6n

6n

n

gV (x) =

√

1

(x) + 3 · 1

(x) ,

n

1 + 2 n

[− 1 ,0]

[0, 2 ]

√

n

n

n

n − 1n

P(Xn = k) =

n−n(n − 1)n−k, k = 1, 2, . . . , n, P (Xn = −n) =

,

k

n

1

gY (x) =

1[−n,n](x),

n

2n

k

4k3

P(Zn =

) =

, k = 1, 2, . . . , n.

n

n2(n + 1)2

Zbada¢

zbie»no±¢

w

edªug

rozkªadu

k

a»dego

z

t

y

h

i¡

gó

w.

(Xn) (Yn)

(Xn)

3.

Dane

s¡

dw

a

i¡

gi

,

niezale»n

y

h

zmienn

y

h

loso

wy

h,

przy

zym

zmienne

1

(Yn)

n

ma

j¡

ten

sam

rozkªad

wykªadni zy

z

parametrem

,

a

ma

j¡

rozkªad

P

oissona

z

parametrem

.

Zbada¢

zbie»no±¢

w

edªug

rozkªadu

i¡

gu

(X1 + X2 + . . . + Xn)2 − Y 2n

√

.

n n

(Mn) (Nn)

(Fn)

4.

Dane

s¡

dw

a

mart

yngaªy

,

adapto

w

ane

do

tej

samej

ltra ji

.

Nie

h

τ = inf{n : Mn < Nn}.

τ

a)

Czy

jest

momen

tem

stopu?

P(τ < ∞) = 1

Mτ

(

∨n + Nn

Fn)

b)

Do

wie±¢,

»e

je±li

,

to

jest

-mart

yngaªem.

(εn)

P(εn = 1) =

5.

Dan

y

jest

i¡

g

niezale»n

y

h

zmienn

y

h

loso

wy

h

o

t

ym

sam

ym

rozkªadzie

p = 1 − P(εn = 0) p ∈ (0, 1)

,

gdzie

jest

ustalon¡

li zb¡

rze zywist¡.

W

yzna zy¢

taki

i¡

g

li zb

o

wy

(an), aby i¡g zmienny h

Yn = an + ε1 + ε1ε2 + . . . + ε1ε2 . . . εn (σ(ε1, ε2, . . . , εn))n=1,2,...

b

yª

mart

yngaªem

wzgldem

ltra ji

.

Czy

ten

mart

yngaª

jest

zbie»n

y

p.n.?