Całkowanie przez części czyli zło w najczystszej postaci.

Całkowanie przez części stosujemy w przypadku całkowania iloczynu dwóch funkcji

(podobno można też więcej, ale wzór się coraz bardziej komplikuje, a nam pewnie się to nie

przyda). Dodatkowo musimy znać funkcję pierwotną jednej z funkcji pod całkowej. Całka

taka ma postać:

( ) ( )

∫

′

dx

x

g

x

f

. Wówczas możemy tę całkę przekształcić do następującej

postaci:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

′

−

=

′

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

Przykład 1: obliczyć następującą całkę:

∫

xdx

x ln

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

ln

x

x

g

x

x

f

x

x

g

x

x

f

=

=

′

=

′

=

( )

=

×

−

×

=

∫

∫

dx

x

x

x

x

xdx

x

2

2

2

1

1

2

1

ln

ln

Widzimy, że powstała nowa całka, którą możemy łatwo wyliczyć. Najpierw skracamy to co

pod całką:

∫

=

−

=

xdx

x

x

2

1

ln

2

1

2

2

1

jako stałą możemy śmiało wyrzucić przed całkę:

∫

=

−

=

xdx

x

x

2

1

ln

2

1

2

Ile wynosi całka z

x to wiemy:

2

2

2

2

4

1

ln

2

1

2

1

2

1

ln

2

1

x

x

x

x

x

x

−

=

×

−

=

Przykład 2: obliczyć całkę:

∫

xdx

e

x

cos

( )

( )

( )

( )

x

x

e

x

g

x

x

f

e

x

g

x

x

f

=

−

=

′

=

′

=

sin

cos

∫

∫

=

×

−

−

=

dx

e

x

x

e

xdx

e

x

x

x

sin

cos

cos

Z nowopowstałej całki minusa możemy wyrzucić przed całkę:

∫

=

+

=

xdx

e

x

e

x

x

sin

cos

To co nam powstaje ponownie całkujemy przez części:

( )

( )

( )

( )

x

x

e

x

g

x

x

f

e

x

g

x

x

f

=

=

′

=

′

=

cos

sin

∫

=

−

+

=

xdx

e

x

e

x

e

x

x

x

cos

sin

cos

Z wyrażenia przed całką

e

x

możemy wyrzucić przed nawias:

(

)

∫

−

+

=

xdx

e

x

x

e

x

x

cos

sin

cos

Zauważmy, że całka, która nam powstała to ta sama, od której zaczynaliśmy, a więc mamy

następujące równanie:

(

)

∫

∫

−

+

=

xdx

e

x

x

e

xdx

e

x

x

x

cos

sin

cos

cos

Teraz wystarczy przenieść całkę z prawej strony na lewą stronę równania:

(

)

∫

+

=

x

x

e

xdx

e

x

x

sin

cos

cos

2

Dzielimy obustronnie przez dwa i mamy rozwiązanie:

(

)

∫

+

=

x

x

e

xdx

e

x

x

sin

cos

2

1

cos

Mam nadzieję, że wytłumaczyłem to w miarę zrozumiale.