I rok 2st. NS 

© Opracowanie Michał Sosnowski 

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012 

1

ZESTAW ZADAŃ DO ĆWICZEŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ 

– TEORIA KONSUMENTA – 

 

Zad. 1 
Zweryfikuj  zasadność  prowadzenia  badań  historycznych  miejscowego  rynku  owoców,  mając  dane  o  cenach 
oraz sprzedaŜy  mango  i  brzoskwiń  w latach  2009-2011.  SprzedaŜ  mango  w  2009  r.  to  2  tony,  w  2010  r.  nie  uległa 
zmianie, a w 2011 r. sprzedano 4  tony mango. Ceny za tonę mango to 6 tys. zł w 2009 r. oraz 7 tys. zł w latach 2010-
2011. SprzedaŜ brzoskwiń to 4,5 tony w 2009 r., 1,5 tony 2010 r. i 6 ton w 2011 r. Ceny za tonę brzoskwiń to 4 tys. zł 
w 2009 r., 6 tys. zł w 2010 r. i 5 tys. zł w 2011 r.  
 
Zad. 2 
Mamy dane o cenach i zakupionych ilościach pewnego dobra oraz wydatkach na inne dobra w kolejnych okresach. Na 
tej podstawie zbadaj aksjomat preferencji jawnych. 

Rok 

p

1 

x

1 

p

i

i 

2010 

200 

3 

2500 

2011 

350 

2 

4000 

 
Zad. 3 
Po  zatrudnieniu  w  dziale  badań  rynkowych  firmy  SOK&WODA  S.A.  otrzymujesz  następujące  dane  na  temat 
miejscowego rynku: 

Rok 

SprzedaŜ soku 

(w litrach) 

Cena soku 

za litr  

(w zł) 

SprzedaŜ 

wody  

(w litrach) 

Cena wody 

za litr 

(w zł) 

Dochód 

przeciętnego 

konsumenta  

(w zł) 

Liczba 

konsumentów 

2010 

13 480 

3,1 

23 740 

1,4 

35 200 

1040 

2011 

13 655 

3,2 

24 170 

1,6 

33 900 

1022 

 
Na  podstawie  danych  zbuduj    tabelę  określającą  wydatki  na  sok,  wodę  i  pozostałe  dobra  w  poszczególnych  latach,  a 
następnie dokonaj odpowiednich obliczeń i zweryfikuj stabilność preferencji konsumentów. 
 
Zad. 4 
Jesteś właścicielem małej hurtowni artykułów spoŜywczych, w której wielkość sprzedaŜy na lokalnym rynku oraz ceny 
cukru w latach 2009-2011 kształtowała się następująco: 

Rok 

SprzedaŜ cukru  

(w kg) 

Cena cukru 

za kg  

(w zł) 

Dochód przeciętnego 

gospodarstwa 

domowego (w zł) 

Liczba gospodarstw 

domowych 

2009 

7700 

2,80 

52 880 

501 

2010 

7360 

3,20 

56 200 

492 

2011 

6840 

3,50 

62 720 

465 

 

1)  Na podstawie danych zbuduj  tabelę określającą wydatki na cukier, wydatki na pozostałe dobra oraz dochody 

gospodarstw domowych znajdujących się na analizowanym rynku w poszczególnych latach. 

2)  Zbadaj stabilność preferencji konsumentów na tym rynku. 

 
Zad. 5 
Wiedząc, Ŝe przeciętny konsument posiadający dochody miesięczne netto w wysokości 2500 zł wydaje miesięcznie na 
ubrania 225 zł, a resztę swego dochodu przeznacza na pozostałe dobra: 

a)  zbuduj funkcję uŜyteczności  Cobba-Douglasa opisującą preferencje konsumentów, a  następnie przekształć ją 

do uproszczonej postaci 

b)  korzystając z funkcji z pkt a) znajdź funkcję popytu przeciętnego konsumenta na ubrania. 

 
Zad. 6 
Wiedząc,  Ŝe  udział  wydatków  na  dobro  spoŜywcze  x

1

  w  wydatkach  przeciętnego  konsumenta  to  0,5%,  a  funkcja 

konsumpcji uwzględniająca dobro x

1

 i pozostałe wydatki jako dobro x

2

 ma postać funkcji Cobba-Douglasa, podaj: 

a)  wzór na funkcję uŜyteczności przeciętnego konsumenta w podstawowej i prostszej postaci, 
b)  wzór na uŜyteczność krańcową x

1

 dla przeciętnego konsumenta, 

c)  wartość uŜyteczności krańcowej x

1

, przy konsumpcji x

1

 wynoszącej 3 jednostki przeliczeniowe, 

d)  wzór na krańcową stopę substytucji pomiędzy dobrem x

1

, a pozostałymi dobrami, 

I rok 2st. NS 

© Opracowanie Michał Sosnowski 

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012 

2

e)  znajdź funkcję popytu przeciętnego konsumenta na dobro spoŜywcze. 
f)  ile  gotów  jest  zapłacić  konsument  za  4,  a  ile  za  1  jednostkę  przeliczeniową  dobra  spoŜywczego  (o  wysokiej 

rotacji) nabywaną dziennie, jeŜeli poziom jego dochodów to 75.000 zł rocznie. 

 
Zad. 7 
Wiedząc Ŝe preferencje konsumentów mają charakter stabilny oraz Ŝe przeciętne gospodarstwo domowe przy rocznych 
dochodach w wysokości 32 000 zł, wydawało przeciętnie na materace 400 zł. Na podstawie danych: 

a)  zbuduj funkcję opisującą zachowania konsumentów, 
b)  znajdź  ogólne  wzory  pozwalające  wyliczyć:  uŜyteczność  krańcową  materacy;  krańcową  stopę  substytucji 
materacy przez pozostałe dobra oraz rozmiar popytu przeciętnego gospodarstwa domowego na materace, 
c)  jaka  jest  liczba  sprzedanych  materacy,  jeśli  na  analizowanym  rynku  znajduje  się  2  mln  gospodarstw 

domowych oraz jaka jest wartość sprzedaŜy na rynku, jeśli średnia cena materaca to 500 zł, 

d)  jak  zmienią  się  wielkości  z  pkt  c),  gdy  średnia  cena    materaca  spadnie  o  5%  –  jaka  to  będzie  zmiana 

procentowa tych wielkości,  

e)  jak zmienią się wielkości z pkt c), gdy dochód przeciętnego gospodarstwa domowego wzrośnie o 2%;  jaka to 

będzie zmiana procentowa tych wielkości,  

f)  jeŜeli  jako  analityk  firmy  produkującej  materace  (dobro  o małej  rotacji)  planujesz  wejście  na  nowy  rynek,  a 

wiesz  Ŝe  nie  jesteś  w stanie  ograniczyć  sprzedaŜy  konkurencji,  a  więc  Twój  produkt  musi  być  zakupiony 
„dodatkowo”  jako  2.  materac  w  danym  roku,  to  czy  zdecydujesz  się  na  wejście  w  ten  segment  rynku,  przy 
Twoich kosztach nie mniejszych niŜ 300 zł na standardowy materac. 

 
Zad. 8 
Funkcja  popytu  na  wykładzinę  podłogową  dana  jest  wzorem:  W(p,  I)  =  3  +  I/(1500p),  gdzie  I  –  to  dochód  roczny 
gospodarstwa  domowego  w  zł,  p  –  cena  m

2

  wykładziny,  a    W(p,  I)  to  wielkość  popytu  przeciętnego  gospodarstwa 

domowego na wykładzinę w m

2

. 

a)  określ, ile m

2 

wykładziny zakupi w ciągu roku przeciętne gospodarstwo domowe, jeŜeli cena m

2

 wykładziny to 

25 zł, zaś dochód roczny tego gospodarstwa wynosi 30 000 zł, 

b)  uwzględniając dane z pkt a) określ, jaki jest poziom sprzedaŜy przedsiębiorstwa wytwarzającego wykładziny, 

jeŜeli jego produkt nabywa 4 mln gospodarstw domowych, 

c)  przy załoŜeniu, Ŝe przedsiębiorstwo wytwarzające wykładziny planowałoby sprzedaŜ 18 mln m

2

 wykładzin na 

opanowanym  przez  nie  rynku  liczącym  4  mln  gospodarstw,  określ  cenę,  jaką  naleŜałoby  ustalić  za  m

2

 

wykładziny, 

d)  wiedząc Ŝe koszt wytworzenia m

2

 wykładziny to 10 zł, a koszt dystrybucji 1 m

2

 wykładziny to 5 zł, ustal czy 

planowany w pkt c) poziom sprzedaŜy przyniesie zysk czy stratę dla tego przedsiębiorstwa, 

e)  jaka musiałaby być sprzedaŜ przedsiębiorstwa na tym rynku, aby cena m

2

 wykładziny dokładnie pokryła sumę 

jednostkowych kosztów produkcji i dystrybucji wykładzin, 

f)  do  jakiej  grupy  gospodarstw  domowych  naleŜałoby  dotrzeć,  aby  przyjmując  wielkość  sprzedaŜy 

przedsiębiorstwa  na  poziomie  18  mln  m

2 

osiągnąć  cenę,  która  pokryłaby  jednostkowe  koszty  produkcji  i 

dystrybucji wykładzin oraz dodatkowo dawałaby 10% marŜy zysku. 

 
Zad. 9 
Jesteś właścicielem hurtowni kafli podłogowych i ściennych. Popyt na kafle podłogowe opisuje funkcja: T(p, I) = 11 + 
0,15I/(36p), gdzie I – to dochód roczny gospodarstwa domowego w zł, p – cena m

2

 kafli, a  T(p, I) to wielkość rocznego 

popytu  przeciętnego  gospodarstwa  domowego  na  kafle  podłogowe  w  m

2

.  Wiadomo,  Ŝe  dochód  roczny  gospodarstwa 

domowego na tym rynku to średnio 48.000 zł, a liczba gospodarstw domowych wynosi 18.000. 

a)  ustal poziom rocznej sprzedaŜy kafli w hurtowni, a następnie wartość sprzedaŜy kafli, jeŜeli cena m

2

 kafli to 

20 zł, 

b)  określ po jakiej cenie naleŜałoby sprzedawać kafle, jeŜeli liczba gospodarstw domowych obsługiwanych przez 

Twoją hurtownię spadłaby do 16.500, przy poziomie sprzedaŜy kafli w tej hurtowni określonym w pkt a), 

c)  ustal  wielkość  rocznych  dochodów  przeciętnego  gospodarstwa  domowego,  która  umoŜliwiałaby  zwiększenie 

poziomu sprzedaŜy określonej w pkt a) o 50%, przy cenie kafli 22 zł/m

2

, 

d)  przyjmując  plan  „optimum”  rocznej  sprzedaŜy  w  Twojej  hurtowni  na  poziomie  400.000  m

2

  oraz  cenę  kafli 

równą 25 zł/m

2

 określ, jaka powinna być docelowa grupa nabywców, by zapewnić 100-proc. wykonanie tego 

planu, 

e)  określ,  jaką  moŜna  zastosować  maksymalną  cenę  m

2

  kafli  oraz  maksymalną  marŜę  w  Twojej  hurtowni, 

zakładając poziom sprzedaŜy kafli w wysokości 408.350 m

2

 rocznie, jeŜeli wiadomo, Ŝe łączne koszty zakupu 

kafli oraz prowadzenia hurtowni dla takiej wielkości sprzedaŜy wynoszą 6.245.250 zł rocznie, 

f)  ustal,  przy  jakiej  rocznej  wielkości  sprzedaŜy  kafli  w  Twojej  hurtowni  wartość  ich  sprzedaŜy  (przychody) 

dokładnie  pokryje  łączne  koszty  zakupu  kafli  od  producenta  i  koszty  prowadzenia  hurtowni,  wiedząc  Ŝe 
przeciętny  koszt  zakupu  kafli  kształtuje  się  na  poziomie  14  zł/m

2

,  a  roczne  koszty  prowadzenia  hurtowni 

niezaleŜnie od poziomu sprzedaŜy to 120.000 zł. 

 
 

I rok 2st. NS 

© Opracowanie Michał Sosnowski 

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012 

3

Zad. 10 
Analizujesz  lokalny  rynek  sprzedaŜy  wyrobów  tytoniowych.  Wiesz,  Ŝe  na  tym  rynku  w  latach  2009-2011  sprzedano 
kolejno 720 tys., 750 tys. i 810 tys. paczek papierosów. Średnia cena paczki papierosów to 5 zł w 2009 r., 6,4 zł w 2010 
r.  oraz  7,8  zł  w 2011  r.  Przeciętne  roczne  dochody  gospodarstwa  domowego  na  tym  rynku  to  61  tys.  zł  w  2009  r., 
66 tys. zł w 2010 r. oraz 68 tys. zł w 2011 r. Liczba gospodarstw domowych na tym rynku to 43 tys. w 2009 r., 42 tys. 
w 2010 r. i 40 tys. w 2011 r. Wykonaj następujące polecenia: 

a)  zbuduj tabelę cen i wydatków na papierosy na tym rynku,: 
b)  zbadaj stabilność gustów i preferencji konsumentów, 
c)  określ  typ  funkcji,  jaką  moŜesz  opisać  zachowania  gospodarstw  domowych,  a  następnie  zbuduj  tę  funkcję, 

wprowadzając odpowiednie parametry, 

d)  zapisz  wzór  na  uŜyteczność  krańcową  wydatków  na  papierosy  oraz  uŜyteczność  krańcową  pozostałych 

wydatków, 

e)  oblicz wzór na uŜyteczność krańcową 20 paczki papierosów dla i zinterpretuj wynik, 
f)  oblicz krańcową stopę substytucji wydatków na papierosy wydatkami na inne dobra, 
g)  jeŜeli  wiesz,  Ŝe  cena  hurtowa  1  paczki  papierosów  (dobro  o  wysokiej  rotacji)  sprzedawanych  przez  Twoją 

firmę  to  5,3  zł,  a chcesz  aby  przeciętne  gospodarstwo  domowe  na  tym  rynku  raz  na  miesiąc  nabywało  15 
paczek  papierosów  pochodzących  z  Twojej  firmy,  to  czy  ten  rynek  jest  rozwojowym  z  punktu  widzenia 
Twojej firmy? 

 
Zad. 11 
Jesteś  pracownikiem  firmy  wytwarzającej  farbę  akrylową  (dobro  o duŜej  rotacji),  których  przeciętna  cena  to  25  zł  za 
litr.  Preferencje  gospodarstw  domowych  co  do  zakupu  farb  są  względnie  stabilne,  a  gospodarstwa  domowe 
przeznaczają  na  nie  0,06%  swych  dochodów  rocznych,  które  wynoszą  45.000  zł  na gospodarstwo.  Na  podstawie 
danych: 

a)  zapisz wzór funkcji uŜyteczności przedstawiającej preferencje gospodarstw domowych względem zakupu farb 

i wydatków na inne dobra, 

b)  zapisz wzory na uŜyteczność krańcową farb i wydatków na inne dobra, 
c)  oblicz uŜyteczność krańcową 5. litra farby kupionej przez gospodarstwo domowe i zinterpretuj wynik, 
d)  znajdź  wzór  pozwalający  na  obliczenie  krańcowej  stopy  substytucji  wydatków  na  farbę  wydatkami  na inne 

dobra, 

e)  dokonując odpowiednich przekształceń zapisz funkcję popytu na farbę, 
f)  jeŜeli Twoja firma chce, by przeciętne gospodarstwo domowe raz na 5 lat dokonywało zakupu 50 litrów farby, 

to jaką powinno stosować cenę za litr. 

 
Zad. 12 
JeŜeli w Twoim podstawowym segmencie produkcji – na rynku krzeseł i taboretów, główny konkurent IKEA planuje 
obniŜkę  przeciętnej  ceny  „standardowego”  krzesła  z  300  zł  do  200  zł,  funkcja  popytu  rocznego  ma  postać 
Q(p, J) = 1 + J/(150p),  J  to  roczne  dochody  gospodarstwa  domowego  wynoszące  30.000  zł  oraz  p  to  cena  krzesła,  to 
czy ta obniŜka stanowi istotne zagroŜenie dla Twojej firmy?  
 
Zad. 13 
Jesteś  właścicielem  duŜej  hurtowni  butów,  w  której  wielkość  sprzedaŜy  oraz  ceny  butów  w  latach  2009-2011 
kształtowała się następująco: 

Rok 

SprzedaŜ butów  

(w parach) 

Cena średnia za parę 

butów (w zł) 

Wydatki ogółem 

gospodarstw 

domowych (w zł) 

Liczba gospodarstw 

domowych 

2009 

57 600 

59 

191 350 000 

9250 

2010 

58 400 

61 

195 740 000 

8630 

2011 

59 300 

63 

211 290 000 

8360 

 

1)  Określ, jaki jest udział wydatków na buty w dochodach gospodarstw domowych w poszczególnych latach. 
2)  Zakładając,  Ŝe  preferencje  konsumentów  na  tym  rynku  są  stabilne  oraz  wiedząc,  Ŝe  gospodarstwa  domowe 

przeznaczają  swe  dochody  na  buty  i  pozostałe  dobra,  określ  typ  funkcji  opisującej  zachowania  gospodarstw 
domowych i ją zbuduj w postaci podstawowej i uproszczonej. 

3)  Na podstawie  funkcji z pkt. 2) zapisz  wzór na uŜyteczność krańcową butów,  wzór  na uŜyteczność krańcową 

pozostałych dóbr oraz wzór na krańcową stopę substytucji butów przez pozostałe dobra. 

4)  Wyprowadź funkcję popytu na buty dla przeciętnego gospodarstwa domowego. 
5)  Na  podstawie  funkcji  popytu  z  pkt.  4)  oblicz,  o  ile  procent  zmieniłaby  się  wielkość  oraz  wartość  sprzedaŜy 

butów  na  tym  rynku  w  porównaniu  z  rokiem  2011,  jeŜeli  średnia  cena  pary  butów  wzrosłaby  o  12%,  a 
przeciętny dochód gospodarstwa domowego zmniejszył się o 4% w stosunku do 2011 r. 

6)  Traktując  buty  jako  dobro  o  małej  rotacji  ustal,  czy  Twoja  hurtownia  powinna  zwiększyć  marŜę  zysku  na 

sprzedaŜy  butów  do  35%, jeŜeli  łączne  koszty  zakupu  butów  od  producenta  wraz  z  kosztami  jego  sprzedaŜy 

I rok 2st. NS 

© Opracowanie Michał Sosnowski 

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012 

4

wynoszą  obecnie  49 zł  w  przeliczeniu  na  parę  butów,  a  przeciętne  gospodarstwo  domowe  na  tym  rynku 
miałoby nabywać 3 pary butów rocznie. 

7)  Odpowiedz na problem zawarty w pkt 6) przy załoŜeniu, Ŝe przeciętne gospodarstwo domowe będzie nabywać 

12 par butów rocznie, czyniąc z tego produktu dobro o wyŜszej rotacji. 

8)  JeŜeli Twój konkurent planuje obniŜkę średniej ceny pary butów z obecnych 63 zł o 15%, to ustal czy stanowić 

to będzie dla Ciebie zagroŜenie, zwaŜywszy, Ŝe sprzedajecie bardzo podobny asortyment.