I rok 2st. NS

© Opracowanie Michał Sosnowski

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012

1

ZESTAW ZADAŃ DO ĆWICZEŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ

– TEORIA KONSUMENTA –

Zad. 1
Zweryfikuj zasadność prowadzenia badań historycznych miejscowego rynku owoców, mając dane o cenach
oraz sprzedaży mango i brzoskwiń w latach 2009-2011. Sprzedaż mango w 2009 r. to 2 tony, w 2010 r. nie uległa
zmianie, a w 2011 r. sprzedano 4 tony mango. Ceny za tonę mango to 6 tys. zł w 2009 r. oraz 7 tys. zł w latach 2010-
2011. Sprzedaż brzoskwiń to 4,5 tony w 2009 r., 1,5 tony 2010 r. i 6 ton w 2011 r. Ceny za tonę brzoskwiń to 4 tys. zł
w 2009 r., 6 tys. zł w 2010 r. i 5 tys. zł w 2011 r.

Zad. 2
Mamy dane o cenach i zakupionych ilościach pewnego dobra oraz wydatkach na inne dobra w kolejnych okresach. Na
tej podstawie zbadaj aksjomat preferencji jawnych.

Rok

p

1

x

1

p

i

i

2010

200

3

2500

2011

350

2

4000

Zad. 3
Po zatrudnieniu w dziale badań rynkowych firmy SOK&WODA S.A. otrzymujesz następujące dane na temat
miejscowego rynku:

Rok

Sprzedaż soku

(w litrach)

Cena soku

za litr

(w zł)

Sprzedaż

wody

(w litrach)

Cena wody

za litr

(w zł)

Dochód

przeciętnego

konsumenta

(w zł)

Liczba

konsumentów

2010

13 480

3,1

23 740

1,4

35 200

1040

2011

13 655

3,2

24 170

1,6

33 900

1022

Na podstawie danych zbuduj tabelę określającą wydatki na sok, wodę i pozostałe dobra w poszczególnych latach, a
następnie dokonaj odpowiednich obliczeń i zweryfikuj stabilność preferencji konsumentów.

Zad. 4
Jesteś właścicielem małej hurtowni artykułów spożywczych, w której wielkość sprzedaży na lokalnym rynku oraz ceny
cukru w latach 2009-2011 kształtowała się następująco:

Rok

Sprzedaż cukru

(w kg)

Cena cukru

za kg

(w zł)

Dochód przeciętnego

gospodarstwa

domowego (w zł)

Liczba gospodarstw

domowych

2009

7700

2,80

52 880

501

2010

7360

3,20

56 200

492

2011

6840

3,50

62 720

465

1) Na podstawie danych zbuduj tabelę określającą wydatki na cukier, wydatki na pozostałe dobra oraz dochody

gospodarstw domowych znajdujących się na analizowanym rynku w poszczególnych latach.

2) Zbadaj stabilność preferencji konsumentów na tym rynku.

Zad. 5
Wiedząc, że przeciętny konsument posiadający dochody miesięczne netto w wysokości 2500 zł wydaje miesięcznie na
ubrania 225 zł, a resztę swego dochodu przeznacza na pozostałe dobra:

a) zbuduj funkcję użyteczności Cobba-Douglasa opisującą preferencje konsumentów, a następnie przekształć ją

do uproszczonej postaci

b) korzystając z funkcji z pkt a) znajdź funkcję popytu przeciętnego konsumenta na ubrania.

Zad. 6
Wiedząc, że udział wydatków na dobro spożywcze x

1

w wydatkach przeciętnego konsumenta to 0,5%, a funkcja

konsumpcji uwzględniająca dobro x

1

i pozostałe wydatki jako dobro x

2

ma postać funkcji Cobba-Douglasa, podaj:

a) wzór na funkcję użyteczności przeciętnego konsumenta w podstawowej i prostszej postaci,
b) wzór na użyteczność krańcową x

1

dla przeciętnego konsumenta,

c) wartość użyteczności krańcowej x

1

, przy konsumpcji x

1

wynoszącej 3 jednostki przeliczeniowe,

d) wzór na krańcową stopę substytucji pomiędzy dobrem x

1

, a pozostałymi dobrami,

I rok 2st. NS

© Opracowanie Michał Sosnowski

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012

2

e) znajdź funkcję popytu przeciętnego konsumenta na dobro spożywcze.
f) ile gotów jest zapłacić konsument za 4, a ile za 1 jednostkę przeliczeniową dobra spożywczego (o wysokiej

rotacji) nabywaną dziennie, jeżeli poziom jego dochodów to 75.000 zł rocznie.

Zad. 7
Wiedząc że preferencje konsumentów mają charakter stabilny oraz że przeciętne gospodarstwo domowe przy rocznych
dochodach w wysokości 32 000 zł, wydawało przeciętnie na materace 400 zł. Na podstawie danych:

a) zbuduj funkcję opisującą zachowania konsumentów,
b) znajdź ogólne wzory pozwalające wyliczyć: użyteczność krańcową materacy; krańcową stopę substytucji
materacy przez pozostałe dobra oraz rozmiar popytu przeciętnego gospodarstwa domowego na materace,
c) jaka jest liczba sprzedanych materacy, jeśli na analizowanym rynku znajduje się 2 mln gospodarstw

domowych oraz jaka jest wartość sprzedaży na rynku, jeśli średnia cena materaca to 500 zł,

d) jak zmienią się wielkości z pkt c), gdy średnia cena materaca spadnie o 5% – jaka to będzie zmiana

procentowa tych wielkości,

e) jak zmienią się wielkości z pkt c), gdy dochód przeciętnego gospodarstwa domowego wzrośnie o 2%; jaka to

będzie zmiana procentowa tych wielkości,

f) jeżeli jako analityk firmy produkującej materace (dobro o małej rotacji) planujesz wejście na nowy rynek, a

wiesz że nie jesteś w stanie ograniczyć sprzedaży konkurencji, a więc Twój produkt musi być zakupiony
„dodatkowo” jako 2. materac w danym roku, to czy zdecydujesz się na wejście w ten segment rynku, przy
Twoich kosztach nie mniejszych niż 300 zł na standardowy materac.

Zad. 8
Funkcja popytu na wykładzinę podłogową dana jest wzorem: W(p, I) = 3 + I/(1500p), gdzie I – to dochód roczny
gospodarstwa domowego w zł, p – cena m

2

wykładziny, a W(p, I) to wielkość popytu przeciętnego gospodarstwa

domowego na wykładzinę w m

2

.

a) określ, ile m

2

wykładziny zakupi w ciągu roku przeciętne gospodarstwo domowe, jeżeli cena m

2

wykładziny to

25 zł, zaś dochód roczny tego gospodarstwa wynosi 30 000 zł,

b) uwzględniając dane z pkt a) określ, jaki jest poziom sprzedaży przedsiębiorstwa wytwarzającego wykładziny,

jeżeli jego produkt nabywa 4 mln gospodarstw domowych,

c) przy założeniu, że przedsiębiorstwo wytwarzające wykładziny planowałoby sprzedaż 18 mln m

2

wykładzin na

opanowanym przez nie rynku liczącym 4 mln gospodarstw, określ cenę, jaką należałoby ustalić za m

2

wykładziny,

d) wiedząc że koszt wytworzenia m

2

wykładziny to 10 zł, a koszt dystrybucji 1 m

2

wykładziny to 5 zł, ustal czy

planowany w pkt c) poziom sprzedaży przyniesie zysk czy stratę dla tego przedsiębiorstwa,

e) jaka musiałaby być sprzedaż przedsiębiorstwa na tym rynku, aby cena m

2

wykładziny dokładnie pokryła sumę

jednostkowych kosztów produkcji i dystrybucji wykładzin,

f) do jakiej grupy gospodarstw domowych należałoby dotrzeć, aby przyjmując wielkość sprzedaży

przedsiębiorstwa na poziomie 18 mln m

2

osiągnąć cenę, która pokryłaby jednostkowe koszty produkcji i

dystrybucji wykładzin oraz dodatkowo dawałaby 10% marży zysku.

Zad. 9
Jesteś właścicielem hurtowni kafli podłogowych i ściennych. Popyt na kafle podłogowe opisuje funkcja: T(p, I) = 11 +
0,15I/(36p), gdzie I – to dochód roczny gospodarstwa domowego w zł, p – cena m

2

kafli, a T(p, I) to wielkość rocznego

popytu przeciętnego gospodarstwa domowego na kafle podłogowe w m

2

. Wiadomo, że dochód roczny gospodarstwa

domowego na tym rynku to średnio 48.000 zł, a liczba gospodarstw domowych wynosi 18.000.

a) ustal poziom rocznej sprzedaży kafli w hurtowni, a następnie wartość sprzedaży kafli, jeżeli cena m

2

kafli to

20 zł,

b) określ po jakiej cenie należałoby sprzedawać kafle, jeżeli liczba gospodarstw domowych obsługiwanych przez

Twoją hurtownię spadłaby do 16.500, przy poziomie sprzedaży kafli w tej hurtowni określonym w pkt a),

c) ustal wielkość rocznych dochodów przeciętnego gospodarstwa domowego, która umożliwiałaby zwiększenie

poziomu sprzedaży określonej w pkt a) o 50%, przy cenie kafli 22 zł/m

2

,

d) przyjmując plan „optimum” rocznej sprzedaży w Twojej hurtowni na poziomie 400.000 m

2

oraz cenę kafli

równą 25 zł/m

2

określ, jaka powinna być docelowa grupa nabywców, by zapewnić 100-proc. wykonanie tego

planu,

e) określ, jaką można zastosować maksymalną cenę m

2

kafli oraz maksymalną marżę w Twojej hurtowni,

zakładając poziom sprzedaży kafli w wysokości 408.350 m

2

rocznie, jeżeli wiadomo, że łączne koszty zakupu

kafli oraz prowadzenia hurtowni dla takiej wielkości sprzedaży wynoszą 6.245.250 zł rocznie,

f) ustal, przy jakiej rocznej wielkości sprzedaży kafli w Twojej hurtowni wartość ich sprzedaży (przychody)

dokładnie pokryje łączne koszty zakupu kafli od producenta i koszty prowadzenia hurtowni, wiedząc że
przeciętny koszt zakupu kafli kształtuje się na poziomie 14 zł/m

2

, a roczne koszty prowadzenia hurtowni

niezależnie od poziomu sprzedaży to 120.000 zł.

I rok 2st. NS

© Opracowanie Michał Sosnowski

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012

3

Zad. 10
Analizujesz lokalny rynek sprzedaży wyrobów tytoniowych. Wiesz, że na tym rynku w latach 2009-2011 sprzedano
kolejno 720 tys., 750 tys. i 810 tys. paczek papierosów. Średnia cena paczki papierosów to 5 zł w 2009 r., 6,4 zł w 2010
r. oraz 7,8 zł w 2011 r. Przeciętne roczne dochody gospodarstwa domowego na tym rynku to 61 tys. zł w 2009 r.,
66 tys. zł w 2010 r. oraz 68 tys. zł w 2011 r. Liczba gospodarstw domowych na tym rynku to 43 tys. w 2009 r., 42 tys.
w 2010 r. i 40 tys. w 2011 r. Wykonaj następujące polecenia:

a) zbuduj tabelę cen i wydatków na papierosy na tym rynku,:
b) zbadaj stabilność gustów i preferencji konsumentów,
c) określ typ funkcji, jaką możesz opisać zachowania gospodarstw domowych, a następnie zbuduj tę funkcję,

wprowadzając odpowiednie parametry,

d) zapisz wzór na użyteczność krańcową wydatków na papierosy oraz użyteczność krańcową pozostałych

wydatków,

e) oblicz wzór na użyteczność krańcową 20 paczki papierosów dla i zinterpretuj wynik,
f) oblicz krańcową stopę substytucji wydatków na papierosy wydatkami na inne dobra,
g) jeżeli wiesz, że cena hurtowa 1 paczki papierosów (dobro o wysokiej rotacji) sprzedawanych przez Twoją

firmę to 5,3 zł, a chcesz aby przeciętne gospodarstwo domowe na tym rynku raz na miesiąc nabywało 15
paczek papierosów pochodzących z Twojej firmy, to czy ten rynek jest rozwojowym z punktu widzenia
Twojej firmy?

Zad. 11
Jesteś pracownikiem firmy wytwarzającej farbę akrylową (dobro o dużej rotacji), których przeciętna cena to 25 zł za
litr. Preferencje gospodarstw domowych co do zakupu farb są względnie stabilne, a gospodarstwa domowe
przeznaczają na nie 0,06% swych dochodów rocznych, które wynoszą 45.000 zł na gospodarstwo. Na podstawie
danych:

a) zapisz wzór funkcji użyteczności przedstawiającej preferencje gospodarstw domowych względem zakupu farb

i wydatków na inne dobra,

b) zapisz wzory na użyteczność krańcową farb i wydatków na inne dobra,
c) oblicz użyteczność krańcową 5. litra farby kupionej przez gospodarstwo domowe i zinterpretuj wynik,
d) znajdź wzór pozwalający na obliczenie krańcowej stopy substytucji wydatków na farbę wydatkami na inne

dobra,

e) dokonując odpowiednich przekształceń zapisz funkcję popytu na farbę,
f) jeżeli Twoja firma chce, by przeciętne gospodarstwo domowe raz na 5 lat dokonywało zakupu 50 litrów farby,

to jaką powinno stosować cenę za litr.

Zad. 12
Jeżeli w Twoim podstawowym segmencie produkcji – na rynku krzeseł i taboretów, główny konkurent IKEA planuje
obniżkę przeciętnej ceny „standardowego” krzesła z 300 zł do 200 zł, funkcja popytu rocznego ma postać
Q(p, J) = 1 + J/(150p), J to roczne dochody gospodarstwa domowego wynoszące 30.000 zł oraz p to cena krzesła, to
czy ta obniżka stanowi istotne zagrożenie dla Twojej firmy?

Zad. 13
Jesteś właścicielem dużej hurtowni butów, w której wielkość sprzedaży oraz ceny butów w latach 2009-2011
kształtowała się następująco:

Rok

Sprzedaż butów

(w parach)

Cena średnia za parę

butów (w zł)

Wydatki ogółem

gospodarstw

domowych (w zł)

Liczba gospodarstw

domowych

2009

57 600

59

191 350 000

9250

2010

58 400

61

195 740 000

8630

2011

59 300

63

211 290 000

8360

1) Określ, jaki jest udział wydatków na buty w dochodach gospodarstw domowych w poszczególnych latach.
2) Zakładając, że preferencje konsumentów na tym rynku są stabilne oraz wiedząc, że gospodarstwa domowe

przeznaczają swe dochody na buty i pozostałe dobra, określ typ funkcji opisującej zachowania gospodarstw
domowych i ją zbuduj w postaci podstawowej i uproszczonej.

3) Na podstawie funkcji z pkt. 2) zapisz wzór na użyteczność krańcową butów, wzór na użyteczność krańcową

pozostałych dóbr oraz wzór na krańcową stopę substytucji butów przez pozostałe dobra.

4) Wyprowadź funkcję popytu na buty dla przeciętnego gospodarstwa domowego.
5) Na podstawie funkcji popytu z pkt. 4) oblicz, o ile procent zmieniłaby się wielkość oraz wartość sprzedaży

butów na tym rynku w porównaniu z rokiem 2011, jeżeli średnia cena pary butów wzrosłaby o 12%, a
przeciętny dochód gospodarstwa domowego zmniejszył się o 4% w stosunku do 2011 r.

6) Traktując buty jako dobro o małej rotacji ustal, czy Twoja hurtownia powinna zwiększyć marżę zysku na

sprzedaży butów do 35%, jeżeli łączne koszty zakupu butów od producenta wraz z kosztami jego sprzedaży

I rok 2st. NS

© Opracowanie Michał Sosnowski

UE Wrocław WGRiT Jelenia Góra 2012

4

wynoszą obecnie 49 zł w przeliczeniu na parę butów, a przeciętne gospodarstwo domowe na tym rynku
miałoby nabywać 3 pary butów rocznie.

7) Odpowiedz na problem zawarty w pkt 6) przy założeniu, że przeciętne gospodarstwo domowe będzie nabywać

12 par butów rocznie, czyniąc z tego produktu dobro o wyższej rotacji.

8) Jeżeli Twój konkurent planuje obniżkę średniej ceny pary butów z obecnych 63 zł o 15%, to ustal czy stanowić

to będzie dla Ciebie zagrożenie, zważywszy, że sprzedajecie bardzo podobny asortyment.