LISTA 1
ZADANIE 1
a)
41
x
=5
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
41
x
=5
x
⋅5
x
przechodzimy na system dziesiętny:
4x
1
1=25
4x
=24
x
=6
ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 6.
b)
22
x
=4
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
22
x
=4
x
⋅4
x
przechodzimy na system dziesiętny:
2x
1
2=16
2x
=14
x
=7
ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 7.
c)
a
2
=301
x
Zauważmy, że:
–
x
3 ponieważ użyto cyfry “3” co oznacza, ze system musi posiadać przynajmniej cztery cyfry (0, 1, 2, 3...),
–
a jest dwucyfrowe (gdyby było jednocyfrowe to podniesione do kwadratu mogłoby mieć co najwyżej 2 cyfry, gdyby
miało 3 cyfry, po podniesieniu do kwadratu na pewno miałoby ich co najmniej 5),
–
a jest liczbą całkowitą.
Przejdźmy na zapis dziesiętny:
a
2
=3x
2
1
a
2
−1=3x
2
a
2
−1
3
=x
2
x
=
a
2
−1
3
Używając naszych początkowych spostrzeżeń możemy zauważyć, że:
x
3
a
2
3 ⋅3
2
1
a
2
28
∣a∣
28
a
≥6
oraz
x
∈Z
x
=
a
2
−1
3
sprawdźmy kolejne liczby a:
a
=6
x
=
36
−1
3
=
35over 3
∉Z
a
=7
x
=
49
−1
3
=
48
3
=
16
=4 ∈Z
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 4.
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
1
d)
b
2
=562
x
Zauważmy, że:
–
x>5,
–
b jest dwucyfrowe,
–
pierwszą cyfrą b musi być 2.
Przejdźmy na system dziesiętny:
b
2
=5x
2
6x 2
2xa
2
=5x
2
6x2
4x
2
4xaa
2
=5x
2
6x 2
x
2
6x −4xa2−a
2
=0
x
2
6−4a x 2−a
2
=0
–
a jest cyfrą jedności liczby b, więc a<x,
–
a>1 ponieważ cyfrą jedności liczby z prawej strony nie jest 1 ani 0.
Po skorzystaniu z wzorów Viete'y, otrzymamy:
x
1
x
2
=4a−6
x
1
⋅x
2
=2−a
2
Sprawdźmy kolejne a:
a
=2
x
1
x
2
=2
x
1
⋅x
2
=−2
x
=2 6
a
=3
x
1
x
2
=6
x
1
⋅x
2
=−7
x
=7
Wykonajmy sprawdzenie:
L :
2 ⋅73
2
=17
2
=289
P:5
⋅7
2
6 ⋅7 2 =289
L
=P
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 7.
ZADANIE 2
5
x
2
−50
x
125
=0
x
1
=5
, x
2
=8
Ze wzorów Viete'y:
5
8
=
50
5
5
8
=10
5
8=
=13
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 13.
ZADANIE 4
Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie
x
Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie
)
x
−1
jest stałe (niezależne od x):
x
−1 = x⋅−x = x −−x = x−1 −x
Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie
, w której:
–
x−1
jest pierwszą cyfrą,
–
−x
jest drugą cyfrą.
Suma cyfr tej liczby to oczywiście:
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
2
x−1−x = x−1−x = −1
a więc jest niezależne od x, co kończy dowód.
TABLICZKI:
Aby ułatwić sobie obliczenia korzystamy z kilku własności:
–
suma cyfr iloczynu największej cyfry i dowolnej innej jest stała i równa największej cyfrze (np. w systemie dziesiętnym
9*4=36 – suma cyfr wyniku to 9)
–
kwadrat dowolnej liczby x wynosi (x-1)(x+1)+1 (np. w systemie dziesiętnym 4
2
=3*5+1=15+1=16)
–
aby uzyskać kolejną liczbę w rzędzie/kolumnie wystarczy dodać stałą różnicę w tym rzędzie równą mnożnikowi
ZADANIE 5
Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie
x
Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w
systemie naturalnym o podstawie
)
x
−1
k
−1
k
−1
.. −1−1 (czyli inaczej liczby złożonej z samych najwyższych cyfr w danym
systemie) jest stałe (niezależne od x):
x
−1
k
−1
k
−1
.. −1−1=
=x
k
1
−
k
k
−
k
−1
k−1
−
k
−2
..
3
−
2
2
−−1=
=x
k
1
−1=x⋅
k
1
−x= x−1
k
1
−1
k
−1
k
−1
...−x
Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie
, w której:
–
x−1
jest pierwszą cyfrą,
–
−x jest ostatnią cyfrą,
–
pomiędzy nimi jest k-1 największych cyfr w danym systemie
−1
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
3
3
1
2
1
1
2
2
2
11
5
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
11 13
3
3
11 14 22
4
4
13 22 31
7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
11 13 15
3
3
6
12 15 21 24
4
4
11 15 22 26 33
5
5
13 21 26 34 42
6
6
15 24 33 42 51
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
4
6
8 11 13 15 17
3
3
6 10 13 16 20 23 26
4
4
8 13 17 22 26 31 35
5
5 11 16 22 27 33 38 44
6
6 13 20 26 33 40 46 53
7
7 15 23 31 38 46 54 62
8
8 17 26 35 44 53 62 71
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
2
2
4
6
8
A
11 13 15 17 19
3
3
6
9
11 14 17 1A 22 25 28
4
4
8
11 15 19 22 26 2A 33 37
5
5
A
14 19 23 28 32 37 41 46
6
6
11 17 22 28 33 39 44 4A 55
7
7
13 1A 26 32 39 45 51 58 64
8
8
15 22 2A 37 44 51 59 66 73
9
9
17 25 33 41 4A 58 66 74 82
A
A
19 28 37 46 55 64 73 82 91
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
2
2
4
6
8
A
C
11 13 15 17 19 1B
3
3
6
9
C
12 15 18 1B 21 24 27 2A
4
4
8
C
13 17 1B 22 26 2A 31 35 39
5
5
A
12 17 1C 24 29 31 36 3B 43 48
6
6
C
15 1B 24 2A 33 39 42 48 51 57
7
7
11 18 22 29 33 3A 44 4B 55 5C 66
8
8
13 1B 26 31 39 44 4C 57 62 6A 75
9
9
15 21 2A 36 42 4B 57 63 6C 78 84
A
A
17 24 31 3B 48 55 62 6C 79 86 93
B
B
19 27 35 43 51 5C 6A 78 86 94 A2
C
C 1B 2A 39 48 57 66 75 84 93 A2 B1
Suma cyfr tej liczby to oczywiście:
x−1−xk −1 −1 = x−1−xk⋅−k −1 = k⋅−k
a więc jest niezależne od x, co kończy dowód.
ZADANIE 6
mnożenie:
dzielenie:
Druga część zadania jest dla mnie niestety niezrozumiała.
ZADANIE 7
a) 674,581
10
= 2A2,94BC
16
2A2,94BC
16
= 0010 1010 0010,1001
2
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
4
β=5
0, 3 2 4
2, 4 1
3 2 4
2 4 1 1
1 3 0 3
2, 1 0 2 3 4
β=9
0, 3 2 4
2, 4 1
3 2 4
1 4 0 7
6 4 8
0, 7 8 3 0 4
β=13
0, 3 2 4
2, 4 1
3 2 4
C 9 3
6 4 8
0, 7 4 7 5 4
β=11
0, 3 2 4
2, 4 1
3 2 4
1 1 9 5
6 4 8
0, 7 6 9 7 4
β=7
0, 3 2 4
2, 4 1
3 2 4
1 6 3 2
6 5 1
1, 1 5 0 4 4
β=7
1, 2 4
4 3, 4
: 3 2
3 2
1 1 4
6 4
2 0 0
1 6 1
0 0 6
β=9
1, 3 2
4 3, 4
: 3 2
3 2
1 1 4
1 0 6
0 0 7 0
6 4
0 5
β=13
1, 4 6
4 3, 4
: 3 2
3 2
1 1 4
C 8
1 9 0
1 5 C
0 3 1
β=11
1, 3 9
4 3, 4
: 3 2
3 2
1 1 4
9 6
2 9 0
2 6 7
0 2 4
β=5
1, 2
4 3, 4
: 3 2
3 2
1 1 4
1 1 4
0 0 0
część całkowita
/16
reszta:
674
2
42
A
2
2
0
część ułamkowa
cyfra
*16
0,
581
9
296
4
736
B
776
C
416
część ułamkowa
cyfra
*2
0,
94BC
1
2978
0
52F0
0
A5E0
1
4BC0
b) 0CD,12
16
= 1100 1101,0001
2
= 1 + 4 + 8 + 64 + 128 + 1/16 = 205,0625
10
c) 3,012
8
=0011,0
2
=3
16
d) 34,56
10
* 2
-5
= 1000010
2
*2
-5
= 10,0001
2
= 2,1
16
e) 102,21
3
*5
-2
=21,1043
5
:100
5
=0,211
5
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
5
część ułamkowa
cyfra
*2
0,
12
0
24
0
48
0
90
1
20
część ułamkowa
cyfra
*2
0,
012
0
024
0
050
0
120
0
240
część całkowita
/2
reszta:
34
0
17
1
8
0
4
0
2
0
1
0
0
1
część ułamkowa
cyfra
*16
0,
0001
1
0
część całkowita
/12
reszta:
102
1
2
2
0
0
część ułamkowa
cyfra
*12
0,
21
1
01
0
12
4
11
3
02
f) (alternatywnym sposobem):
0BACA
16
*5
-3
=47818
10
*5
-3
=382,544
10
g) 6745,81c20345,621
7
= 2⋅7
4
3⋅7
2
4⋅75
6
7
2
7
2
1
7
3
= 4982
10
309
343
= 4982,9008
10
h) 0AA,12
11
= 10⋅1110
1
11
1
121
= 120
10
13
121
= 120,1074
10
= 143,0862
9
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
6
część całkowita
/A
reszta:
BACA
8
12AD
1
01DE
8
002F
7
0004
4
0
0
część całkowita
/7
reszta:
6745
5
0870
4
0122
3
0015
0
0002
2
0
część ułamkowa
cyfra
*7
0,
81
6
27
2
14
1
11
0
77
część całkowita
/9
reszta:
120
3
13
4
1
1
0
0
część ułamkowa
cyfra
*9
0,
1074
0
9666
8
6994
6
2946
2
6514
i)
102,21
3
×15
−2
=102,21
3
×3
−2
×5
−2
=1,0221
3
×5
−2
= 1,0334
5
×5
−2
=0,0103
5
j)
34
7
56
7
=
11001
2
101001
2
=0,1001
2
k) 234,
56
9
=
23456
9
−234
9
88
9
=
23222
9
88
9
=
63110
7
143
7
=511,4552
7
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
7
część ułamkowa
cyfra
*12
0,
0221
0
2022
10
2111
10
2102
11
0001
licznik
/2
reszta:
34
1
15
0
6
0
3
1
1
1
0
mianownik
/2
reszta:
56
1
26
0
13
0
5
1
2
0
1
1
0
0,
1
0
0
1
1
1
0
0
1
2
:
1
0
1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
licznik
/7
reszta:
23222
0
03028
1
00381
1
00050
3
00006
6
0
mianownik
/7
reszta:
88
3
12
4
01
1
0
5
1 1,
4
5
5
2
6
3
1
1 0
7
:
1
4 3
7
6
1
1
0
2
0
1
1
4
3
0
2
5
0
1
4
3
1
0
5
0
6
3
5
1
1
2
0
1
0
1
1
0
1
0
6
0
1
0
1
1
0
0
4
6
0
3
1
6
1
4
1
l)
12,3
45
7
=
12345
7
−123
7
660
7
=
12222
7
660
7
=
7
4
2⋅7
3
2⋅7
2
2⋅72
6
⋅7
2
6⋅7
=
3201
336
=9,5267
10
9,5267
10
=9,588
11
ZADANIE 9
a) 0,
27
10
=
27
10
99
10
=
3
10
11
10
=0,3
11
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 11.
b) 0,
101
2
=
101
2
111
2
=
5
10
7
10
=0,5
7
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 7.
c) 1
−0,56
9
=0,8
9
−0, 56
9
=0,32
9
=
32
9
88
9
=
29
10
80
10
=0, X
80
gdzie X to 29-ta cyfra w systemie o podstawie 80
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 80.
d) 0,0
0011
2
=
11
2
11110
2
=
3
10
30
10
=
1
10
10
10
=0,1
10
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 10.
e) 0,
35
11
−0,2
11
=0,13
11
=
13
11
AA
11
=
14
120
−
7
60
=0,7
60
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 60.
f) 0,1
23
7
=
122
7
660
7
=
65
336
=0, X
33
gdzie X to 65-ta cyfra w systemie o podstawie 336
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 336.
ZADANIE A
Mamy pokazać, że w systemie naturalnym przeniesienie lub pożyczka w dodawaniu juz zawsze równe 0 lub 1.
Dodawanie i odejmowanie liczb w systemie naturalnym polega na dodawaniu lub odejmowaniu cyfr stojacych przy
odpowiadających sobie wagach.
Rozważmy najpierw dodawanie (a więc występujące w nim przeniesienie). W “najgorszym” wypadku będziemy dodwawać
dwie największe cyfry:
−1 −1=−1−1=2⋅−2=−2=1⋅−2
Jeśli więc dodamy dwie największe cyfry, otrzymamy największy wynik będący liczbą dwucyfrową, której pierwsza cyfra
(przeniesienie) wynosi “1” a druga “
β-2”. Oznacza to, że największą cyfrą przeniesienia może być “1”. Najmniejszą cyfrą
przeniesienia jest “0”, która jest sumą najmniejszych cyfr czyli zer.
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
8
część ułamkowa
cyfra
*11
0,
5267
5
7937
8
7307
8
0377
0
4147
W przypadku odejmowania jest podobnie. Jako,że w systemie naturalnym nie ma ujemnych cyfr, wynik odejmowania musi
być zawsze dodatni. Aby uzyskać największą cyfrę pożyczki musimy odjąć od cyfry najmniejszej cyfrę największą:
0− −1=−1 wynik musi być jednak dodatni więc musimy pożyczyć jeden : −1=1
Widać stąd, że zawsze wystarczy pożyczyć “1”. Pożyczka będzie równa “0” gdy będziemy odejmować od dowolnej cyfry,
cyfrę od niej większą.
ZADANIE B
Liczby zakodowane w systemie znak-moduł (SM) składają się ze znaku (standardowo “0” to minus a “1” to plus) i modułu
(czyli wartości bezwzględnej) liczby. Inaczej mówiąc polega to na zamianie znaków “+” i “-” na cyfry – odpowiednio “1” i
“0”.
Dodawanie i odejmowanie w systemach SM nie różni się więc niczym od tego znanego z podstawówki. Same działania
wykonujemy na modułach, w zależności od cyfr znaku:
–
jeśli dodajemy dwie liczby dodatnie (obie mają pierwszą cyfrę “0”) to dodajemy moduły i jako znak ustawiamy również
cyfrę “0”,
–
jeśli dodajemy liczbę ujemną (pierwsza cyfra “1”) i liczbę dodatnią to wykonujemy odejmowanie na modułach (od
większego odejmujemy mniejszy) a jako znak ustawiamy znak większego z modułów dodawanych liczb,
–
jeśli odejmujemy dwie liczby ujemne to postępujemy jak w przypadku dodawania ale znak ustawiamy na “1”,
–
jeśli odejmujemy liczbę ujemną i dodatnią to postępujemy jak w przypadku dodawania liczby ujemnej i dodatniej.
ZADANIE D
a) system naturalny:
–
najmniejsza liczba całkowita: 0
–
największa liczba całkowita: β
k
-1
b) system negabazowy
–
najmniejsza liczba całkowita:
•
dla k parzystego:
−1⋅−
k
−1
−1⋅−
k
−3
...−1 −=−
k
k
−1
−
k
−2
k
−3
...−
2
=
∑
i
=1
k
−1
i
1
⋅
i
•
dla k nieparzystego:
−1⋅−
k
−2
−1⋅−
k
−4
...−1−=−
k
−1
k
−2
−
k
−3
k
−4
...−
2
=
∑
i
=1
k
−1
−1
i
⋅
i
–
największa liczba całkowita:
•
dla k parzystego:
−1⋅−
k
−2
−1⋅−
k
−4
...−1−
2
−1=
k
−1
−
k
−2
k
−3
−
k
−4
...−
2
−1=
∑
i
=0
k
−1
−1
i
1
⋅
i
•
dla k nieparzystego:
−1⋅−
k
−1⋅−
k
−1
... −1−
2
−1=
k
1
−
k
k
−1
−
k
−4
...−1=
∑
i
=0
k
1
−1
i
1
⋅
i
c) system z cyframi znakowanymi:
–
najmniejsza liczba całkowita: -β
k
-1
–
największa liczba całkowita: β
k
-1
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
9