Grupa IV

Zadanie 1. Znaleźć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia po-

danej funkcji

f (x) = 2x

√

1 − x

2

Zadanie 2. Obliczyć granice

1) lim

x→0

+

ln arcsin 6x

ln arcsin x

,

2) lim

x→∞

x(arctg

x+1
x−1

−

π

4

),

3) lim

x→0

+

x

1

ln(ex−1)

.

Zadanie 3. Udowodnić podaną nierówność

ln(1 −

1

x

) >

1

1−x

,

dla x ∈ (1, ∞)

Zadanie 4. Obliczyć podane całki nieoznaczone

1)

R

xarctgx

1+x
1−x

dx,

2)

R

x

3

−5x

2

+x

4

−4x+10

x

2

+x−2

dx,

3)

R

1

3 sin x+4 cos x

dx

Zadanie 5. Obliczyć podane całki oznaczone

1)

R

−2

−4

1

x

2

−1

dx,

2)

R

π

−π

cos

2 x

4

dx.

1

Grupa III

Zadanie 1. Znaleźć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia po-

danej funkcji

f (x) = 2x

√

1 − x

2

Zadanie 2. Obliczyć granice

1) lim

x→0

+

ln arcsin 6x

ln arcsin x

,

2) lim

x→∞

x(arctg

x+1
x−1

−

π

4

),

3) lim

x→0

+

x

1

ln(ex−1)

.

Zadanie 3. Udowodnić podaną nierówność

ln(1 −

1

x

) >

1

1−x

,

dla x ∈ (1, ∞)

Zadanie 4. Obliczyć podane całki nieoznaczone

1)

R

xarctgx

1+x
1−x

dx,

2)

R

x

3

−5x

2

+x

4

−4x+10

x

2

+x−2

dx,

3)

R

1

3 sin x+4 cos x

dx

Zadanie 5. Obliczyć podane całki oznaczone

1)

R

−2

−4

1

x

2

−1

dx,

2)

R

π

−π

cos

2 x

4

dx.

2

Grupa IV

Zadanie 1. Znaleźć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia po-

danej funkcji

f (x) = 2x

√

1 − x

2

Zadanie 2. Obliczyć granice

1) lim

x→0

+

ln arcsin 6x

ln arcsin x

,

2) lim

x→∞

x(arctg

x+1
x−1

−

π

4

),

3) lim

x→0

+

x

1

ln(ex−1)

.

Zadanie 3. Udowodnić podaną nierówność

ln(1 −

1

x

) >

1

1−x

,

dla x ∈ (1, ∞)

Zadanie 4. Obliczyć podane całki nieoznaczone

1)

R

xarctgx

1+x
1−x

dx,

2)

R

x

3

−5x

2

+x

4

−4x+10

x

2

+x−2

dx,

3)

R

1

3 sin x+4 cos x

dx

Zadanie 5. Obliczyć podane całki oznaczone

1)

R

−2

−4

1

x

2

−1

dx,

2)

R

π

−π

cos

2 x

4

dx.

3