Analiza zespolona IIr. WMS

przykładowe zadania na 2. kolokwium, 4 VI 2008

♣♦♥♠_`

Zadania proszę rozwiązywać na dołączonych kartkach. Każdą kartkę proszę podpisać czytelnie
imieniem i nazwiskiem. Na rozwiązanie zadań przeznaczono (æ+

`)



≈ 86,42 min. W rozwiązaniach

należy dokładnie opisać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Powodzenia!

ZADANIA

1

Znajdź promień zbieżności i zbadaj zbieżność na okręgu
zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(n − i)

n

(1 − in)

n

z

n

.

2

Funkcja F jest określona w dysku jednostkowym D =

{|z| < 1} całką F (z) =

Z

∂D

f (ζ)

ζ − z

dζ gdzie brzeg ∂D jest

dodatnio zorientowany. Pokaż, że F jest różniczkowalna i
rozwiń ją w szereg.

3

Oblicz całkę:

Z

γ

dz

1 + z

2

, gdzie krzywa γ przebiega od punktu

0 do punktu 2i i leży w pierwszej ćwiartce.

4

Rozwiń funkcję f (z) =

z + i

z

2

− 3iz − 2

w szereg Laurenta w

pierścieniu



1 < |z| < 2



.

... tę kartkę można zabrać ze sobą...

Analiza zespolona, kolokwium 2.

à

Nazwisko:

Imię:

Zad 1. Znajdź promień zbieżności i zbadaj zbieżność na okręgu zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(n − i)

n

(1 − in)

n

z

n

.

Rozwiązanie: tak, jak na kartkówkach...



Analiza zespolona, kolokwium 2.

à

Nazwisko:

Imię:

Zad 2. Funkcja F jest określona w dysku jednostkowym D = {|z| < 1} całką F (z) =

Z

∂D

f (ζ)

ζ − z

dζ

gdzie brzeg ∂D jest dodatnio zorientowany. Pokaż, że F jest różniczkowalna i rozwiń ją w szereg.

Rozwiązanie:

Z definicji pochodnej mamy dla z ∈ D

F

0

(z) = lim

w→z

F (w) − F (z)

w − z

= lim

w→z

1

w − z

Z

∂D

f (ζ)

ζ − w

−

f (ζ)

ζ − z

!

dζ

= lim

w→z

1

w − z

Z

∂D

f (ζ)(w − z)

(ζ − w)(ζ − z)

dζ =

Z

∂D

f (ζ)

(ζ − z)

2

dζ

Ponieważ

f (ζ)

(ζ−z)

2

jest dla z ∈ D i ζ ∈ ∂D ograniczona,to pochodna istnieje, co daje nam holomorficzność

F w D. F jest zatem analityczna w D i jest tam rozwijalna w szereg potęgowy.

Dla z ∈ D i ζ ∈ ∂D mamy oczywiście |z| < |ζ|. Zatem szereg

1

ζ − z

=

∞

X

n=0

z

n

ζ

n+1

jest zbieżny bezwzględnie. Stąd

F (z) =

∞

X

n=0





Z

∂D

f (ζ)

ζ

n+1

dζ





z

n



Analiza zespolona, kolokwium 2.

à

Nazwisko:

Imię:

Zad 3. Oblicz całkę:

Z

γ

dz

1 + z

2

, gdzie krzywa γ przebiega od punktu 0 do punktu 2i i leży w pierwszej

ćwiartce.

Rozwiązanie: tak, jak na kartkówkach...



Analiza zespolona, kolokwium 2.

à

Nazwisko:

Imię:

Zad 4. Rozwiń funkcję f (z) =

z + i

z

2

− 3iz − 2

w szereg Laurenta w pierścieniu

n

1 < |z| < 2

o

.

Rozwiązanie:

Po pierwsze zauważamy, że

f (z) =

z + i

z

2

− 3iz − 2

=

3

z − 2i

−

2

z − i

W pierścieniu 1 < |z| < 2 mamy |

z

2i

|, |

i

z

| < 1. Stąd

1

z − 2i

= −

1

2i

1

(1 −

z

2i

)

= −

∞

X

n=0

z

n

(2i)

n+1

oraz

1

z − i

=

1

z

1

(1 −

i

z

)

=

∞

X

n=0

i

n

z

n+1

Podstawiając powyższe równości do pierwszego wzoru otrzymujemy

f (z) =

∞

X

n=−∞

c

n

z

n

,

gdzie

c

n

=



















−

3

(2i)

n+1

, dla n ­ 0

−2i

n−1

, dla n < 0



Analiza zespolona, kolokwium 2. – BRUDNOPIS

à

1

2

3

4

5

Suma

Nazwisko:

Imię: