Analiza zespolona IIr. WMS
przykładowe zadania na 2. kolokwium, 4 VI 2008
♣♦♥♠_`
Zadania proszę rozwiązywać na dołączonych kartkach. Każdą kartkę proszę podpisać czytelnie
imieniem i nazwiskiem. Na rozwiązanie zadań przeznaczono (æ+
`)
≈ 86,42 min. W rozwiązaniach
należy dokładnie opisać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Powodzenia!
ZADANIA
1
Znajdź promień zbieżności i zbadaj zbieżność na okręgu
zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=1
(n − i)
n
(1 − in)
n
z
n
.
2
Funkcja F jest określona w dysku jednostkowym D =
{|z| < 1} całką F (z) =
Z
∂D
f (ζ)
ζ − z
dζ gdzie brzeg ∂D jest
dodatnio zorientowany. Pokaż, że F jest różniczkowalna i
rozwiń ją w szereg.
3
Oblicz całkę:
Z
γ
dz
1 + z
2
, gdzie krzywa γ przebiega od punktu
0 do punktu 2i i leży w pierwszej ćwiartce.
4
Rozwiń funkcję f (z) =
z + i
z
2
− 3iz − 2
w szereg Laurenta w
pierścieniu
1 < |z| < 2
.
... tę kartkę można zabrać ze sobą...
Analiza zespolona, kolokwium 2.
à
Nazwisko:
Imię:
Zad 1. Znajdź promień zbieżności i zbadaj zbieżność na okręgu zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=1
(n − i)
n
(1 − in)
n
z
n
.
Rozwiązanie: tak, jak na kartkówkach...
Analiza zespolona, kolokwium 2.
à
Nazwisko:
Imię:
Zad 2. Funkcja F jest określona w dysku jednostkowym D = {|z| < 1} całką F (z) =
Z
∂D
f (ζ)
ζ − z
dζ
gdzie brzeg ∂D jest dodatnio zorientowany. Pokaż, że F jest różniczkowalna i rozwiń ją w szereg.
Rozwiązanie:
Z definicji pochodnej mamy dla z ∈ D
F
0
(z) = lim
w→z
F (w) − F (z)
w − z
= lim
w→z
1
w − z
Z
∂D
f (ζ)
ζ − w
−
f (ζ)
ζ − z
!
dζ
= lim
w→z
1
w − z
Z
∂D
f (ζ)(w − z)
(ζ − w)(ζ − z)
dζ =
Z
∂D
f (ζ)
(ζ − z)
2
dζ
Ponieważ
f (ζ)
(ζ−z)
2
jest dla z ∈ D i ζ ∈ ∂D ograniczona,to pochodna istnieje, co daje nam holomorficzność
F w D. F jest zatem analityczna w D i jest tam rozwijalna w szereg potęgowy.
Dla z ∈ D i ζ ∈ ∂D mamy oczywiście |z| < |ζ|. Zatem szereg
1
ζ − z
=
∞
X
n=0
z
n
ζ
n+1
jest zbieżny bezwzględnie. Stąd
F (z) =
∞
X
n=0
Z
∂D
f (ζ)
ζ
n+1
dζ
z
n
Analiza zespolona, kolokwium 2.
à
Nazwisko:
Imię:
Zad 3. Oblicz całkę:
Z
γ
dz
1 + z
2
, gdzie krzywa γ przebiega od punktu 0 do punktu 2i i leży w pierwszej
ćwiartce.
Rozwiązanie: tak, jak na kartkówkach...
Analiza zespolona, kolokwium 2.
à
Nazwisko:
Imię:
Zad 4. Rozwiń funkcję f (z) =
z + i
z
2
− 3iz − 2
w szereg Laurenta w pierścieniu
n
1 < |z| < 2
o
.
Rozwiązanie:
Po pierwsze zauważamy, że
f (z) =
z + i
z
2
− 3iz − 2
=
3
z − 2i
−
2
z − i
W pierścieniu 1 < |z| < 2 mamy |
z
2i
|, |
i
z
| < 1. Stąd
1
z − 2i
= −
1
2i
1
(1 −
z
2i
)
= −
∞
X
n=0
z
n
(2i)
n+1
oraz
1
z − i
=
1
z
1
(1 −
i
z
)
=
∞
X
n=0
i
n
z
n+1
Podstawiając powyższe równości do pierwszego wzoru otrzymujemy
f (z) =
∞
X
n=−∞
c
n
z
n
,
gdzie
c
n
=
−
3
(2i)
n+1
, dla n 0
−2i
n−1
, dla n < 0
Analiza zespolona, kolokwium 2. – BRUDNOPIS
à
1
2
3
4
5
Suma
Nazwisko:
Imię: