WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA

W WARSZAWIE

ELEKTROTECHNIKA

MATERIAŁY POMOCNICZE

DO ĆWICZEŃ

WARSZAWA 2003

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

JEDNOSTKI MIAR UKŁADU SI DLA WYBRANYCH WIELKOŚCI

ELEKTRYCZNYCH

Jednostka miary

Wielkość

nazwa oznaczenie

Definicje lub relacje między

jednostkami

Zależność

jednostki miary

od jednostek

podstawowych.

Długość metr m

Metr jest długością równą
1650763,73 długości fali w próżni
promieniowania odpowiadającego
przejściu pomiędzy poziomami 2p

10

a 5d

5

, atomu kryptonu 86.

m

Masa kilogram

kg

Kilogram jest masą
międzynarodowego wzorca tej
jednostki przechowywanego w
Międzynarodowym Biurze Miar w
Sevres.

kg

Czas sekunda

s

Sekunda jest !:31556925,9747
częścią roku zwrotnikowego 1900
stycznia 0 godz. czasu efemeryd.

s

Prąd amper

A

Amper jest natężeniem prądu
elektrycznego nie zmieniającego
się, który - płynąc w dwóch
równoległych prostoliniowych,
nieskończenie długich przewodach,
o przekroju okrągłym znikomo
małym, umieszczonych w próżni w
odległości 1m jeden od drugiego –
wywołałby między tymi przewodami
siłę 2 10

-7

N na każdy metr

długości.

A

Prędkość
liniowa

metr na

sekundę

m/s

1 m/s = 1m : 1s

1 m s

-1

Prędkość
kątowa

radian na

sekundę

rad/s

1 rad/s = 1 rad : 1s

1 s

-1

rad

Siła

niuton

N

1N = 1 kg 1 m/s

2

1 m kg s

-1

Praca,
energia

dżul

J

1 J = 1 N 1m

1 m

2

kg s

-2

Moc

wat

W

1 W = 1J :1s

1 m

2

kg s

-3

Ładunek
elektryczny

kulomb

C

1 C = 1 A !s

1 s A

Napięcie

wolt

V

1V = 1W : 1A

1m

2

kg s

-3

A

-1

Pojemność

farad

F

1F = 1C : 1V

1m

-2

kg

-1

s

4

A

2

Rezystancja

om

Ω

1Ω = 1V :1A

1m

2

kg s

-3

A

-2

Strumień
magnetyczny

weber

Wb

1WB = 1V 1s

1m

2

kg s

-2

A

-1

Indukcja
magnetyczna

tesla

T

1T = 1Wb : 1m

2

1kg s

-2

A

-1

Natężenie
pola magn.

amper na

metr

A/m

1A/m = 1A:1m

1m

-1

A

Indukcyjność

henr

H

1H = 1Wb : 1A

1m

2

kg s

-2

A

-2

Częstotliwość

herc

Hz

1Hz = 1 : 1s

1s

-1

2

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

PRZEDROSTKI I ODPOWIADAJĄCE IM MNOŻNIKI

mnożnik przedrostek

znak

mnożnik przedrostek znak

10

12

tera T 10

-1

decy d

10

9

giga G 10

-2

centy c

10

6

mega M 10

-3

mili m

10

3

kilo K 10

-6

mikro

μ

10

2

hekto H 10

-9

nano n

10

1

deka da 10

-12

piko p

10

-15

femto f

1 - -

10

-18

atto a

REZYSTYWNOŚC, KONDUKTYWNOŚĆ I WSPÓŁCZYNNIK TEMPERATUROWY

Rezystywność

Konduktywność Współczynnik

temperaturowy

ρ

γ

20

α

Nazwa

przewodnika

m

⋅

Ω

m

mm

2

⋅

Ω

2

mm

m

S

⋅

20

α

Srebro

8

10

62

,

1

−

⋅

0162

,

0

8

,

61

004

,

0

Aluminium

8

10

87

,

2

−

⋅

0287

,

0

8

,

34

004

,

0

Miedź

8

10

75

,

1

−

⋅

0175

,

0

0

,

57

00393

,

0

Żelazo

8

10

6

,

9

−

⋅

096

,

0

4

,

10

0059

,

0

Konstantan

55%Cu 45%Ni

7

10

8

,

4

−

⋅

48

,

0

08

,

2

5

10

2

−

⋅

Ferronikiel

75%Fe, 25%Ni

7

10

3

,

8

−

⋅

83

,

0

21

,

1

001

,

0

3

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

REZYSTYWNOŚĆ, PRZENIKALNOŚĆ I WYTRZYMAŁOŚĆ ELEKTRYCZNA

DIELEKTRYKÓW

Nazwa dielektryka

Rezystywność

ρ

Ωm

Przenikalność

elektryczna

względna

r

ε

Wytrzymałość

elektryczna

E

max

kV/cm

Bursztyn

20

18

10

10

÷

2,8 200

Ebonit

12

10

10

10

÷

2,5 ÷ 5,0

200 ÷ 250

Olej

15

14

10

10

÷

2,1 ÷ 2,3

200 ÷ 250

Papier nasycony

olejem

15

10

3,5 ÷ 4,5

700 ÷ 800

Porcelana

12

11

10

10

÷

5,0 ÷ 6,5

200 ÷ 300

powietrze - 1,000594 30

Przenikalność elektryczna próżni

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

=

−

m

F

10

854

,

8

12

o

ε

Przenikalność magnetyczna próżni

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

⋅

=

−

m

H

10

4

7

o

π

μ

ZNAKI WIELOŚCI FIZYCZNYCH

N a z w a

Z n a k

Czas

t

Częstotliwość

f

Elastancja

S

Energia

W

Gęstość prądu

J,j

Indukcja elektryczna

D

Indukcja magnetyczna

B

Indukcyjność własna

L

Indukcyjność wzajemna

M

Liczba zwojów

z

Ładunek elektryczny

Q,q

Moc

P

Natężenie pola elektrycznego

E

Natężenie pola magnetycznego

H

Natężenie prądu

I,i

Napięcie

U,u

Rezystancja

R

Konduktancja

G

Reluktancja

Rμ

Rezystywność – opór właściwy

ρ

4

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Konduktywność – przewodność właściwa

γ

Impedancja

Z

Reaktancja

X

Admitancja

Y

Susceptancja

B

Pojemność

C

Pole przekroju

s

Potencjał

V

Permeancja

Λ

Pulsacja

ω

Prędkość

v

Przenikalność elektryczna

ε

Przenikalność magnetyczna

μ

Przepływ

θ

Siła

F

Strumień elektryczny

Ψ

Strumień magnetyczny

Φ

Sprawność

η

Temperatura

T,

ϑ

PRAWA I ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE

Siła F działająca na ładunek q

E

q

F

⋅

=

Prawo Coulomba

2

2

1

r

4

q

q

F

⋅

ε

⋅

π

⋅

=

gdzie r – odległość między ładunkami, ε – przenikalność środowiska
Natężenie pola elektrycznego

q

F

E

=

.

Praca w polu elektrycznym

(

)

.

V

V

q

dl

E

q

A

B

A

B

A

−

−

=

⋅

=

∫

Potencjał pola elektrycznego w punkcie A

∫

∫

∞

∞

⋅

−

=

⋅

=

A

A

A

.

dl

E

dl

E

V

5

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zależność między natężeniem a potencjałem pola elektrycznego

.

dl

dV

E

−

=

Twierdzenie Gaussa

q

ds

D

=

⋅

=

Ψ

∫

gdzie D =(ε

o

E+P)– indukcja pola elektrycznego.

Pojemność elektryczna

U

Q

C

=

,

Elastancja

C

1

S

=

.

Szeregowe połączenie kondensatorów

n

2

1

z

C

1

C

1

C

1

C

1

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

;

n

2

1

z

S

S

S

S

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

.

Równoległe połączenie kondensatorów

n

2

1

z

C

C

C

C

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

n

2

1

z

S

1

S

1

S

1

S

1

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

Energia pola elektrycznego

2

e

CU

2

1

W

=

;

Natężenie prądu

dt

dq

i

=

dla prądu stałego

t

Q

I

=

Prawo Ohma

,

U

G

R

U

I

⋅

=

=

Rezystancja

s

l

R

⋅

ρ

=

ρ – rezystywność lub oporność właściwa, l – długość przewodu, s – przekrój
poprzeczny przewodu

6

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Konduktancja

l

s

l

s

1

R

1

G

γ

=

ρ

=

=

,

γ – konduktywność lub przewodność właściwa.


Zależność rezystancji od temperatury

(

)

(

)

[

]

,

20

t

20

t

1

R

R

2

o

20

o

20

20

t

−

β

+

−

α

+

=

α

20

,β

20

– współczynniki temperaturowe rezystancji odniesione do temperatury 20

o

C.

Prawo Joule’a

.

GU

I

R

I

U

P

2

2

=

⋅

=

⋅

=

Ilość ciepła otrzymana z zamiany energii elektrycznej na energię cieplną

.t

I

R

24

,

0

t

I

R

239

,

0

W

2

2

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie
prądów wypływających z węzła

∑

=

=

±

g

1

k

k

,

0

I

gdzie znak + - przy prądzie wpływającym do węzła, znak – przy prądzie
wypływającym z węzła


Drugie prawo Kirchhoffa: w dowolnym obwodzie zamkniętym suma algebraiczna
spadków napięć jest równa sumie napięć źródłowych

∑

=

=

±

n

1

k

k

.

0

U

Twierdzenie Thevenina: natężenie prądu w odbiorniku R wynosi

,

R

R

U

I

w

o

+

=

gdzie U

o

– napięcie zastępczego źródła napięcia równe napięciu stanu jałowego na

zaciskach a - b, R

w

– rezystancja wewnętrzna zastępczego źródła mierzona na

zaciskach a – b.

Twierdzenie Nortona: napięcie na zaciskach odbiornika G wynosi

G

G

I

U

w

źr

+

=

gdzie: I

źr

= U

o

/R

w

= I

z

, prąd źródłowy równy prądowi zwarcia na zaciskach a – b, G

w

=1/R

w

konduktancja wewnętrzna obwodu mierzona na zaciskach a – b.

7

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Prawo obwodu magnetycznego

μ

Θ

=

Φ

R

Przepływ prądu równy sile magnetomotorycznej

z

I

⋅

=

Θ

,

z – liczba zwojów

Reluktancja - opór magnetyczny

s

l

R

⋅

μ

=

μ

i – długość drogi, s – przekrój, μ – przenikalność magnetyczna drogi strumienia
magnetycznego

Permeancja – przewodność magnetyczna

μ

=

Λ

R

1

Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma strumieni magnetycznych w węźle jest równa zeru

∑

=

=

Φ

±

n

1

k

k

.

0

Drugie prawo Kirchhoffa: w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć
magnetycznych równa się sumie napięć źródłowych

∑

∑

=

=

μ

=

Φ

n

1

k

n

1

k

k

k

k

k

.

l

H

R

Siła przyciągania zwory przez elektromagnes

,

2

s

B

F

o

2

μ

=

gdzie B – indukcja magnetyczna, s – przekrój magnesu, μ

o

– przenikalność

magnetyczna próżni

Rezystancja i konduktancja statyczna

( )

,

I

f

I

U

R

s

=

=

( )

I

F

U

I

G

s

=

=

Rezystancja i konduktancja dynamiczna

,

dI

dU

I

U

R

lim

0

I

d

=

Δ

Δ

=

→

Δ

dU

dI

U

I

G

lim

0

U

d

=

Δ

Δ

=

→

Δ

8

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Rezonans w obwodzie szeregowym RLC
Pulsacja i częstotliwość rezonansowa

LC

1

o

=

ω

;

LC

2

1

f

o

π

=

Reaktancja wypadkowa w stanie rezonansu

0

C

i

L

X

X

X

o

o

C

L

=

ω

−

ω

=

−

=

Natężenie prądu przy ω = ω

o

R

U

C

i

L

j

R

U

I

o

o

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω

−

ω

+

=

osiąga wartość maksymalną.

Napięcie maksymalne na kondensatorze U

C

przy ω

1

2

d

2

2

o

1

−

ω

=

ω

;

Napięcie maksymalne na cewce U

L

przy ω

2

2

o

2

d

2

2

−

ω

=

ω

Tłumienie obwodu

ρ

=

=

R

C

L

R

d

Impedancja charakterystyczna

C

1

L

C

L

o

o

ω

=

ω

=

=

ρ

Dobroć obwodu.

Q

1 =

ρ

Rezonans w obwodzie równoległym RLC
Susceptancja wypadkowa w obwodzie w stanie rezonansu

.

0

L

1

C

B

B

B

o

O

L

C

=

ω

−

ω

=

−

=

9

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Prąd w obwodzie równoległym RLC w przypadku rezonansu

G

U

L

1

C

j

G

U

Y

U

I

o

o

⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω

−

ω

+

=

⋅

=

osiąga wartość minimalną.

Impedancja i admitancja zespolona

;

I

U

Z

=

;

U

I

Y

=

;

1

Y

Z

=

;

Z

1

Y

=

;

e

Z

Z

j

ϕ

⋅

=

;

e

Y

e

Z

1

Y

j

j

ϕ

−

ϕ

−

⋅

=

=

i

u

ψ

−

ψ

=

ϕ

;

sin

Y

cos

Y

e

Y

jB

G

Y

j

ϕ

−

ϕ

=

⋅

=

+

=

ϕ

−

;

cos

Z

1

cos

Y

G

ϕ

=

ϕ

=

;

sin

Z

1

sin

Y

B

ϕ

−

=

ϕ

−

=

( )

2

2

2

2

X

R

X

j

X

R

R

jX

R

1

Z

1

Y

+

−

+

+

=

+

=

=

;

;

Z

R

G

2

=

.

Z

X

B

2

−

=

Moc zespolona

;

jXI

RI

I

Z

I

I

Z

I

U

S

2

2

2

+

=

=

=

=

∗

∗

;

RI

P

2

=

2

XI

Q

=

;

;

jBU

GU

U

Y

U

U

Y

)

U

Y

(

U

I

U

S

2

2

2

−

=

=

=

=

=

∗

∗

∗

∗

∗

;

GU

P

2

=

;

BU

Q

2

−

=

Moduł mocy zespolonej czyli moc pozorna

2

2

YU

ZI

S

S

=

=

=

Współczynnik mocy

P

Q

arctg

=

ϕ

;

G

B

arctg

R

X

arctg

−

=

=

ϕ

.

10

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE

Wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego o module
równym amplitudzie tej wielkości, obracającego się na płaszczyźnie liczbowej ze
stałą prędkością kątową ω.

Wektor r na płaszczyźnie liczbowej

Im

Re – oś rzeczywista,

A

Im – oś urojona

jb

j.- jednostka urojona

r

Postacie liczby zespolonej

Re

α

0

• postać algebraiczna

a

jb

a

z

=

=

• postać trygonometryczna

(

)

α

α

sin

cos

j

r

z

+

=

• postać wykładnicza

α

α

α

∠

=

=

=

r

j

r

re

z

j

exp

gdzie

2

2

b

a

z

r

+

=

=

moduł liczby zespolonej z

(

a

b

arctg

/

=

)

α

argument liczby zespolonej z

exp jest stosowanym w matematyce zapisem funkcji wykładniczej,

α

∠

r

oznacza wektor o module r, który tworzy z dodatnią półosią Re kąt α.

Jeżeli

to

jest liczba zespoloną sprzężoną z liczbą z

jb

a

z

+

=

jb

a

z

−

=

∗

.

2

2

r

b

a

z

z

=

+

=

=

∗

Jeżeli

1

=

r

to liczba

jest liczbą zespoloną o module jednostkowym, zatem

α

j

e

11

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

α

α

α

sin

cos

j

e

j

+

=

.

1

sin

cos

2

2

=

+

=

α

α

α

j

e

Działania na liczbach zespolonych

dodawanie i odejmowanie

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

+

+

+

=

+

+

+

=

+

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

−

+

−

=

+

−

+

=

−

mnożenie

(

)(

) (

) (

)

bc

ad

j

bd

ac

jd

c

jb

a

z

z

+

+

−

=

+

+

=

2

1

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

α

α

α

α

+

⋅

=

=

⋅

j

j

j

e

r

r

e

r

e

r

z

z

(

)

β

α

β

+

=

⋅

j

j

re

e

z

2

r

re

re

z

z

j

j

=

=

⋅

−

∗

α

α

∗

⋅

=

z

z

r

,

2

⋅

+

=

z

z

a

,

j

z

z

b

2

∗

−

=

dzielenie

(

)(

) (

) (

)

2

2

2

2

2

1

d

c

ad

bc

j

bd

ac

d

c

jd

c

jb

a

jd

c

jb

a

z

z

+

−

+

+

=

+

−

+

=

+

+

=

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

exp

exp

exp

α

α

α

α

α

α

−

=

−

=

=

j

e

r

r

j

r

r

j

r

j

r

z

z

(

)

β

α

β

α

β

−

∠

=

=

−

r

re

e

z

j

j

α

j

e

r

z

−

=

1

1

( )

α

α

jn

n

n

j

n

e

r

re

z

=

=

potęgi liczby urojonej

1

−

=

j

przy

⋅⋅

⋅

±

±

=

2

,

1

,

o

k

j

j

j

j

j

j

j

j

k

k

k

1

1

3

3

4

2

2

4

1

4

=

−

=

=

−

=

=

=

+

+

+

2

α

α

j

j

e

r

re

z

=

=

,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

π

α

2

j

e

r

z

12

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Działania na funkcjach zespolonych

mnożenie funkcji

( )

(

)

i

t

j

m

m

e

I

t

I

ψ

ω

+

=

przez liczbę zespoloną

ϕ

j

Ze

Z

=

( )

( )

(

)

(

)

ϕ

ψ

ω

ψ

ω

ϕ

+

+

+

=

=

=

i

i

t

j

m

t

j

m

j

m

m

e

ZI

e

I

Ze

t

I

Z

t

U

dzielenie funkcji

( )

t

U

m

przez liczbę zespoloną

ϕ

j

Ze

Z

=

( )

(

)

(

)

ϕ

ψ

ω

ϕ

ψ

ω

−

+

+

=

=

u

u

t

j

m

j

t

j

m

e

Z

U

e

Z

e

U

t

I

iloczyn funkcji zespolonych o jednakowych pulsacjach

( ) ( )

∗

−

∗

∗

=

=

m

m

t

j

t

j

m

m

m

m

I

U

e

e

I

U

t

I

t

U

ω

ω

iloraz funkcji zespolonych

( )

( )

I

U

I

U

e

I

e

U

t

I

t

U

m

m

t

j

m

t

j

m

m

m

=

=

=

ω

ω

pochodna funkcji zespolonej względem zmiennej t

( )

(

)

( )

t

I

j

e

I

j

e

I

dt

d

t

I

dt

d

m

t

j

m

t

j

m

m

ω

ω

ω

ω

=

=

=

całka funkcji zespolonej względem zmiennej t

( )

( )

.

1

1

t

I

j

e

I

j

dt

e

I

dt

t

I

m

t

j

m

t

j

m

m

ω

ω

ω

ω

=

=

=

∫

∫

13

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 1
Na wykonanie cewki zużyto 100 [m] przewodu miedzianego. Na jakie napięcie

można włączyć cewkę, jeżeli dopuszczalna gęstość prądu

2

3

mm

A

I

=

?.

Rezystywność miedzi

w stanie nagrzania.

m

Ω

⋅

=

−8

10

1

,

2

ρ

Rozwiązanie

Rezystancja :

;

s

l

R

⋅

ρ

=

R

U

I

=

gęstość prądu

s

I

j

=

zatem:

V

3

,

6

100

021

,

0

3

l

j

U

=

⋅

⋅

=

⋅

ρ

⋅

=

Odp.: U=6,3V


Zadanie 2
Wyznaczyć rezystywność konstantanu w

m

Ω

mając daną rezystywność

m

mm

2

5

,

0

Ω

=

ρ

.

Rozwiązanie:

m

10

5

m

10

50

,

0

m

)

m

10

(

m

mm

7

6

2

3

2

Ω

⋅

=

Ω

⋅

=

⋅

Ω

=

⋅

Ω

ρ

−

−

−

Odp.:

ρ

m

10

5

7

Ω

⋅

=

−

Zadanie 3
Rezystancja uzwojenia miedzianego zmierzona w temperaturze 18

o

C wynosiła 4,5Ω

a w stanie nagrzanym 5,3 Ω. Do jakiej temperatury nagrzało się uzwojenie ?

Rozwiązanie:

,

1

1

R

R

o

1

o

1

2

2

α

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ϑ

+

α

=

ϑ

współczynnik temperaturowy miedzi

C

1

5

,

234

1

o

o

=

α

,

zatem

(

)

C

9

,

62

5

,

234

18

5

,

234

5

,

4

3

,

5

o

2

=

−

+

=

ϑ

.

Odp. Uzwojenie nagrzało się do temperatury 62,9

o

C.

Zadanie 4
Rezystancja uzwojenia miedzianego zmierzona w temperaturze 20

o

C wynosiła 1,32

Ω. Jaka będzie rezystancja tego uzwojenia po nagrzaniu go do temperatury 90

o

C ?

Rozwiązanie:

Ω

=

+

+

=

ϑ

+

ϑ

+

=

68

,

1

20

5

,

234

90

5

,

234

32

,

1

5

,

234

5

,

234

R

R

1

2

1

2

.

Odp. R

2

= 1,68 Ω.

14

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 5
W jakim czasie woda o temperaturze 15

o

C nagrzeje się do temperatury 85

o

C w

bojlerze o pojemności 80 l, jeżeli moc grzejnika wynosi 1,5 kW, a sprawność bojlera
0,89. Jaki jest koszt zagrzania wody przy taryfie 0,40 zł/kWh ?

Rozwiązanie:

Do ogrzania wody potrzeba ciepła

(

)

η

ϑ

−

ϑ

⋅

=

1

2

c

m

Q

, gdzie c

C

kg

/

kcal

1

o

≈

zatem

(

)

kcal

6292

89

,

0

15

85

1

80

Q

=

−

⋅

⋅

=

Równoważnik cieplny energii elektrycznej wynosi 0,2389 cal/J 3,6 10

6

J/kWh = 860

kcal/kWh
Cena jednostkowa energii elektrycznej 0,40 zł/kWh.

t

P

860

Q

⋅

⋅

=

czas grzania wody

88

,

4

5

,

1

860

6292

P

860

Q

t

=

⋅

=

⋅

=

h

zużyta energia

32

,

7

88

,

4

5

,

1

t

P

A

=

⋅

=

⋅

=

kWh, należność za energię 3,0 zł.

Zadanie 6
Silnik o mocy P

n

= 3 kW na napięcie U = 400 V o sprawności η = 0,85. Obliczyć prąd

I pobierany przez silnik z sieci przy obciążeniu znamionowym oraz należność za
energię elektryczną w ciągu miesiąca przy 185 godzinach pracy i cenie jednostkowej
0,40 zł/kWh.

Rozwiązanie

Moc pobierana z sieci

53

,

3

85

,

0

3

P

P

n

S

=

=

η

=

kW,

prąd pobierany z sieci

82

,

8

400

10

53

,

3

U

P

I

3

s

=

⋅

=

=

A,

energia elektryczna zużyta w ciągu miesiąca

653

185

53

,

3

t

P

A

=

⋅

=

⋅

=

kWh,

należność za energię elektryczną 261,2 zł.
Odp. I = 8,82 A należność za energię 261,2 zł.



Zadanie 7

W szereg z odbiornikiem o nieznanej rezystancji włączono do
sieci opornik o rezystancji

. Napięcie sieci

Ω

40

V

U

220

=

i

prąd w obwodzie

A

I

2

=

. Jaka jest rezystancja odbiornika

,

moc

o

R

P pobierana przez odbiornik i moc tracona w oporniku?

Rozwiązanie:

,

R

I

U

R

I

o

⋅

−

=

⋅

Odb. R

o

R=40

Ω

I=2A

U=220V

15

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

rezystancja odbiornika

,

80

2

40

2

220

I

R

I

U

R

o

Ω

=

⋅

−

=

⋅

−

=

moc pobierana przez odbiornik

W

280

2

70

I

R

P

2

2

o

=

⋅

=

⋅

=

V

140

70

2

R

I

U

o

odb

=

⋅

=

⋅

=

moc tracona w oporniku

.

W

160

40

2

R

I

P

2

2

=

⋅

=

=

Odp.: R

o

=70

Ω, P=280W, P

d

=160W

Zadanie 8
Do źródła o parametrach E ,

przyłączono raz opornik o rezystancji

w

R

R ,

drugi raz opornik
o rezystancji R

2 . Stwierdzono w obu

przypadkach ten sam pobór mocy . Jaki

jest stosunek

=

R

R

w

?

R

E, Rw

P

2R

E, Rw

P

Rozwiązanie:

moc pobierana przez odbiornik

2
2

2

1

RI

2

RI

P

=

=

,

w

2

w

1

R

R

2

E

I

,

R

R

E

I

+

=

+

=

po

podstawieniu

.

2

2
w

R

2

R

=

2

R

R

w

=

Odp.:

Zadanie 9

Napięcie baterii jest stałe i wynosi 24 V,
a oporność wewnętrzna jest stała i
wynosi 0,25Ω. Obliczyć napięcie na
zaciskach baterii, gdy: jest ona
ładowana prądem 10 A, oraz gdy jest
wyładowywana prądem 20 A.
Rozwiązanie

V

19

25

,

0

20

24

IR

E

U

V

5

,

26

25

,

0

10

24

IR

E

U

w

wy

w

ad

=

⋅

−

=

−

=

=

⋅

+

=

+

=

Odp.: U

ład

=26,5V, U

wył

=19V

R

w

=0,25

Ω

E=24V

I=10A

U

R

w

E=24V

I=20A

U

16

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 10
Odbiornik załączony do źródła napięcia E = 220 V,
R

w

= 0,3Ω pobiera moc P = 9,0 kW. Obliczyć

napięcie na odbiorniku.

Odb. P

E, Rw

U

Rozwiązanie:

I

U

P

⋅

=

po podstawieniu otrzymujemy równanie

w

R

I

E

U

⋅

−

=

,

0

PR

EU

U

w

2

=

+

−

2

9

,

193

220

2

PR

4

E

E

U

,

PR

4

E

w

2

2

,

1

w

2

m

m

=

−

=

−

=

Δ

Odp.

V

207

U

=

Zadanie 11

Narysować wykres potencjałów
dla obwodu przedstawionego na
rysunku.

R

6

=10[

Ω]

a

R

5

=10

Ω

R

4

=5

Ω

R

3

=15

Ω

R

2

=20

Ω

R

1

=10

Ω

E

3

=30V

E

1

=60V

E

2

40V

0

e

b

c

d

z

Rozwiązanie

Przyjmujemy potencjał jednego
punktu obwodu jako potencja
odniesienia, któremu
przyporządkowuje się zwykle
wartość V = 0 i względem niego
oblicza się potencjały w
dowolnych punktach obwodu.

V

0

a

d

b

e

E

2

c

R

R

6

R

R

2

R

1

R

R

E

1

3

4

5

17

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 12

W obwodzie pokazanym na rysunku
obliczyć napięcie

U

, jeżeli moc

pobierana przez opornik

wynosi

.

o

R

kW

P

2

,

0

=

Rozwiązanie:

Prąd płynący przez oporniki R

o

i R

2

o

1

R

P

I

=

,

Spadek napięcia na opornikach R

o

i R

2

)

R

R

(

I

U

1

0

1

1

+

=

Prąd płynący przez opornikR

3

3

1

2

R

U

I

=

Spadek napięcia na oporniku R

1

1

2

1

2

R

)

I

I

(

U

⋅

+

=

Napiecie U na zaciskach obwodu

V

260

U

U

U

2

1

=

+

=

Odp.: U=260V

R

2

=10

Ω

R

1

=10

Ω

R

o

=50

Ω

R

3

=10

Ω

P=100W

U

Zadanie 13
Obliczyć rezystancje zastępcze układów oporników pokazanych na rysunku o
następujących danych liczbowych:

Ω

= 100

1

R

,

Ω

= 200

2

R

,

Ω

= 300

3

R

,

.

Ω

= 400

4

R

R

1

R

2

R

3

R

4

a)

R

1

R

2

R

3

R

4

b)

R

1

R

2

R

3

R

4

c)

Rozwiązanie

Ω

=

+

+

+

=

5

,

54

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

1

3

3

2

2

1

3

2

1

a

Ω

=

+

=

+

+

=

3

,

191

R

R

R

R

R

,

R

R

R

R

R

R

4

1

b

4

1

b

b

3

2

1

2

1

1

b

Ω

=

+

+

+

+

+

=

210

R

R

R

R

)

R

R

)(

R

R

(

R

4

3

2

!

4

3

2

1

c

18

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Odp.: R

a

=54,5

Ω, R

b

=191,3

Ω, R

c

=210

Ω

Zadanie 14
Jaki opornik należy połączyć równolegle z opornikiem o rezystancji R

1

= 30Ω , aby

otrzymać rezystancje zastępczą R

z

= 21Ω ?

Rozwiązanie

x

1

x

1

z

R

R

R

R

R

+

⋅

=

;

⇒

Ω

=

−

⋅

=

−

⋅

=

70

21

30

30

21

R

R

R

R

R

z

1

1

z

.

Odp.: R=70

Ω

Zadanie 15
W obwodzie pokazanym na
rysunku podano tylko
oporności odbiorników z
pominięciem oporności
przewodów łączących.
Obliczyć prądy pobierane
przez poszczególne
oporności oraz prądy w
przewodach

B

A

− ,

,

D

C

−

E

D

− ,

F

E

− i

.

H

G

−

R

4

=40

Ω

R

3

=60

Ω

R

2

=15

Ω

R

1

=10

Ω

E=120V

H

A

B

G

D

F

C

E

Rozwiązanie

,

24

R

R

R

R

R

,

6

R

R

R

R

R

4

3

4

3

4

,

3

2

1

2

1

2

,

1

Ω

=

+

⋅

=

Ω

=

+

⋅

=

,

A

4

R

R

E

I

4

,

3

2

,

1

=

+

=

V

24

6

4

R

I

U

U

2

,

1

E

B

C

A

=

⋅

=

=

⋅

=

=

−

−

A

4

,

2

10

24

R

U

I

1

C

A

1

=

=

=

−

,

A

6

,

1

15

24

R

U

I

2

C

B

2

=

=

=

−

A

B

E

R

1

R

2

R

3

R

4

I

1

I

2

I

3

I

4

C

D

E

F

G

H

I

19

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

,

V

96

24

4

R

I

U

U

4

,

3

H

F

G

D

=

⋅

=

⋅

=

=

−

−

,

A

6

,

1

60

96

R

U

I

3

G

D

3

=

=

=

−

,

A

4

,

2

40

96

R

U

I

4

H

F

4

=

=

=

−

,

A

4

,

2

I

I

D

C

1

=

=

−

,

A

6

,

1

I

I

B

A

2

=

=

−

,

A

8

,

0

I

I

I

3

1

E

D

=

−

=

−

.

A

4

,

2

I

I

I

F

E

H

G

4

=

=

=

−

−

Odp.: I

1

=I

CD

=2,4A, I

2

=I

AB

=1,6A, I

3

=1,6A, I

4

=2,4=I

GH

=I

EF

Zadanie 16
Stosując metodę prądów oczkowych należy obliczyć prądy w obwodzie pokazanym
na rysunku.

Rozwiązanie:
Obwód składa się z trzech gałęzi
i dwóch węzłów , zatem liczba
równań wynosi 3 – 2 + 1 = 2, co
jest zgodne z liczbą oczek
niezależnych. Zadanie
sprowadza się do rozwiązania
dwóch równań napisanych
zgodnie z drugim prawem
Kirchhoffa

E

1

=

10

V

R

2

=3

Ω

R

3

=2

Ω

R

1

=4

Ω

E

2

=

12

V

1

12

11

E

I

R

I

R

II

I

=

⋅

−

⋅

2

II

22

I

12

E

I

R

I

R

−

=

⋅

+

⋅

−

2

R

R

R

,

5

2

3

R

R

R

,

6

2

4

R

R

R

3

21

12

3

2

22

3

1

11

=

−

=

=

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

12

I

5

I

2

10

I

2

I

6

II

I

II

I

−

=

+

−

=

−

prądy oczkowe:

]

A

[

2

I

]

A

[

1

I

II

I

−

=

=

prądy gałęziowe:

]

A

[

3

)

2

(

1

I

I

I

],

A

[

2

I

I

],

A

[

1

I

I

II

I

3

II

2

I

1

=

−

−

=

−

=

−

=

=

=

=

20

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 17
Wyznaczyć prądy w
obwodzie pokazanym
na rysunku, stosując
metodę prądów
oczkowych

Rozwiązanie

4Ω

4Ω

8V

8Ω

6V

4Ω

3Ω

8Ω

2A

Przekształcamy obwód
korzystając z zamiany
źródła prądu na źródło
napięcia. Zaznaczamy
prądy oczkowe

R

1

= 4Ω

R =4Ω

2

Obliczamy rezystancje własne i wzajemne oczek:

8

4

4

R

R

R

3

1

11

=

+

=

+

=

0

R

R

21

12

=

=

15

8

3

4

R

R

R

R

5

4

2

22

=

+

+

=

+

+

=

4

R

R

R

3

31

13

−

=

−

=

=

15

8

3

4

R

R

R

R

6

4

3

33

+

+

+

=

+

+

=

3

R

R

R

4

32

23

−

=

−

=

=

Obliczamy prądy oczkowe

6

I

4

I

8

III

I

=

⋅

−

⋅

175

,

1

I

I

=

24

I

3

I

15

III

II

−

=

⋅

−

⋅

431

,

1

I

II

−

=

16

24

I

15

I

4

III

I

−

=

⋅

+

⋅

−

846

,

0

I

III

=

Obliczamy prądy gałęziowe:

(

)

].

A

[

277

,

2

431

,

1

846

,

0

I

I

I

],

A

[

329

,

0

846

,

0

175

,

1

I

I

I

],

A

[

846

,

0

I

I

],

A

[

431

,

1

I

I

],

A

[

175

,

1

I

I

II

III

5

III

I

4

III

3

II

2

I

1

=

−

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

=

−

=

=

=

=

R

5

=8Ω

E

2

=8V

R

3

=4Ω

R

6

=8Ω

R

4

=3Ω

I

I

I

II

I

III

21

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 18
Stosując metodę prądów oczkowych znaleźć prąd w gałęzi przekątnej mostka.












Rozwiązanie
Wybieramy oczka niezależne i oznaczamy prądy oczkowe













Rezystancje własne i wzajemne oczek

6

3

2

33

2

31

13

3

32

23

5

4

3

22

5

21

12

5

2

1

11

R

R

R

R

,

R

R

R

,

R

R

R

,

R

R

R

R

,

R

R

R

,

R

R

R

R

+

+

=

−

=

=

−

=

=

+

+

=

−

=

=

+

+

=

Równania

E

I

R

I

R

I

R

0

I

R

I

R

I

R

0

I

R

I

R

I

R

III

33

II

32

I

31

III

23

II

22

I

21

III

13

II

12

I

11

−

=

+

−

−

=

−

+

−

=

−

−

+

W wyniku rozwiązania układu równań otrzymujemy:

R

2

R

1

R

4

R

3

E

R

6

R

5

R

2

R

5

R

2

R

1

R

4

R

3

E

R

6

R

5

I

III

R

2

R

5

I

I

I

II

22

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

,

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

C

4

3

2

1

6

4

1

3

2

3

2

4

1

4

3

2

1

6

3

2

4

1

5

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

(

)

[

]

5

4

3

2

5

3

I

R

R

R

R

R

R

C

E

I

+

+

+

−

=

(

)

[

]

5

2

1

3

5

2

II

R

R

R

R

R

R

C

E

I

+

+

+

−

=

.

Prąd w gałęzi przekątnej mostka

(

3

1

4

2

I

II

5

R

R

R

R

C

E

I

I

I

−

=

−

=

)

. Z wyrażenia wynika, że prąd w gałęzi przekątnej

mostka jest równy zeru, gdy spełniony jest warunek

4

2

3

1

R

R

R

R

=

jest to warunek

równowagi mostka!



Zadanie 19
Stosując metodę superpozycji obliczyć prądy w obwodzie pokazanym na rysunku.

E

1

=

10

V

R

2

=3

Ω

R

3

=2

Ω

R

1

=4

Ω

E

2

=

12

V

Obwód składa się z elementów liniowych,
zatem prąd w dowolnej gałęzi jest sumą
prądów przepływających przez gałąź pod
wpływem działania kolejno źródeł
napięcia.


Rozwiązanie
obwód zasila źródło o SEM E

1

= 10V

]

A

[

92

,

1

3

2

3

2

4

10

R

R

R

R

R

E

I

3

2

3

2

1

1

'

1

=

+

⋅

+

=

+

+

=

]

A

[

77

,

0

3

4

92

,

1

10

R

R

I

E

I

2

1

'

1

1

'
2

=

⋅

−

=

−

=

]

A

[

15

,

1

2

4

92

,

1

10

R

R

I

E

I

3

1

'

1

1

'
2

=

⋅

−

=

−

=

E

1

=

10

V

R

2

=3

Ω

R

3

=2

Ω

R

1

=4

Ω

obwód zasila źródło o SEM E

2

= 12V

]

A

[

77

,

2

2

4

2

4

3

12

R

R

R

R

R

E

I

3

1

3

1

2

2

"

2

=

+

⋅

+

=

+

+

=

]

A

[

92

,

0

4

3

77

,

2

12

R

R

I

E

I

1

2

"

2

2

"

1

=

⋅

−

=

−

=

R

2

=3

Ω

R

3

=2

Ω

R

1

=4

Ω

E

2

=

12

V

23

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

]

A

[

85

,

1

2

3

77

,

2

12

R

R

I

E

I

3

2

"

2

2

"
3

=

⋅

−

=

−

=

prądy płynące w gałęziach:

]

A

[

1

)

92

,

0

(

92

,

1

I

I

I

"

1

'

1

1

=

−

+

=

+

=

,

]

A

[

2

)

77

,

2

(

77

,

0

I

I

I

"

2

'
2

2

−

=

−

+

=

+

=

,

]

A

[

853

,

1

15

,

1

I

I

I

"
3

'
3

3

+

=

+

=

.

Zadanie 20

W obwodzie przedstawionym na
rysunku obliczyć prądy płynące
w gałęziach, korzystając z zamiany
źródeł prądu na źródła napięcia.

R

3

=10

Ω

R

2

=15

Ω

R

1

=5

Ω

I

źr

=10

A

I

źr

=5

A

Rozwiązanie
Zamieniamy źródła prądu na źródła
napięcia:

,

V

75

15

5

R

I

E

,

V

50

5

10

R

I

E

2

2

źr

2

1

1

źr

1

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

Prąd płynący przez odbiorniki

.

A

83

,

0

30

25

R

R

R

E

E

I

3

2

1

2

1

=

=

+

+

−

=

Odp.: I=0,83A

Zadanie 21

Pokazany na rysunku dwójnik źródłowy
obciążono na zaciskach a – b opornikiem R

1

=

10Ω i zmierzono prąd I

1

=2A, a przy obciążeniu

opornikiem R

2

= 25 Ω prąd I

2

= 1A. Wyznaczyć

parametry zastępczego źródła napięcia U

o

i R

w

.

Rozwiązanie:

R=

10

Ω

a

b

A

dwójnik

źródłowy

I

E

1

E

2

R

R

2

1

R

3

24

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

)

R

R

(

I

U

1

w

1

o

+

=

lub

)

R

R

(

I

U

2

w

2

o

+

=

Po przekształceniu

Ω

=

−

−

=

−

=

−

5

I

I

R

I

R

I

R

R

I

R

I

)

I

I

(

R

2

1

1

1

2

2

w

1

1

2

2

2

1

w

V

30

)

10

5

(

2

)

R

R

(

I

U

1

w

1

o

=

+

=

+

=

Odp.: R

w

= 5Ω, U

o

= 30V

Zadanie 22
Do zacisków

dwójnika źródłowego

przyłączono idealne źródło o napięciu E = 10V i
zmieniono prąd I

b

a

−

1

= 0,5A, a po zmniejszeniu

napięcia źródłowego ΔE = 2V prąd zwiększył się
do I

2

= 0,6A. Wyznaczyć napięcia na zaciskach a

– b dwójnika źródłowego U

o

w stanie jałowym i

U

3

przy obciążeniu prądem I

3

= 0,8A.

Rozwiązanie:

2

o

1

o

w

w

o

2

w

o

1

I

)

E

E

(

U

I

E

U

R

,

R

)

E

E

(

U

I

,

R

E

U

I

Δ

−

−

=

−

=

Δ

−

−

=

−

=

Po przekształceniu

.

20

5

,

0

10

20

R

,

V

20

1

,

0

5

,

0

8

6

,

0

10

I

I

I

)

E

E

(

EI

U

w

2

1

1

2

o

Ω

−

=

=

⋅

−

⋅

=

−

Δ

−

−

=

Napięcie przy obciążeniu prądem I

3

= 0,8A

V

4

20

8

,

0

20

R

I

U

U

w

3

o

3

=

⋅

−

=

⋅

−

=

Odp. U

o

= 20V, U

3

= 4V.

E=10V

a

b

A

dwójnik

źródłowy

25

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Zadanie 23
Obwód pokazany na rysunku ma dwa zaciski a i
b. Obliczyć siłę elektromotoryczną oraz oporność
wewnętrzną źródła zastępczego, które po
przyłączeniu do zacisków spowoduje powstanie
w odbiorniku prądu o tej samej wartości, co przy
zasilaniu odbiornika w układzie wyjściowym.
Obliczyć prąd pobierany przez odbiornik

o

oporności

przyłączony między zaciski a - b.

o

R

Ω

16

R

2

=20

Ω

E=100V

R

1

=5

Ω

a

b

Obliczyć największą moc, jaką może pobrać odbiornik przyłączony do zacisków a - b
w układzie przedstawionym na rysunku.

Rozwiązanie:

Ad a) parametry zastępczego źródła:

,

V

80

20

20

5

100

R

R

R

E

U

2

2

1

ab

=

⋅

+

=

⋅

+

=

rezystancja

,

4

20

5

20

5

R

R

R

R

R

2

1

2

1

w

Ω

=

+

⋅

=

+

=

⋅

ad b) prąd pobierany przez opornik R

o

,

A

4

16

4

80

R

R

U

I

w

o

ab

=

+

=

+

=

ad c) korzystamy z warunku dopasowania źródła do odbiornika:

, zatem

odb

w

R

R

=

A

10

4

2

80

R

2

U

I

w

ab

=

⋅

=

⋅

=

moc max pobierana przez odbiornik

.

W

400

10

4

I

R

P

2

2

w

max

=

⋅

=

⋅

=

Odp.: a) U

ab

=80V, R

w

=4

Ω; b) I=4A; c) P

max

=400W

Zadanie 24
Zastąpić w obwodzie źródło napięcia źródłem
prądu. Obliczyć prąd
w oporniku o oporności

przyłączonym

do zacisków i .

Ω

= 16

o

R

a

b

R

2

=20

Ω

E=100V

R

1

=5

Ω

a

Rozwiązanie:
Obliczamy parametry źródła prądu:

,

A

20

5

100

R

E

I

1

źr

=

=

=

S

25

,

0

20

1

5

1

R

1

R

1

G

2

1

z

=

+

=

+

=

b

prąd płynący przez opornik R

o

przyłączony do

zacisków a-b:

26

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

,

S

0625

,

0

16

1

R

1

G

o

o

=

=

=

.

A

4

0625

,

0

25

.

0

0625

,

0

20

G

G

I

G

I

z

o

źr

o

=

+

⋅

=

+

=

Odp.: I=4A



Zadanie 25
Charakterystyka prądowo – napięciowa elementu nieliniowego wyraża się
zależnością

b

I

a

U

⋅

=

. Jakie są wartości stałych a i b, jeżeli przy napięciu 100 V

prąd wynosi 0,75 A, a przy napięciu 200 V prąd wynosi 2,46 A ?

Rozwiązanie

b

exp

I

a

U

1

1

⋅

=

b

exp

I

a

U

2

2

⋅

=

b

exp

I

I

U

U

2

1

2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

po podstawieniu

b

exp

305

,

0

5

,

0

=

,

583

,

0

305

,

0

log

500

,

0

log

b

=

=

.

3

,

118

583

,

0

exp

75

,

0

100

b

exp

I

U

a

1

1

=

=

=

Odp. a = 118,3, b = 0,583.



Zadanie 26
Charakterystyka prądowo – napięciowa elementu nieliniowego wyraża się
zależnością

3

i

a

u

=

. Wyznaczyć rezystancję statyczną R

s

i rezystancję

dynamiczną R

d

w funkcji a) napięcia, b) prądu.

Rozwiązanie

Dla oporności statycznej w funkcji napięcia i prądu

,

i

a

u

a

a

u

u

i

u

R

3

2

2

3

3

3

s

=

=

=

=

Dla oporności dynamicznej w funkcji napięcia i prądu

27

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

( )

2

3

3

2

'

3

d

u

3

a

i

3

a

i

a

di

du

R

=

=

=

=

.

Zadanie 27

Obliczyć pojemność zastępczą i ładunek trzech kondensatorów o pojemnościach 4,6
i 8

μF połączonych równolegle, jeżeli do zacisków obwodu doprowadzono napięcie

200V.

U = 200V

C

1

C

2

C

3

Rozwiązanie

Pojemność zastępcza

]

F

[

18

8

6

4

C

C

C

C

3

2

1

z

μ

=

+

+

=

+

+

=

Ładunek zgromadzony na okładkach kondensatorów

,

C

10

8

,

0

200

4

U

C

Q

3

1

1

−

⋅

=

⋅

=

=

,

C

10

2

,

1

200

6

U

C

Q

3

2

2

−

⋅

=

⋅

=

=

,

C

10

6

,

1

200

8

U

C

Q

3

3

3

−

⋅

=

⋅

=

=

,

C

10

6

,

3

200

18

U

)

C

C

C

(

Q

3

3

2

1

−

⋅

=

⋅

=

+

+

=

Odp.: C

z

=18 μF, Q = 3,6*10

-3

C

Zadanie 28
Do zacisków obwodu złożonego z trzech połączonych szeregowo kondensatorów o
pojemnościach 4,6 i 8

μF doprowadzono napięcie stałe 200V. Obliczyć pojemność

zastępczą układu i napięcie na każdym kondensatorze.

C

1

C

2

C

3

U

1

U

2

U

3

U=200V

28

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Rozwiązanie

Pojemność zastępcza układu kondensatorów

;

F

85

,

1

C

,

F

1

542

,

0

8

1

6

1

4

1

C

1

C

1

C

1

C

1

z

3

2

1

z

μ

=

μ

=

+

+

=

+

+

=

ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora

U

C

U

C

U

C

U

C

Q

z

3

3

2

2

1

1

=

=

=

=

stąd:

V

4

,

92

200

0

,

4

85

,

1

U

C

C

U

1

z

1

=

=

=

,

analogicznie obliczamy U

2

i U

3

.

Odp.: C = 1,85

μF; U

1

≈ 92V; U

2

≈ 62V; U

3

≈ 46V

Zadanie 29
Trzy kondensatory o pojemnościach C

1

= 6

μF, C

2

= 8

μF, C

3

= 16

μF połączono jak na

rysunku i cały układ zasilono napięciem U = 380V. Obliczyć napięcia na
poszczególnych kondensatorach, energię pola elektrycznego poszczególnych
kondensatorów, pojemność zastępczą
i energię całego układu.

C

1

C

2

C

3

U

1

U

2

U

3

Rozwiązanie
Pojemność zastępcza kondensatorów C

1

i C

2

połączonych równolegle

F

14

8

6

C

C

C

2

1

12

μ

=

+

=

+

=

Pojemność zastępcza całego układu

F

47

,

7

16

14

16

14

C

C

C

C

C

3

2

,

1

3

2

,

1

3

,

1

μ

=

+

⋅

=

+

=

napięcia na okładkach kondensatorów

29

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

;

C

Q

C

Q

U

U

U

3

2

,

1

3

1

+

=

+

=

U

C

Q

3

,

1

=

V

8

,

202

14

380

47

,

7

C

U

C

C

Q

U

U

2

,

1

3

,

1

2

,

1

2

1

=

⋅

=

=

=

=

V

4

,

177

16

380

47

,

7

C

U

C

U

3

3

,

1

3

=

⋅

=

=

energia pola elektrycznego kondensatorów

,

J

12

,

0

8

,

202

10

6

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

1

1

1

=

⋅

⋅

=

=

−

,

J

17

,

0

8

,

202

10

8

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

1

2

2

=

⋅

⋅

=

=

−

,

J

25

,

0

4

,

177

10

16

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

3

3

3

=

⋅

⋅

=

=

−

,

J

54

,

0

380

10

47

,

7

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

3

3

,

1

z

=

⋅

⋅

=

=

−

Odp.: U

1

= U

2

= 203V; U

3

= 177V; W = 0,54J, W

1

= 0,12J, W

2

= 0,17J, W

3

= 0,25J

; C

z

= 7,47

μ

Zadanie 30
Obwód zawiera dwa kondensatory naładowane do napięć początkowych pokazanych
na rysunku. Obliczyć napięcie, które ustala się na zaciskach kondensatorów po
zamknięciu wyłącznika.

R=10 kΩ

200V

30pF

100pF

80V

Rozwiązanie

Po zastąpieniu kondensatorów naładowanych kondensatorami nie naładowanymi i
dodatkowymi źródłami napięcia otrzymujemy obwód

30

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

R=10 kΩ

100pF

30pF

200V

Napięcie równe różnicy napięć 200 – 80 = 120V po osiągnięciu stanu ustalonego
rozdzieli się na oba kondensatory odwrotnie proporcjonalnie do ich pojemności

V

3

,

92

120

130

100

U

C

C

C

U

V

7

,

27

120

130

30

U

C

C

C

U

2

1

1

2

2

1

2

1

=

=

+

=

=

=

+

=

Na zaciskach kondensatora 100pF powstanie napięcie 27,7V i o biegunowości jak
na rysunku

80V

i

-

+

R=10 kΩ

100pF

30pF

-

+

27,7V

92,3V

80V

200V

-

+

R=10 kΩ

100pF

30pF

+

-

200V

80V

27,7V

92,3V

31

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Sumując otrzymujemy napięcie ustalone na zaciskach każdego kondensatora

R=10 kΩ

172,3V

172,3V

30pF

100pF

Odp.: U = 172,3V U

1

=40V, U

2

=100V

Zadanie 31
W obwodzie pokazanym na rysunku E = 12V, R =
6Ω oraz L = 50mH, obliczyć:
napięcie na oporniku R , na indukcyjności oraz
pochodną prądu względem czasu w chwili
zamykania wyłącznika,

L

napięcie na oporniku R na indukcyjności oraz
pochodną prądu względem czasu w chwili gdy prąd
w obwodzie wynosi 1,5A,

L

Rozwiązanie
Równanie napięć ma postać:

dt

di

L

i

R

u

u

E

L

R

+

⋅

=

+

=

R

E=12V

t=0

L

Ad a) gdy t = 0 u

R

= 0 a u

L

= 12V

dt

di

L

u

L

=

zatem dla t = 0

s

A

240

05

,

0

12

L

u

dt

di

L

=

=

=

Ad b)

;

V

0

,

9

5

,

1

6

i

R

u

R

=

⋅

=

⋅

=

V

3

9

12

i

R

E

u

L

=

−

=

⋅

−

=

Stąd

.

s

A

60

05

,

0

3

L

u

dt

di

L

=

=

=

32

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Odp. a) dla t = 0, i = 0, U

R

= 0, U

L

= 12V ;

di/dt = 240A/s, b) U

R

= 9V, U

L

= 3V;

di/dt = 60A/s

Zadanie 32
Dla obwodu przedstawionego na rysunku należy
obliczyć moc

i

dla różnych wartości prądu

płynącego w obwodzie.

R

P

L

P

Rozwiązanie

Prąd zaczyna wzrastać od zera do wartości

ustalonej

A

20

5

100

R

E

I

=

=

=

wyniki obliczeń

zestawiono w tabeli dla wzrastających wartości
prądu w odstępach co 5A

E=100V

]

A

[

i

0 5 10 15 20

]

V

[

i

R

u

R

⋅

=

0 25 50 75 100

]

W

[

i

u

P

R

R

⋅

=

0 125

500

1125 2000

]

V

[

u

U

u

R

L

−

=

100 75 50 25 0

]

W

[[

i

u

P

L

L

⋅

=

0 375

500

375

0

Odp.: moc na indukcyjności ma wartość
maksymalną , gdy napięcie na indukcyjności
równa się połowie napięcia źródła.

t=0

L

R=5

Ω

Zadanie 33

W obwodzie pokazanym na rysunku

V

E

50

=

,

,

,

,

Ω

= 10

1

R

H

L

2

,

0

1

=

H

L

08

,

0

2

=

H

M

1

,

0

=

.

Obliczyć napięcie samoindukcji i indukcji
wzajemnej każdej cewki dla chwili w której
wyłącznik jest zamknięty.


Rozwiązanie

R

1

E

R

2

L

1

L

2

I

1

I

2

33

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Równania napięć dla pierwszej i drugiej cewki

dt

di

M

dt

di

L

i

R

E

2

1

1

1

1

−

+

=

;

dt

di

M

dt

di

L

i

R

0

1

2

2

2

2

−

+

=

;

dt

di

1

,

0

dt

di

2

,

0

i

10

50

2

1

1

−

+

⋅

=

.

dt

di

1

,

0

dt

di

08

,

0

i

5

0

1

2

2

−

+

⋅

=

dla t = 0 oraz i

1

= 0 i

2

= 0

;

dt

di

1

,

0

dt

di

2

,

0

50

2

1

−

=

dt

di

1

,

0

dt

di

08

,

0

0

1

2

−

=

stąd

,

s

A

667

075

,

0

50

dt

di

1

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

s

A

834

dt

di

2

napięcia na indukcyjnościach własnych wynoszą

[ ]

V

4

,

134

667

2

,

0

dt

di

L

U

1

1

1

L

=

⋅

=

=

[ ]

V

7

,

66

834

08

,

0

dt

di

L

U

2

2

2

L

=

⋅

=

=

napięcie na indukcyjności wzajemnej cewki pierwszej

[ ]

V

6

,

83

834

1

,

0

dt

di

M

U

2

2

,

1

M

=

⋅

=

=

napięcie na indukcyjności wzajemnej cewki drugiej

[ ]

V

7

,

66

667

1

,

0

dt

di

M

U

1

1

,

2

M

=

⋅

=

=

Odp.: U

L1

=134,4V, U

L2

=66,7V, U

M1,2

=83,6V, U

M2,1

=66,7V.

Zadanie 34
Obliczyć okres T oraz wartość prądu

( )

0

i

w chwili

0

=

t

dla następujących

przebiegów:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

−

⋅

=

4

t

157

sin

2

15

i

34

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

(

)

o

120

t

377

sin

2

10

i

−

⋅

=

Rozwiązanie
Dla przebiegu a)

],

s

[

04

,

0

157

2

2

T

=

π

⋅

=

ω

π

=

];

A

[

0

,

15

)

706

,

0

(

2

15

)

o

(

i

−

=

−

⋅

=

Dla przebiegu b)

]

s

[

0167

,

0

377

2

2

T

=

π

⋅

=

ω

π

=

A

2

,

12

)

866

,

0

(

2

10

)

0

(

i

−

=

−

⋅

=

Odp.: a) T = 0,04s; b) T = 0,0167s;
b) i(o) = -21,2A; b) i(o) = -12,2A



Zadanie 35
Wyznaczyć fazę i wartość chwilową prądu w podanej niżej chwili t dla następujących
przebiegów:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

6

sin

2

10

π

ω

t

i

;

;

Hz

f

50

=

s

t

005

,

0

=

(

)

π

ω

2

,

0

sin

8

,

0

−

=

t

i

;

;

Hz

f

60

=

s

t

01

,

0

=

Rozwiązanie

Dla przebiegu a)

.

3

2

];

A

[

25

,

12

2

66

,

8

3

2

sin

2

10

6

2

sin

2

10

6

005

,

0

50

2

sin

2

10

6

ft

2

sin

2

10

i

π

=

α

=

=

π

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

+

π

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

+

⋅

⋅

π

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

+

π

=

Dla przebiegu b)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

;

0

)

sin(

8

,

0

2

,

0

2

,

1

sin

8

,

0

2

,

0

01

,

0

60

2

sin

8

,

0

2

,

0

ft

2

sin

8

,

0

2

,

0

t

sin

8

,

0

i

π

=

α

=

π

=

π

−

π

=

=

π

−

⋅

π

=

π

−

π

=

π

−

ω

=

Odp. a) 2/3Π; i = 12,25A; b) α = Π; i = 0



Zadanie 36
Jakie są amplitudy i wartości skuteczne napięć o pokazanych niżej przebiegach i
wartościach chwilowych w chwili

0

=

t

:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

6

sin

π

ω

t

E

e

m

;

( )

V

o

e

250

=

35

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

=

π

ω

3

2

sin

t

E

e

m

;

( )

V

o

e

346

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

π

ω

4

5

sin

t

U

u

m

;

( )

V

o

u

220

=

Rozwiązanie

Dla przebiegu a)

.

V

353

2

E

E

;

V

500

5

,

0

250

6

sin

)

0

(

e

E

6

sin

E

)

0

(

e

m

m

m

=

=

=

=

π

=

⇒

π

=

Dla przebiegu b)

.

V

283

2

E

E

;

V

400

866

,

0

346

)

120

sin(

)

0

(

e

E

3

2

sin

E

)

0

(

e

m

0

m

m

=

=

=

−

−

=

−

=

⇒

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

−

=

Dla przebiegu c)

(

)

.

V

220

2

U

U

;

V

311

225

sin

)

0

(

u

U

4

5

sin

U

)

0

(

u

m

m

m

=

=

=

−

=

⇒

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

−

=

Odp.: a) e(o) = 500V, E =353V; b ) e(o) = 400V,

E = 283V; c) u(o) = 311V, U = 220V

Zadanie 37
Na napięcie U = 380V, f = 50Hz włączono gałąź szeregową złożoną z idealnego
kondensatora o pojemności C = 40

μF i opornika o rezystancji R = 100Ω. Wyznaczyć

wartości skuteczne i przebiegi prądu oraz napięcia przyjmując, że faza początkowa
napięcia

ψ

u

= 0.

Rozwiązanie
Reaktancja kondensatora

]

[

6

,

79

40

314

10

C

f

2

1

C

1

X

6

C

Ω

=

⋅

=

⋅

⋅

π

⋅

=

ω

=

,

impedancja gałęzi

]

[

8

,

127

6

,

79

100

X

R

Z

2

2

2
C

2

Ω

=

+

=

+

=

prąd przepływający przez gałąź

],

A

[

97

,

2

8

,

127

380

Z

U

I

=

=

=

spadek napięcia na rezystancji

],

V

[

297

97

,

2

100

I

R

U

R

=

⋅

=

⋅

=

spadek napięcia na kondensatorze

],

V

[

7

,

236

6

,

79

97

,

2

I

X

U

C

C

=

⋅

=

⋅

=

36

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

kąt przesunięcia fazowego

o

C

5

,

38

100

6

,

79

arctg

R

X

arctg

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

ϕ

Odp. przebiegi prądu i napięć

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

5

,

51

t

sin

2

7

,

236

90

t

sin

2

I

C

1

u

,

5

,

38

t

sin

2

297

i

R

u

,

5

,

38

t

314

sin

2

97

,

2

t

sin

2

I

i

o

o

i

C

o

R

o

−

ω

=

−

ψ

+

ω

ω

=

+

ω

=

⋅

=

+

=

ϕ

−

ω

=

Zadanie 38
Gałąź szeregowa złożona z opornika o rezystancji R = 60

Ω i cewki indukcyjnej

podłączono do sieci o napięciu U = 220V, f = 50Hz, pobiera prąd I = 2,5A. W tę samą
gałąź włączono kondensator i stwierdzono, że skazanie amperomierza nie uległo
zmianie. Obliczyć parametry L i C, wykonać wykres wektorowy dla obu przypadków.

Rozwiązanie

(

)

2

C

L

2

2
L

2

X

X

R

U

X

R

U

I

−

+

=

+

=

stąd otrzymujemy

L

C

X

2

X

⋅

=

.

Reaktancja i indukcyjność cewki

],

[

4

,

63

60

5

,

2

220

R

I

U

X

2

2

2

2

L

Ω

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

],

mH

[

200

60

5

,

2

220

50

2

1

R

I

U

f

2

1

f

2

X

L

2

2

2

2

L

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

π

⋅

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

=

π

=

U

U

L

a) wykres wektorowy dla obwodu R L

+φ

U

R

II

37

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

-φ

U

C

U

U

L

U

R

I

b) wykres wektorowy dla obwodu R L C

Reaktancja i pojemność kondensatora

C

2

1

X

C

⋅

π

⋅

=

,

].

F

[

25

4

,

63

2

50

2

1

X

f

2

1

C

C

μ

=

⋅

⋅

⋅

π

⋅

=

⋅

⋅

π

⋅

=

Odp.: C=24,5

μF, L=210mH

Zadanie 39
W obwodzie pokazanym na rysunku wszystkie trzy woltomierze wskazują te samą
wartość skuteczną napięcia U. Wyznaczyć parametry R, L, jeżeli C = 30

μF,

a częstotliwość napięcia zasilającego f = 50Hz.

V

C

R

L

V

V

Rozwiązanie
Reaktancja kondensatora

38

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

],

[

2

,

106

30

50

2

10

C

f

2

1

X

6

C

Ω

=

⋅

⋅

π

⋅

=

⋅

⋅

π

⋅

=

z warunku wskazań woltomierzy:

,

U

U

C

L

,

R

=

,

X

X

R

X

I

X

R

I

2
C

2
L

2

C

2
L

2

=

+

⇒

⋅

=

+

,

U

U

C

C

,

L

,

R

=

(

)

(

)

2
C

2

C

L

2

C

2

C

L

2

X

X

X

R

X

I

X

X

R

I

=

−

+

⇒

⋅

=

−

+

,

po rozwiązaniu otrzymujemy:

L

C

X

2

X

⋅

=

,

I

U

C

U

L

U

R

U

RL

U

RLC

zatem

].

H

[

17

,

0

50

4

2

,

106

f

4

X

f

2

X

L

C

L

=

⋅

π

⋅

=

π

=

π

=

Rezystancja

]

[

7

,

91

1

,

53

2

,

106

X

X

R

2

2

2
L

2
C

Ω

=

−

=

−

=

.

Odp. R = 91,7Ω, L = 0,17H



Zadanie 40
Na napięcie U = 400

2

cos 314t włączono idealną cewkę L = 0,2H w szereg z

opornikiem o rezystancji R = 100

Ω. Obliczyć wartości skuteczne oraz przebiegi

czasowe prądu i napięć na poszczególnych elementach.

Rozwiązanie

Uwaga; ponieważ cos

ωt = sin(ωt+90°), zatem ψ

u

=90

°

Reaktancja cewki

],

[

8

,

62

2

,

0

314

L

X

L

Ω

=

⋅

=

⋅

ω

=

Impedancja obwodu

],

[

118

8

,

62

100

X

R

Z

2

2

2
L

2

Ω

=

+

=

+

=

39

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Kąt przesunięcia fazowego

o

L

32

100

8

,

62

arctg

R

X

arctg

≈

=

ϕ

Prąd

],

A

[

39

,

3

118

400

Z

U

I

=

=

(

)

(

)

,

58

t

sin

2

39

,

3

t

sin

2

I

i

o

u

+

ω

=

ϕ

−

ψ

+

ω

=

(

)

(

)

.

148

t

sin

2

213

90

t

sin

I

L

u

],

V

[

39339

,

3

100

I

R

u

o

o

u

m

L

R

+

ω

=

+

ϕ

−

ψ

+

ω

⋅

⋅

ω

=

⋅

=

⋅

=

Odp.: U

R

= 339V, U

L

= 213V; i = 3,39

2

sin(ωt+58º),

u

R

= 339

2

sin(ωt+58º), u

L

= 213

2

sin(ωt+148º)

Zadanie 41
Cewka idealna o indukcyjności L = 0,05H jest zasilana napięciem U
=125,6+j94,2 o częstotliwości f = 50Hz. Wyznaczyć wartość skuteczną
zespoloną i przebieg prądu w cewce.

Rozwiązanie

Reaktancja cewki

,

7

,

15

05

,

0

50

2

L

X

L

Ω

=

⋅

⋅

π

=

ω

=

Wartość zespolona prądu

8

j

6

7

,

15

j

2

,

94

j

6

,

125

L

j

U

I

−

=

+

=

ω

=

Wartość skuteczna prądu

]

A

[

10

8

6

I

2

2

=

+

=

o

i

53

6

8

arctg

−

=

−

=

ψ

Przebieg prądu

(

)

.

53

t

314

sin

2

10

i

o

−

=

Odp.: I=10A;

(

)

°

−

=

53

314

sin

2

10

t

i

Zadanie 42
Kondensator o pojemności C = 100

μF zasilono napięciem U = 110 – j190 o

częstotliwości f = 50Hz. Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną i przebieg
prądu ładowania kondensatora.

Rozwiązanie

Reaktancja kondensatora

],

[

8

,

31

100

50

2

10

C

1

X

6

C

Ω

=

⋅

⋅

π

⋅

=

ω

=

Prąd zespolony

(

)

5

,

3

j

9

,

5

8

,

31

j

190

j

110

8

,

31

j

U

X

U

I

C

+

=

−

−

=

−

=

=

40

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

Wartość skuteczna prądu

]

A

[

9

,

6

5

,

3

9

,

5

I

2

2

=

+

=

o

i

30

9

,

5

5

,

3

arctg

≈

=

ψ

,

Przebieg prądu

(

)

.

30

t

314

sin

2

9

,

6

i

o

+

=

Odp.: I=6,9[A];

(

)

°

+

=

30

t

314

sin

2

9

,

6

i

Zadanie 43
Obliczyć pojemność C, jaką należy połączyć szeregowo z cewką o rezystancji R = 10
Ω i indukcyjności L = 150 mH, aby częstotliwość rezonansowa obwodu wystąpiła
przy f

r

=100 Hz. Obliczyć natężenie prądu w obwodzie i napięcie na pojemności przy

rezonansie, jeżeli wartość skuteczna napięcia zasilającego obwód wynosi U = 100 V.
Rozwiązanie
Przy wystąpieniu rezonansu napięć w obwodzie:

],

A

[

10

10

100

R

U

I

I

max

=

=

=

=

C

L

X

X

=

C

f

2

1

L

f

2

⋅

⋅

π

⋅

=

⋅

⋅

π

⋅

⇒

stąd

],

F

[

9

,

16

10

150

100

4

1

L

f

4

1

C

3

2

2

2

2

μ

=

⋅

⋅

⋅

π

⋅

=

⋅

⋅

π

⋅

=

−

μ

Przy rezonansie napięcie na pojemności jest równe napięciu na indukcyjności:

]

V

[

942

9

,

16

2

10

C

f

2

I

X

I

U

5

C

C

=

⋅

π

⋅

=

⋅

⋅

π

⋅

=

⋅

=

lub

]

V

[

942

10

150

100

2

10

X

I

U

3

L

L

=

⋅

⋅

⋅

π

⋅

⋅

=

⋅

=

−

.

Odp.: I = 10[A]; C = 16,9 [μF]; U

C

= U

L

= 942[V].

Zadanie 44

Do węzła dopływają dwa prądy o wartościach skutecznych I

1

= 10A; I

2

= 5A,

przy czym przebieg prądu i

2

jest opóźniony w fazie względem przebiegu prądu

i

1

o kąt 60

°, a częstotliwość obu prądów f = 50Hz. Wyznaczyć przebieg prądu

dopływającego i odpowiadającą mu funkcję wykładniczą przyjmując fazę
początkową

ψ

1

= 90

°.

Rozwiązanie

Faza początkowa prądu I

1

o

1

90

=

ψ

a faza początkowa prądu I

2

o

o

o

2

30

60

90

=

−

=

ψ

41

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

(

)

(

)

10

j

90

sin

j

90

cos

10

sin

j

cos

I

I

o

o

1

1

1

1

=

+

=

ψ

+

ψ

=

(

)

(

)

5

,

2

j

3

,

4

30

sin

j

30

cos

5

sin

j

cos

I

I

o

o

2

2

2

2

+

=

+

=

ψ

+

ψ

=

Prąd wypadkowy

5

,

12

j

3

,

4

5

,

2

j

3

,

4

10

j

I

I

I

2

1

+

=

+

+

=

+

=

o

i

71

3

,

4

5

,

12

arctg

=

=

ψ

],

A

[

2

,

13

5

,

12

3

,

4

I

2

2

=

+

=

(

)

o

71

j

o

e

2

,

13

71

t

314

sin

2

2

,

13

i

=

+

=

Odp.: I=13,2A;

(

)

°

+

=

71

314

sin

2

2

,

13

t

i

Zadanie 45
Trzy elementy: opornik R = 100

Ω, idealna cewka L = 0,1H i idealny kondensator C =

16

μF połączono równolegle i przyłączono do sieci o napięciu U = 220V i

częstotliwości f = 100Hz. Wyznaczyć prądy w poszczególnych gałęziach, prąd
wypadkowy pobierany z sieci oraz kąt przesunięcia fazowego między prądem a
napięciem.

Rozwiązanie
prądy płynące w gałęziach:

2

j

100

200

j

R

U

I

R

=

=

=

,

18

,

3

1

,

0

100

2

j

200

j

jX

U

I

L

L

=

⋅

⋅

π

⋅

=

=

,

01

,

2

200

j

16

100

2

j

U

C

j

I

C

−

=

⋅

⋅

⋅

π

⋅

=

ω

=

,

17

,

1

2

j

01

,

2

18

,

3

2

j

I

+

=

−

+

=

wartości skuteczne prądów:

R

L

C

I

L

I

C

I

R

U

42

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

]

A

[

01

,

2

I

];

A

[

18

,

3

I

];

A

[

2

I

C

L

R

=

=

=

,

]

A

[

32

,

2

2

17

,

1

I

2

2

=

+

=

,

o

3

30

01

,

0

10

85

,

5

R

1

C

L

1

artg

G

B

arctg

=

⋅

=

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

ω

−

ω

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

ϕ

−

Odp.: I

R

=2A, I

L

=3,18A, I

C

=2,01A; I=2,31A; φ≈30º

Zadanie 46
Jest dana wartość skuteczna napięcia U = 50 + j60. Wyznaczyć wartość
skuteczną zespoloną prądu, jeżeli I = 5A, a przebieg prądu jest opóźniony w
fazie względem przebiegu napięcia o kąt

ϕ = arctg 1/3.

Rozwiązanie

(

)

)

(

j

j

j

u

u

i

Ie

Ie

Ie

I

ϕ

−

ψ

ϕ

−

ψ

ψ

=

=

=

,

77

,

0

j

64

,

0

60

50

60

j

50

U

U

e

2

2

j

u

+

=

+

+

=

=

ψ

,

32

,

0

j

95

,

0

sin

cos

e

j

+

=

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

−

,

;

95

,

0

1

3

3

cos

2

2

=

+

=

ϕ

;

32

,

0

1

3

1

sin

2

2

=

+

=

ϕ

stąd

65

,

4

j

79

,

1

)

93

,

0

j

358

,

0

(

5

)

32

,

0

j

95

,

0

)(

77

,

0

j

64

,

0

(

5

I

+

=

+

=

+

+

=

Odp.: I=1,79+j4,65



Zadanie 47
Jest dana wartość napięcia U = 10+j20 oraz wartość zespolona prądu I = 8+j6
odbiornika zasilanego tym napięciem. Obliczyć moc zespoloną oraz
współczynnik mocy.

Rozwiązanie

(

)(

)

100

j

200

6

j

8

20

j

10

I

U

S

+

=

−

+

=

⋅

=

∗

,

43

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

],

VA

[

6

,

223

100

200

S

[var],

100

Q

],

W

[

200

P

2

2

=

+

=

=

=

współczynnik mocy

.

89

,

0

6

,

223

200

S

P

cos

=

=

=

ϕ

Odp.: S=223,6VA; cos φ=0,89

°

Zadanie 48
Do źródła o napięciu U = 220V przyłączono równolegle trzy odbiorniki o
następujących:

P

1

= 1000W, cos

ϕ

1

= 1

tg

ϕ

1

= 0

P

2

= 500W, cos

ϕ

2

= 0,6

ϕ

2

> 0

tg

ϕ

2

= 1,33

P

3

= 1200W, cos

ϕ

3

= 0,8

ϕ

3

> 0

tg

ϕ

3

= 0,75.

Wyznaczyć moc pozorną i prąd wypadkowy pobierany z sieci przez odbiorniki.
Rozwiązanie

Moc czynna pobierana przez odbiorniki

,

W

2700

1200

500

1000

P

P

P

P

3

2

1

=

+

+

=

+

+

=

moc bierna pobierana przez odbiorniki

[var],

2230

1565

665

tg

P

tg

P

tg

P

Q

3

3

2

2

1

1

=

+

=

ϕ

⋅

+

ϕ

⋅

+

ϕ

⋅

=

],

VA

[

3500

2230

2700

Q

P

S

2

2

2

2

=

+

=

+

=

prąd wypadkowy pobierany przez odbiorniki

],

A

[

9

,

15

220

3500

U

S

I

=

=

=

współczynnik mocy

.

77

,

0

3500

2700

S

P

cos

=

=

=

ϕ

Odp.: S=3500VA; I=15,9A; cos φ=0,77

°

Zadanie 49
Do sieci prądu przemiennego o napięciu U = 400 V i częstotliwości f = 50 Hz
włączono odbiornik o mocy 6kW i współczynniku mocy cosφ = 0,8. jakiej

44

WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE

pojemności kondensator należy przyłączyć równolegle , aby współczynnik mocy
wyniósł 0,95 ?

Rozwiązanie

Włączając kondensator kompensujemy
częściowo składową bierną prądu odbiornika

(

)

2

1

tg

tg

U

P

C

U

ϕ

−

ϕ

=

⋅

ω

⋅

stąd

(

)

(

)

]

F

[

3

,

50

329

,

0

75

,

0

400

50

2

10

6

tg

tg

U

P

C

2

3

2

1

2

μ

π

ϕ

ϕ

ω

=

=

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

−

⋅

=

Im

I

C

Odp. C = 50,3 μF.

U

Re

I

C

I

0

φ

2

φ

1

45