www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

L

UBELSKA PRÓBA PRZED MATUR ˛

A

DLA KLAS TRZECICH

POZIOM ROZSZERZONY

12

STYCZNIA

2011

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

Z

ADANIE

1

(4

PKT

.)

Wyznacz dziedzin˛e funkcji okre´slonej wzorem f

(

x

) =

p

|

x

+

3

| − |

x

−

5

|

.

Z

ADANIE

2

(4

PKT

.)

Niesko ´nczony ci ˛

ag liczbowy

(

a

n

)

okre´slony jest wzorem:

a

n

=

(

2n

dla n parzystych

−

2n

+

4

dla n nieparzystych

a) Wyznacz sum˛e dwudziestu pocz ˛

atkowych wyrazów ci ˛

agu.

b) Zbadaj, czy istnieje wyraz ci ˛

agu równy 5. Odpowied´z uzasadnij.

Z

ADANIE

3

(6

PKT

.)

W k ˛

at o mierze 60

◦

wpisano pi˛e´c kół tak, ˙ze ka ˙zde nast˛epne koło poza pierwszym, jest

styczne zewn˛etrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest
wi˛eksza od pola najmniejszego koła.

Z

ADANIE

4

(4

PKT

.)

Naszkicuj wykres funkcji f

(

x

) =

|

x

2

−

9

|

x

2

−

9

. Okre´sl dziedzin˛e oraz zbiór warto´sci funkcji.

Z

ADANIE

5

(5

PKT

.)

Wyznacz zbiór warto´sci parametru m, dla których równanie: cos 2x

−

cos x

=

m ma rozwi ˛

a-

zania.

Z

ADANIE

6

(5

PKT

.)

Prosta x

−

y

−

1

=

0 jest osi ˛

a symetrii pewnego czworok ˛

ata wpisanego w okr ˛

ag. Punkty

(

1, 0

)

,

(

5,

−

2

)

s ˛

a jego wierzchołkami. Znajd´z pozostałe wierzchołki.

Z

ADANIE

7

(5

PKT

.)

Trapez równoramienny o obwodzie 20 dm i przek ˛

atnej

√

41 jest opisany na okr˛egu. Oblicz

jego pole i cosinusy jego k ˛

atów wewn˛etrznych.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(4

PKT

.)

Do naczynia w kształcie odwróconego sto ˙zka wrzucono kulk˛e o promieniu r

=

3 cm. Oce ´n,

czy kulka b˛edzie wystawa´c nad brzeg naczynia. Uzasadnij odpowied´z wykonuj ˛

ac odpo-

wiednie obliczenia, je ˙zeli wiadomo, ˙ze wysoko´s´c sto ˙zka wynosi 12 cm a promie ´n podstawy
4 cm.

Z

ADANIE

9

(4

PKT

.)

Udowodnij, ˙ze

n

4

−

3n

2

+

1

n

4

−

n

2

−

2n

−

1

, dla n

∈

N i n

>

2 jest ułamkiem wła´sciwym.

Z

ADANIE

10

(5

PKT

.)

Ile maksymalnie kul zielonych mo ˙zna wło ˙zy´c do urny, w której jest 7 kul czerwonych, aby
prawdopodobie ´nstwo wylosowania 2 kul ró ˙znokolorowych było wi˛eksze lub równe

1

4

?

Z

ADANIE

11

(4

PKT

.)

W trapezie ABCD poł ˛

aczono ´srodek M ramienia trapezu AD z ko ´ncami drugiego ramienia

BC. Wyka ˙z, ˙ze pole powstałego trójk ˛

ata BMC jest równe połowie pola trapezu ABCD.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2