www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ
DLA KLAS TRZECICH
POZIOM ROZSZERZONY
12 STYCZNIA 2011
CZAS PRACY: 180 MINUT
ZADANIE 1 (4 PKT.)
Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem f (x) = p|x + 3| − |x − 5|.
ZADANIE 2 (4 PKT.)
Niesko ńczony ciąg liczbowy (an) określony jest wzorem: (2n
dla n parzystych
an =
−2n + 4 dla n nieparzystych
a) Wyznacz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu.
b) Zbadaj, czy istnieje wyraz ciągu równy 5. Odpowiedź uzasadnij.
ZADANIE 3 (6 PKT.)
W kąt o mierze 60◦ wpisano pięć kół tak, że ka żde następne koło poza pierwszym, jest styczne zewnętrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest większa od pola najmniejszego koła.
ZADANIE 4 (4 PKT.)
Naszkicuj wykres funkcji f (x) = |x2−9| . Określ dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji.
x2−9
ZADANIE 5 (5 PKT.)
Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie: cos 2x − cos x = m ma rozwią-
zania.
ZADANIE 6 (5 PKT.)
Prosta x − y − 1 = 0 jest osią symetrii pewnego czworokąta wpisanego w okrąg. Punkty (1, 0), (5, −2) są jego wierzchołkami. Znajdź pozostałe wierzchołki.
ZADANIE 7 (5 PKT.)
√
Trapez równoramienny o obwodzie 20 dm i przekątnej 41 jest opisany na okręgu. Oblicz jego pole i cosinusy jego kątów wewnętrznych.
Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info
1
www.zadania.info – NAJWI ĘKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA Ń Z MATEMATYKI ZADANIE 8 (4 PKT.)
Do naczynia w kształcie odwróconego sto żka wrzucono kulkę o promieniu r = 3 cm. Oce ń, czy kulka będzie wystawać nad brzeg naczynia. Uzasadnij odpowiedź wykonując odpo-wiednie obliczenia, je żeli wiadomo, że wysokość sto żka wynosi 12 cm a promie ń podstawy 4 cm.
ZADANIE 9 (4 PKT.)
Udowodnij, że n4−3n2+1 , dla n ∈ N i n > 2 jest ułamkiem właściwym.
n4−n2−2n−1
ZADANIE 10 (5 PKT.)
Ile maksymalnie kul zielonych mo żna wło żyć do urny, w której jest 7 kul czerwonych, aby prawdopodobie ństwo wylosowania 2 kul ró żnokolorowych było większe lub równe 1 ?
4
ZADANIE 11 (4 PKT.)
W trapezie ABCD połączono środek M ramienia trapezu AD z ko ńcami drugiego ramienia BC. Wyka ż, że pole powstałego trójkąta BMC jest równe połowie pola trapezu ABCD.
Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info
2