OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

POJĘCIA PODSTAWOWE

Obwód elektryczny stanowi zamkniętą drogę służącą do przekazywania

energii elektrycznej ze źródeł do odbiorników. Każdy obwód elektryczny składa

się z elementów (części) niepodzielnych pod względem funkcjonalnym bez utraty

ich charakterystycznych cech.

Elementy obwodu można podzielić na elementy źródłowe-aktywne oraz

elementy odbiorcze-pasywne.

Stosowane w obwodach prądu stałego źródła napięcia posiadają dwa zaciski:

jeden o wyższym potencjale (+) i drugi o niższym (



) służące do przyłączenia do

obwodu. Różnicę potencjałów panującą pomiędzy zaciskami, gdy energia

elektryczna nie jest z niego pobierana nosi nazwę siły elektromotorycznej lub

napięcia źródłowego.

Biegunowość źródeł na schematach elektrycznych jest oznaczana w następujący

sposób: biegun dodatni znajduje się przy zacisku oznaczonym grotem strzałki lub

dłuższą kreską, biegun ujemny przy zacisku z krótszą kreską.

Różne oznaczenia źródeł napięcia i prądu przedstawia poniższy rysunek:

Symbole źródeł napięcia i prądu wykorzystywane w schematach układów

elektrycznych

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

ELEMENTY OBWODÓW

Do elementów odbiorczych wchodzących w skład obwodów elektrycznych

zaliczyć można trzy podstawowe grupy elementów:

1. Rezystory. Potocznie noszą nazwę oporników. Podczas przepływu prądu przez te

elementy następuje zamiana energii elektrycznej w energię cieplną, która

następnie jest rozpraszana w środowisku otaczającym rezystor.

2. Cewki i kondensatory. Elementy magazynujące energię w określonej postaci:

cewka pod postacią pola magnetycznego, natomiast kondensator elektrycznego.

3. Przetworniki energii elektrycznej. W wyniku ich pracy energia elektryczna jest

przetwarzana na inne postacie energii: mechaniczną (silniki elektryczne),

chemiczną (przepływ prądu wykorzystywany w procesie elektrolizy), świetlną

(lampy wyładowcze itp.).

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Obwody prądu elektrycznego w których istnieje tylko jedna droga przepływu

prądu, a tym samym tylko jedna wartość natężenia prądu nazywa się obwodami

nierozgałęzionymi.

Innym rodzajem obwodu jest obwód rozgałęziony składający się co najmniej z

trzech gałęzi i dwóch węzłów. Gałąź utworzona jest z jednego lub kilku połączonych

ze sobą szeregowo elementów i przez wszystkie z nich przepływa prąd o jednej

wartości.

Węzły stanowią zakończenia gałęzi, do których przyłączane są pozostałe

gałęzie. Zwykle obwody elektryczne są obwodami rozgałęzionymi, składającymi się

z połączonych w określony sposób elementów źródłowych i odbiorników.

Często w analizie obwodów stosowane jest pojęcie oczka obwodu

elektrycznego. Pod pojęciem tym rozumie się zbiór gałęzi tworzących zamkniętą

drogę dla przepływu prądu, odznaczającą się tym, że po usunięciu jednej z nich

pozostałe nie tworzą takiej drogi.

Obwód nierozgałęziony jest obwodem jednooczkowym, natomiast obwody

rozgałęzione są obwodami wielooczkowymi. Wszystkie obwody elektryczne mogą

być przedstawione za pomocą schematów ukazujących wzajemne połączenia

pomiędzy nimi, tworzonych ze znormalizowanych symboli.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

POJĘCIA LINIOWOŚCI I NIELINIOWOŚCI OBWODÓW

Wszystkie obwody elektryczne można podzielić na dwie zasadnicze grupy:

obwody liniowe i nieliniowe.

Obwód elektryczny, którego wszystkie elementy są elementami liniowymi

nazywamy obwodem liniowym (o prostoliniowej charakterystyce napięciowo-

prądowej), jeżeli natomiast co najmniej jeden element obwodu jest elementem

nieliniowym (analogicznie - nie będącej linią prostą), to obwód taki jest obwodem

nieliniowym.

Energia elektryczna jest dostarczana do obwodu przez dowolnego typu źródło

energii. W wyniku jego działania, jeżeli obwód jest obwodem zamkniętym (istnieje

przynajmniej jedna zamknięta droga przepływu) popłynie prąd elektryczny. W

odniesieniu do źródła stosuje się pojęcie wymuszenia, z kolei przepływający w

przewodniku pod jego wpływem prąd nosi nazwę odpowiedzi - źródło wymusza

przepływ prądu.

W analizie obwodów liniowych znajduje zastosowanie zasada superpozycji.

Brzmi ona następująco:

Odpowiedź obwodu elektrycznego na jednoczesne działanie kilku

wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna.

Definicję tą ilustrują poniższe zależności:

y

1

= f(x

1

); y

2

= f(x

2

)

(y

1

+ y

2

) = f(x

1

+ x

2

)

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

ZNAKOWANIE NAPIĘĆ I PRĄDÓW

Znakowanie wielkości występujących w obwodach elektrycznych stosuje się w

celu zwiększenia przejrzystości schematu. Umownie zostało przyjęte znakowanie

kierunku przepływu prądu zgodnie z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich, czyli od

zacisku o wyższym potencjale (bieguna dodatniego) do zacisku o potencjale niższym

(bieguna ujemnego). W rzeczywistości prąd elektryczny jest ruchem ładunków

ujemnych, więc jego przepływ następuje w kierunku przeciwnym. Strzałka

oznaczająca kierunek przepływu prądu rysowana jest jako nie zaczerniona, w

przewodzie lub obok niego.

Przykład znakowania wielkości występujących w układzie elektrycznym

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

PRAWA DOTYCZĄCE OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

W celu umożliwienia dokonywania analizy obwodów elektrycznych konieczne

stało się określenie praw rządzących takimi obwodami. Jednym z podstawowych

praw obwodów jest wspomniane wcześniej prawo Ohma. Dla wyodrębnionej z

większego obwodu gałęzi zawierającej element pasywny, przedstawionej poniżej

wygląda ono następująco:

Ilustracja prawa Ohma dla wyodrębnionej z układu gałęzi

U

12

= RI

gdzie:

U

12

=



1





2

- różnica potencjałów pomiędzy węzłami gałęzi.

Niejednokrotnie zamiast wartości rezystancji danego elementu stosuje się

wartość będącą jej odwrotnością - konduktancję G:

I = GU

12

Prawo Ohma podane powyżej można rozwinąć, jeżeli gałąź nie jest wyłącznie

gałęzią pasywną, lecz występują w niej elementy aktywne, co w połączeniu z innymi

prawami dotyczącymi obwodów elektrycznych pozwala dokonywać ich analizy.

Podstawowymi obok prawa Ohma są dwa prawa Kirchhoffa wynikające z

zasady zachowania energii. Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu prądów w

rozpatrywanym węźle obwodu. Brzmi ono w następujący sposób:

Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna prądów

wynosi zero.

0

I









gdzie:

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO



przyjmuje wartości (1,2,...) odpowiadające liczbie gałęzi zbiegających się w

węźle.

Prądy do sumy podstawiamy z różnymi znakami, w zależności od zwrotu prądu

względem danego węzła - prądy dopływające ze znakiem plus, zaś odpływające

minus. Przykładowy zapis dla węzła pokazanego na poniższym rysunku wygląda

następująco:

Węzeł obwodu ilustrujący pierwsze prawo Kirchhoffa

0

I

I

I

I

3

2

4

1









Po pogrupowaniu prądów dopływających po jednej stronie równania,

odpływających drugiej otrzymujemy drugą postać prawa Kirchhoffa.

3

2

4

1

I

I

I

I







Na jego podstawie można prawo sformułować w następujący sposób:

Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma prądów dopływających do

węzła równa się sumie prądów odpływających od niego.

Drugie prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu napięć w oczku obwodu

elektrycznego prądu stałego.

W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma

algebraiczna napięć źródłowych oraz suma algebraiczna napięć odbiornikowych

występujących na rezystancjach równa się zero.

0

I

R

E



















OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

gdzie:



przyjmuje wartość (1, 2,...) równą liczbie źródeł należących do danego oczka,



wartość (1, 2,...) równą liczbie elementów rezystancyjnych wchodzących w

skład oczka.

Zilustrować można prawo to korzystając z przykładowego oczka obwodu:

Oczko wyodrębnione z układu (ilustracja drugiego prawa Kirchhoffa)

Dla oczka tego zapis drugiego prawa Kirchhoffa wygląda następująco:

0

E

I

R

I

R

E

I

R

I

R

E

2

2

2

3

3

3

4

4

1

1

1















Po dokonaniu analogicznych przekształceń jak w poprzednim przypadku, tzn.

pogrupowaniu napięć określonego rodzaju stronami otrzymujemy alternatywną

postać drugiego prawa Kirchhoffa:

2

2

3

3

4

4

1

1

2

3

1

I

R

I

R

I

R

I

R

E

E

E













którą możemy sformułować w następujący sposób:

Dla dowolnego oczka obwodu elektrycznego prądu stałego suma

algebraiczna napięć źródłowych jest równa sumie algebraicznej napięć

odbiornikowych.

Ze stwierdzenia tego wynika bezpośrednio, że w oczku obwodu nie

zawierającym źródeł napięcia suma algebraiczna napięć odbiornikowych wynosi

zero.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

ŹRÓDŁA ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Wszystkie stosowane obecnie źródła energii elektrycznej, bez względu na

zasadę działania odznaczają się pewną rezystancją wewnętrzną R

w

. Najczęściej

stosowanym schematem zastępczym źródła energii elektrycznej jest tzw. schemat

szeregowy, nazywany także źródłem napięcia. Jak widać na załączonym rysunku w

skład rzeczywistego źródła napięcia wchodzi idealne źródło napięcia E oraz

rezystancja wewnętrzna R

w

, przy czym połączone są one szeregowo.

Schemat rzeczywistego źródła napięcia

Źródło rzeczywiste staje się źródłem idealnym, wówczas, gdy rezystancja

wewnętrzna wynosi zero.

Do zacisków rzeczywistego źródła napięcia można dołączyć rezystor nastawny

o bardzo dużej rezystancji. Rezystancja ta może być zmieniana w zakresie od zera do

pełnej wartości R a także może być rozłączana dając przerwę w obwodzie. W

zależności od wartości rezystancji odbiornika źródło może pracować w różnych

stanach.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Schemat układu z dołączonym odbiornikiem (rezystor nastawny) – układ

wyjściowy

Stanem jałowym nazywa się stan pracy źródła przy rezystancji R równej

nieskończoności, której odpowiada przerwa w obwodzie.

W sytuacji tej prąd w obwodzie nie płynie, natomiast napięcie na zaciskach

źródła jest równe napięciu źródłowemu E i wynosi U

0

. Sytuacja taka jest

przedstawiona na poniższym rysunku.

Rzeczywiste źródło napięcia w stanie jałowym

Jeżeli rezystancja zostanie zmniejszona do wartości zerowej, mamy wtedy do

czynienia z drugim ze stanów pracy źródła napięcia.

Stan pracy źródła przy rezystancji R równej zeru, której odpowiada

zwarcie odbiornika nazywa się stanem zwarcia źródła.

W sytuacji takiej w obwodzie płynie prąd, którego wartość można obliczyć ze

wzoru:

w

z

R

E

I



OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Stan zwarcia rzeczywistego źródła napięcia

Z kolei, jeżeli rezystancja posiada wartość większą od zero, a mniejszą od R

pracuje w warunkach normalnych.

Stan pracy źródła napięcia przy dowolnej wartości rezystancji R nazywa

się stanem obciążenia.

Podczas pracy w tym stanie w obwodzie przepływa prąd, którego wartość

zależy od wartości rezystancji obciążenia i rezystancji wewnętrznej źródła. Wartość

prądu oblicza się na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa:

Dla oczka przedstawionego na rysunku:

Rzeczywiste źródło napięcia obciążone rezystancją R

Wartość prądu obliczamy następująco:

0

U

I

R

E

w







I

R

E

U

w





Zgodnie z prawem Ohma, napięcie na zaciskach odbiornika:

I

R

U

w



OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Po przekształceniach wzorów dochodzimy do wzoru na wartość prądu

płynącego w obwodzie:

w

R

R

E

I





Jak z tego wynika, napięcie na zaciskach jest równe napięciu źródłowemu tylko

wtedy, gdy prąd I wynosi zero, a więc w stanie jałowym.

Jeżeli podczas współpracy odbiornika ze źródłem jest pobierana

największa moc, wtedy odbiornik pracuje w stanie dopasowania do źródła.

Wartość rezystancji dla której występuje dopasowanie odbiornika do źródła

może być wyznaczona z prawa Joule’a



Lenza na podstawie obliczonej pochodnej.

Moc pobierana przez odbiornik:

2

RI

P



W miejsce prądu wpisujemy zależność 15):





2

w

2

R

R

RE

P





Pochodna mocy względem rezystancji odbiornika:

3

w

2

w

2

4

w

2

w

2

w

2

)

R

R

(

RE

2

)

R

R

(

E

)

R

R

(

RE

)

R

R

(

2

)

R

R

(

E

dR

dP



















Pochodna jest równa zero, gdy wyrażenie występujące w liczniku jest równe

zero:

0

RE

2

)

R

R

(

E

2

w

2







czyli dla

w

R

R



Reasumując – jeżeli rezystancja przyłączona do zacisków źródła jest równa jego

rezystancji wewnętrznej, wówczas odbiornik pobiera z niego maksymalną moc.

Wartość prądu przepływającego w tym momencie w obwodzie można wyznaczyć z

poniższego wzoru:

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

w

d

R

2

E

I



Z kolei pobierana moc wynosi:

w

2

2
d

w

R

4

E

I

R

P





Rzeczywiste źródło napięcia pracujące w stanie dopasowania odbiornika

Obok wymienionego schematu szeregowego stosuje się także schemat

równoległy rzeczywistego źródła energii elektrycznej, który nosi nazwę źródła prądu.

W układzie tym połączono idealne źródło prądu z włączoną równolegle rezystancją

wewnętrzną. Schemat takiego połączenia przedstawia rysunek:

Schemat rzeczywistego źródła prądu

Wielkością charakteryzującą źródło prądu jest prąd źródłowy oznaczany jako I

ź

.

Analogicznie jak źródło napięcia może ono pracować w następujących stanach:

stanie jałowym, stanie zwarcia, stanie obciążenia oraz stanie dopasowania.

W praktyce obliczeniowej stosuje się zamianę rzeczywistego źródła napięcia na

źródło prądu, przy czym w przypadku tym prąd przepływający przez odbiornik oraz

napięcie na jego zaciskach pozostają stałe. Rozpatrzymy następujący przykład:

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

zamiana źródła napięcia na źródło prądu. Schematy obu rodzajów źródeł

przedstawione są na schemacie:

a)

b)

Zastępowanie rzeczywistego źródła napięcia (rysunek a) źródłem prądu

(rysunek b)

Zamiana źródeł oparta jest na obliczeniach wynikających z prawa Kirchhoffa.

Dla układu zawierającego źródło napięcia bilans napięć wygląda następująco:

U

I

R

E

w





E = R

w

I + U

Zakładając, że mamy do czynienia ze źródłem rzeczywistym i jego rezystancja

wewnętrzna jest różna od zera dokonujemy dzielenia obustronnego przez R

w

. W jego

wyniku otrzymujemy:

w

w

R

U

I

R

E





czyli:

w

z

I

I

I





gdzie:

I

w

– prąd przepływający przez rezystancję wewnętrzną źródła prądu, natomiast I

prąd przepływający przez odbiornik.

Prąd źródłowy I

ź

wyznacza się jako prąd zwarcia źródła napięcia. Poprzez

połączenie równoległe idealnego źródła prądu z rezystancją R

w

uzyskujemy układ

równoważny dla źródła napięcia.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Źródła napięcia i prądu należą do grupy źródeł niesterowanych, obok których

stosuje się również źródła sterowane, dla których wartość prądu lub napięcia

źródłowego ulegają zmianie w zależności od napięć i prądów występujących w innej

części obwodu. Rozróżnia się kilka rodzajów źródeł sterowanych: źródła napięcia

sterowane napięciowo lub prądowo i źródła prądu sterowane napięciowo lub

prądowo.

Źródło napięcia sterowane prądowo

Źródło napięcia sterowane napięciowo

Źródło prądu sterowane prądowo

Źródło prądu sterowane napięciowo

Schematy źródeł sterowanych

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

OBWODY NIEROZGAŁĘZIONE

Przez wszystkie elementy obwodu połączone w sposób szeregowy przepływa

prąd o takiej samej wartości. Jako przykład posłużyć może jednooczkowym obwód

elektryczny (nierozgałęziony). Przykład takiego obwodu przedstawia poniższy

rysunek:

Schemat obwodu nierozgałęzionego (jednooczkowego)

Wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa równanie napięć wygląda następująco:

E

1

– R

5

I – E

2

– R

2

I – R

4

I + E

3

– R

3

I – R

1

I = 0

Obliczona z tego równania wartość prądu w obwodzie wynosi:

5

4

3

2

1

3

2

1

R

R

R

R

R

E

E

E

I















Prąd przepływający w układzie zależy więc zarówno od wartości wypadkowej

działania źródeł napięcia, jak i wartości rezystancji włączonej w obwód. Obwód taki

można przekształcić do odpowiadającej mu postaci równoważnej, poprzez

pogrupowanie elementów i zastąpienie ich elementami zastępczymi. Spadki napięć

na poszczególnych rezystancjach obwodu można wyznaczyć korzystając z prawa

Ohma, natomiast napięcie na zaciskach układu szeregowo połączonych rezystorów

jest równe sumie napięć na poszczególnych elementach.

U

1

= R

1

I; U

2

= R

2

I U

3

= R

3

I

U = U

1

+ U

2

+ U

3

= (R

1

+ R

2

+ R

3

)I

skąd:

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

I

U

= R

1

+ R

2

+ R

3

Ponieważ:

I

U

= R , więc:

R = R

1

+ R

2

+ R

3

Rezystancja zastępcza dla szeregowo połączonych rezystorów jest równa

sumie rezystancji poszczególnych z nich.

Analogiczna sytuacja występuje w przypadku połączonych źródeł napięcia.

Wypadkowa wartość napięcia źródłowego wyniesie dla rozważanego przypadku:

E = E

1

– E

2

+ E

3

W połączeniu szeregowym dowolnej liczby źródeł napięcia, napięcie

źródłowe zastępczego źródła napięcia jest równe algebraicznej sumie napięć

źródłowych poszczególnych źródeł.

Osobno możliwe jest rozpatrywanie bilansu mocy danego obwodu. Aby tego

dokonać wystarczy pomnożyć obie strony równania bilansu napięć wynikającego z

drugiego prawa Kirchhoffa przez wartość prądu I przepływającego w obwodzie. W

wyniku tego uzyskujemy równanie będące zapisem bilansu mocy dla danego

obwodu.

Suma algebraiczna mocy oddawanych (lub pobieranych) przez źródła

energii elektrycznej jest równa mocy pobieranych przez rezystory stanowiące

odbiorniki.

Bilans mocy może być przeprowadzany także dla obwodów równoważnych, w

analogiczny sposób jak w tym przypadku.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Układ nierozgałęziony (a) wraz z wykreślonym wykresem zmienności potencjału

(b)

Ze względu na przyjętą zerową rezystancję źródeł wykres w punktach przejścia

przez nie zmienia się skokowo. Obok metody wykreślnej istnieje możliwość

wyznaczenia potencjałów w poszczególnych punktach w sposób analityczny,

podobnie rozpoczynając z punktu o przyjętym zerowym potencjale.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

OBWODY ROZGAŁĘZIONE O DWÓCH WĘZŁACH

W układach równoległych wszystkie elementy włączone są pomiędzy tą

samą parę węzłów i na zaciskach posiadają to samo napięcie U. Zgodnie z

pierwszym prawem Kirchhoffa suma prądów dopływających do węzła jest równa

sumie prądów odpływających od niego. Przebieg zjawisk występujących w układzie

równoległym przeanalizować można na przykładzie układu przedstawionego na

schemacie.

Układ równoległy

W praktyce obliczeniowej często zachodzi konieczność dokonania obliczeń

wielkości występujących w danym obwodzie, przy czym najczęściej wyznacza się

jego parametry zastępcze. W przypadku ukazanym poniżej wyznaczymy rezystancję

zastępczą odbiorników oraz parametry zastępczego źródła napięcia.

Zgodnie z prawem Kirchhoffa prąd płynący od źródeł do odbiorników jest

równy sumie prądów przepływających przez odbiorniki:

I = I

1

+I

2

+ I

3

Ponieważ jak wiadomo prawo Ohma można przedstawić w tzw. postaci

przewodnościowej (konduktancyjnej) – gdzie G =

R

1 , więc:

I

1

= G

1

U; I

2

= G

2

U; I

3

= G

3

U

Po podstawieniu powyższych wartości do równania prądów:

I = G

1

U + G

2

U + G

3

U = (G

1

+ G

2

+ G

3

)U

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

U

I

= G

1

+ G

2

+ G

3

Przekształcając dalej powyższy wzór, z uwzględnieniem, że

U

I

= G

otrzymujemy:

G = G

1

+ G

2

+ G

3

Konduktancja zastępcza dowolnej liczby rezystorów połączonych równolegle

jest równa sumie konduktancji poszczególnych rezystorów.

Bezpośrednio z tego wzoru możliwe jest obliczenie rezystancji zastępczej dla

układu równolegle połączonych rezystorów.

3

2

1

R

1

R

1

R

1

R

1







Odwrotność rezystancji zastępczej dowolnej liczby połączonych

rezystorów jest równa sumie odwrotności rezystancji poszczególnych

rezystorów.

Jednym z częściej stosowanych wzorów jest wzór na rezystancję zastępczą

dwóch połączonych równolegle rezystorów:

R =

2

1

2

1

R

R

R

R



OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Układ wyjściowy po zastąpieniu trzech gałęzi z elementami rezystancyjnymi

jednym

Przy zastępowaniu układu równoległego układem równoważnym wyznacza się

także zastępczą wartość źródła napięcia. W tym celu należy zastąpić źródła napięcia

źródłami prądu zgodnie z zależnościami podanymi przy okazji omawiania tematu

źródeł napięcia. Wartości prądów źródłowych przepływających w poszczególnych

gałęziach wynoszą:

I

ź1

=

1

w

1

R

E

=G

w1

E

1

oraz I

ź2

=

2

w

2

R

E

=G

w2

E

2

Układ po zastąpieniu dwóch rzeczywistych źródeł napięcia rzeczywistymi

źródłami prądu

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa zapisujemy bilans prądu dla węzła

układu:

I

ź

= I

ź1

+ I

ź2

Obliczamy także zastępczą rezystancję wewnętrzną dla układu:

R

w

=

2

w

1

w

2

w

1

w

R

R

R

R



bądź w postaci konduktacyjnej:

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

G

w

= G

w1

+ G

w2

Dzięki takim obliczeniom możliwe jest sprowadzenie układu wyjściowego do

jego prostszej postaci:

Układ z zastępczą rezystancją wewnętrzna oraz zastępczym źródłem prądu

W układzie tym występuje rzeczywiste źródło prądu. Ostatnim krokiem jest

przejście do układu ze źródłem napięcia o napięciu źródłowym:

E = R

w

I

ź

=

w

ź

G

I

W wyniku wszystkich przekształceń uzyskać można schemat równoważnego

układu względem układu wyjściowego, co było celem wszystkich operacji.

Układ równoważny wyjściowemu po wszystkich przekształceniach

Metodę zamiany źródeł i odbiorników na układy równoważne wykorzystuje się

przy analizowaniu różnego rodzaju układów elektrycznych.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

UKŁADY Z POŁĄCZENIEM ELEMENTÓW W GWIAZDĘ LUB TRÓJKĄT

Obok połączeń szeregowego i równoległego elementów obwodów spotyka się

również połączenie w gwiazdę (gwiazdowe – rysunek d) lub połączenie w trójkąt

(trójkątowe – rysunek a). Schemat połączeń elementów obydwóch przypadkach

przedstawia poniższy rysunek:

Układ elementów przy połączeniu w trójkąt (a) oraz w gwiazdę (b)

W układzie gwiazdowym rezystancja pomiędzy dowolnymi zaciskami równa

jest sumie rezystancji dołączonych do tych zacisków, natomiast przy połączeniu w

trójkąt rezystancja mierzona między zaciskami jest równa rezystancji układu

równoległego.

W związku z tym dla poszczególnych par zacisków muszą być spełnione

następujące zależności:

R

1

+ R

2

=

31

23

12

31

23

12

R

R

R

)

R

R

(

R







R

2

+ R

3

=

31

23

12

12

31

23

R

R

R

)

R

R

(

R







OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

R

3

+ R

1

=

31

23

12

23

12

31

R

R

R

)

R

R

(

R







Odejmując powyższe równania od połowy ich sumy otrzymuje się poniższe

zależności, stosowane przy przekształcaniu trójkąta w gwiazdę:

R

1

=

31

23

12

31

12

R

R

R

R

R





R

2

=

31

23

12

23

12

R

R

R

R

R





R

3

=

31

23

12

31

23

R

R

R

R

R





W myśl powyższych wzorów:

Rezystancja gałęzi gwiazdy jest równa iloczynowi rezystancji gałęzi

trójkąta (R

tr

) schodzących się w tym samym węźle, podzielonej przez sumę

rezystancji wszystkich gałęzi trójkąta.

Sytuacja ulega znacznemu uproszczeniu, gdy rezystancja wszystkich gałęzi

trójkąta jest taka sama. Rezystancja układu gwiazdy (R

gw

) wynosi wtedy:

R

gw

= R

1

= R

2

= R

3

=

tr

2
tr

R

3

R

=

3

R

tr

W przypadku odwrotnym, tzn. przy zamianie gwiazdy w trójkąt z zależności 50

- 5.52) powyżej tworzy się sumę iloczynów (R

1

R

2

+ R

2

R

3

+ R

3

R

1

), która jest

następnie dzielona kolejno przez R

1

, R

2

i R

3

. W wyniku tych operacji uzyskuje się

równania opisujące wartości poszczególnych rezystancji trójkąta:

R

12

= R

1

+ R

2

+

3

2

1

R

R

R

R

23

= R

2

+ R

3

+

1

3

2

R

R

R

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

R

31

= R

3

+ R

1

+

2

1

3

R

R

R

Zgodnie z nimi rezystancja gałęzi trójkąta równa jest sumie rezystancji

gałęzi gwiazdy zbiegających się w tej samej parze węzłów i iloczynu tych

rezystancji podzielonego przez rezystancję trzeciej gałęzi. Podobnie jak w

przypadku gwiazdy, tak i w przypadku trójkąta wzory te upraszczają się, gdy

rezystancje gałęzi gwiazdy są sobie równe:

R

tr

= 2R

gw

+

gw

2
gw

R

R

= 3R

gw

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

OBWODY NIELINIOWE PR

ĄDU STAŁEGO

Przykładowe charakterystyki kilku elementów nieliniowych przedstawia

poniższy rysunek

Charakterystyki elementów nieliniowych: diody próżniowej (a); diody

półprzewodnikowej (b); żarówki z włóknem wolframowym (c); termistora (d);

diody tunelowej (e)

Jak widać z przytoczonego przykładu niektóre z charakterystyk są symetryczne

względem początku układu współrzędnych, inne nie, co oznacza, że elementy takie

mogą odznaczać się różnymi własnościami przy różnych sposobach polaryzacji.

Niejednokrotnie dla ułatwienia analizy obwodów dokonuje się uproszczenia

charakterystyki rzeczywistej elementu poprzez zastąpienie jej charakterystyką idealną

powstałą w wyniku aproksymacji liniowej (w przedziałach w których przebieg jest

zbliżony do liniowego jest on zastępowany linią prostą).

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

POŁĄCZENIE SZEREGOWE ELEMENTÓW NIELINIOWYCH

Obwody nieliniowe nie spełniają zasady superpozycji o której była mowa w

początkach rozdziału, natomiast słuszne pozostają prawa Ohma i Kirchhoffa. Do

analizy układu szeregowego oraz równoległego zastosować można jedną z metod

graficznych analizy obwodów prądu stałego. W obu przypadkach celem jest

wyznaczenie charakterystyki zastępczej dla danego układu i przebiegu wartości

wielkości (prądów i napięć) występujących w nim.

Schemat połączenia dwóch elementów nieliniowych połączonych szeregowo

przedstawia poniższy rysunek:

Szeregowe połączenie elementów nieliniowych

Dla obwodu w tej postaci słuszne jest równanie zapisane w oparciu o drugie

prawo Kirchhoffa:

E = R

1

(I)



I + R

2

(I)



I

W równaniu tym: R

1

(I); R

2

(I) – rezystancje elementów nieliniowych zależne od

wartości prądu w obwodzie. Najczęściej stosowaną w takim przypadku metodą jest

metoda charakterystyki zastępczej. Charakterystyka zastępcza powstaje poprzez

sumowanie charakterystyk poszczególnych elementów, czyli dodanie wartości napięć

dla różnych wartości prądów.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

Ilustracja wyznaczania charakterystyki zastępczej dwóch połączonych

szeregowo elementów nieliniowych

Prosta równoległa do osi napięcia przechodząca przez punkt N przecinając

charakterystyki obu elementów wyznacza wartości występujących na nich spadków

napięcia przy danej wartości prądu w obwodzie.

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE ELEMENTÓW NIELINIOWYCH

W przypadku połączenia równoległego dwóch rezystancyjnych elementów

nieliniowych, przedstawionego na rysunku oba elementy zasilane są z tego samego

źródła o napięciu E, w wyniku czego ustalają się na nich takie same spadki napięcia.

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa prąd dopływający do układu równoległego

jest sumą prądów przepływających przez poszczególne elementy:

Układ równolegle połączonych elementów nieliniowych

I = I

1

+ I

2

Charakterystyka zastępcza układu powstaje jako suma charakterystyk dla

poszczególnych elementów, czyli poprzez zsumowanie wartości prądów dla różnych

napięć:

Wyznaczanie charakterystyki zastępczej równolegle połączonych elementów

nieliniowych

Podobnie jak w przypadku układu szeregowego przecięcie charakterystyki

wypadkowej z prostą odpowiadającą wartości napięcia źródłowego (punkt N) daje

wartość prądu wypadkowego dopływającego do układu. Z kolei rzędne punktów

OBWODY ELEKTRYCZNE PRĄDU STAŁEGO

przecięcia z charakterystykami poszczególnych elementów dają wartości prądów

przepływających przez gałęzie układu.