WILiŚ - Budownictwo
- sem.1 -
dr Jolanta Dymkowska - 1
Granica funkcji
f : D → R,
D ⊂ R
x
0
∈ D
lub
∃
{x
n
}∈D
x
n
−→ x
0
Definicja
Niech f
będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie punktu x
0
. Funkcja f
ma w
punkcie x
0
granicę g , co zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g,
gdy dla dowolnego otoczenia U
punktu g istnieje sąsiedztwo S
punktu x
0
takie, że dla każdego
x ∈ S wartość f (x) należy do otoczenia U .
• Jeżeli x
0
∈ R i g ∈ R , to mamy:
lim
x→x
0
f (x) = g
⇐⇒
∀
ε>0
∃
δ>0
∀
x∈D
0 < | x − x
0
| < δ
⇒ | f (x) − g | < ε
( Definicja Cauchy’ego granicy właściwej w punkcie )
• Jeżeli x
0
= +∞ i g ∈ R , to mamy:
lim
x→+∞
f (x) = g
⇐⇒
∀
ε>0
∃
K>0
∀
x∈D
x > K
⇒ | f (x) − g | < ε
( Definicja Cauchy’ego granicy właściwej w plus nieskończoności )
• Napisz definicję Cauchy’ego granicy właściwej w minus nieskończoności.
WILiŚ - Budownictwo
- sem.1 -
dr Jolanta Dymkowska - 2
• Jeżeli x
0
∈ R i g = −∞ , to mamy:
lim
x→x
0
f (x) = −∞
⇐⇒
∀
M <0
∃
δ>0
∀
x∈D
0 < | x − x
0
| < δ
⇒ f (x) < M
( Definicja Cauchy’ego granicy niewłaściwej (= −∞) w punkcie )
• Napisz definicję Cauchy’ego granicy niewłaściwej (= +∞) w punkcie.
• Jeżeli x
0
= +∞ i g = +∞ , to mamy:
lim
x→+∞
f (x) = +∞
⇐⇒
∀
M >0
∃
K>0
∀
x∈D
x > K
⇒ f (x) > M
( Definicja Cauchy’ego granicy niewłaściwej (= +∞)
w plus nieskończoności )
• Napisz definicję Cauchy’ego granicy niewłaściwej (= +∞) w minus nieskończoności.
• Napisz definicję Cauchy’ego granicy niewłaściwej (= −∞) w plus nieskończoności.
• Napisz definicję Cauchy’ego granicy niewłaściwej (= −∞) w minus nieskończoności.
Definicja Heinego granicy
Definicja
g ( g ∈ R lub g = ±∞ ) jest granicą funkcji f w x
0
( x
0
∈ R lub x
0
= ±∞ ) wtedy i
tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu { x
n
} , takiego, że x
n
∈ S(x
0
) ⊂ D , zachodzi
lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g.
Twierdzenie
Definicje: Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji są równoważne.
Fakt
Jeżeli istnieją ciągi { x
0
n
} i { x
00
n
} spełniające warunki:
•
lim
n→∞
x
0
n
= x
0
, przy czym x
0
n
6= x
0
dla n ∈ N oraz
lim
n→∞
f (x
0
n
) = g
0
,
•
lim
n→∞
x
00
n
= x
0
, przy czym x
00
n
6= x
0
dla n ∈ N oraz
lim
n→∞
f (x
00
n
) = g
00
,
• g
0
6= g
00
,
to granica lim
x→x
0
f (x) nie istnieje.
Wnioski z definicji Heinego granicy
Twierdzenie
(Arytmetyka granic funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w x
0
, to
WILiŚ - Budownictwo
- sem.1 -
dr Jolanta Dymkowska - 3
•
lim
x→x
0
( f (x) ± g(x) ) = lim
x→x
0
f (x) ± lim
x→x
0
g(x) ,
•
lim
x→x
0
( c · f (x) ) = c · lim
x→x
0
f (x) ,
gdzie c ∈ R ,
•
lim
x→x
0
( f (x) · g(x) ) = lim
x→x
0
f (x) · lim
x→x
0
g(x) ,
•
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x0
f (x)
lim
x→x0
g(x)
,
o ile lim
x→x
0
g(x) 6= 0 .
Twierdzenie
lim
x→x
0
f (x) = 0
⇐⇒
lim
x→x
0
| f (x) | = 0
Twierdzenie
Załóżmy, że funkcje f i g są określone w sąsiedztwie x
0
. Jeżeli granica funkcji f w
x
0
jest równa 0 , a funkcja g jest ograniczona, to
lim
x→x
0
f (x) · g(x) = 0.
Twierdzenie
Załóżmy, że funkcja f jest określona w sąsiedztwie x
0
. Wówczas
lim
x→x
0
f (x) = +∞ (−∞)
=⇒
lim
x→x
0
1 +
1
f (x)
!
f (x)
= e.
Twierdzenie
(O trzech funkcjach)
Jeżeli funkcje f, g i h , określone co najmniej w sąsiedztwie S(x
0
) punktu x
0
, spęłniają warunki:
• f (x) 6 g(x) 6 h(x) dla każdego x ∈ S(x
0
)
•
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = p ,
to lim
x→x
0
g(x) = p .
Granice jednostronne funkcji
Definicja Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym prawostronnym (lewostronnym) sąsiedztwie
punktu x
0
∈ R . Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę prawostronną (lewostronną) g , co zapisujemy
lim
x→x
+
0
f (x) = g
( lim
x→x
−
0
f (x) = g ),
gdy dla dowolnego otoczenia U punktu g istnieje sąsiedztwo prawostronne (lewostronne) S
+
( S
−
)
punktu x
0
takie, że dla każdego
x ∈ S
+
( x ∈ S
−
) wartość f (x) należy do otoczenia U .
• Definicja Cauchy’ego granic jednostronnych
lim
x→x
+
0
f (x) = g
⇐⇒
WILiŚ - Budownictwo
- sem.1 -
dr Jolanta Dymkowska - 4
∀
ε>0
∃
δ>0
∀
x∈D
x
0
< x < x
0
+ δ
⇒ | f (x) − g | < ε
lim
x→x
−
0
f (x) = g
⇐⇒
∀
ε>0
∃
δ>0
∀
x∈D
x
0
− δ < x < x
0
⇒ | f (x) − g | < ε
• Definicja Heinego granic jednostronnych
lim
x→x
+
0
f (x) = g
⇐⇒
∀
{x
n
}, x
n
>x
0
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
lim
x→x
−
0
f (x) = g
⇐⇒
∀
{x
n
}, x
n
<x
0
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g
Ćwiczenie
Napisz definicje granic jednostronnych w przypadku, gdy g = +∞ lub g = −∞ .
Twierdzenie
(Warunek dostateczny istnienia granicy)
Dla istnienia granicy g funkcji f
w punkcie x
0
∈ R potrzeba i wystarcza, by istniały obie granice
jednostronne w punkcie x
0
i żeby były sobie równe. Ponadto wówczas
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) =
lim
x→x
−
0
f (x).
Uwaga Twierdzenia sformułowane dla granic funkcji są również prawdziwe dla granic jednostronnych.