Matematyka obliczeniowa ćwiczenia

background image

Ćwiczenia nr 1

1. Obliczyć:

a)

,

7

4

45

.

0

b)

)

3

/

1

(

16

, c)

3

3

, d)

,

5

2

π

+

e

e)

20

log

25

cos

12

sin

0

0

+

,

f)

!

24

10

5

ln

0

ctg

, g)

,

2

25

.

0

8

4

h)

,

3

2

3

2

2

+

+

i)

i

5

3 +

, j)

i

i

5

4

2

16

+

+

.

2.

Wyznaczyć wartość numeryczną liczb:

a)

o

e

1

sin

z dokładnością do 25 cyfr po przecinku,

b)

6

π

z dokładnością do 30 miejsc po przecinku.

3.

Wyznaczyć czynniki pierwsze następujących liczb: 1278, 2345, 234.

4.

Znaleźć największy wspólny dzielnik następujących liczb: 20, 540, 444.

5.

Znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność następujących liczb: 20, 62, 300. Sprawdzić czy
jest to ich iloczyn.

6.

Wyznaczyć dziesiątą liczbę pierwszą.

7.

Sprawdzić, czy następujące liczby są liczbami pierwszymi: 457, 4571, 20077, 200771.

8.

Ile jest liczb pierwszych w przedziale (0, 50)?

9.

Na ile sposobów, z klasy liczącej 25 uczniów, można wybrać ośmioosobową delegację?

Korzystając z odpowiedniej palety:

10.

Obliczyć sumę liczb postaci

2

/

1 n

gdzie

n

zmienia się od 1 do 10

oraz dla

n

zmieniającego się

od 1

do nieskończoności.

11.

Obliczyć iloczyn liczb postaci

,

)

2

(

1

1

2

n

gdzie

n

zmienia się od 1 do 5.

12.

Obliczyć pochodną wielomianu

.

1

7

)

1

(

)

(

3

5

+

+

+

+

=

x

x

b

ax

x

w

13.

Obliczyć następujące całki:

+

,

)

3

2

(

2

dx

e

x

x

x

,

)

(log

2

dx

x

x

.

4

2

2

dx

e

e

x

x

+

+

14.

Obliczyć:

.

)

1

(

1

2

/

3

2

dx

x

x

+

+


N[x]
– wartość numeryczna wyrażenia x
Sqrt[x]- pierwiastek kwadratowy z x
Log[x] -
lnx
Log[b, x] - logarytm o podstawie b z x
Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x] - funkcje trygonometryczne
Sec[x] – secans x (1/cosx)
Csc[x] - cosecans x (1/sinx)
Abs[x] - wartość bezwzględna z liczby x
n! -
silnia liczby n
Binomial[n,k] - symbol Newtona
GCD[x1,x2,..., xn] - największy wspólny dzielnik
LCM[x1,x2,..., xn] -
najmniejszy wspólna wielokrotność
FactorInteger[x] -
rozkład na czynniki liczby x
Prime[k] - k-ta liczba pierwsza
PrimePi[x] - ilość liczb pierwszych z przedziału (0,x]
PrimeQ[x] - podaje, czy liczba x jest liczbą pierwszą

%
- ostatni uzyskany wynik
%% - przedostatni wynik
%n - wynik zapisany w komórce Out[n]

background image

Ćwiczenia nr 1

15.

Uprościć wyrażenia:

a)

2

2

2

y

xy

x

+

, b)

.

3

3

2

2

y

x

y

xy

x

+

+

16.

Sprowadzić do wspólnego mianownika:

a)

,

1

1

2

1

+

x

x

b)

.

1

5

1

2

1

2

2

+

+

+

x

x

x

x

x

17.

Rozłożyć na ułamki proste wyrażenia otrzymane w zadaniu 16.

18.

Zapisać wyrażenie

x

10

– 1 w postaci iloczynu czynników.

19.

Wprowadzić wyrażenie:

)

3

(

)

2

(

)

1

)(

2

(

2

2

x

x

x

x

+

+

+

, a następnie:

a)

wykonać potęgowanie i mnożenie,

b)

sprowadzić do wspólnego mianownika wyrażenie otrzymane w punkcie a),

c)

rozłożyć na ułamki proste wyrażenie otrzymane w punkcie b).

20.

Wprowadzić wyrażenie: (

x

+ 2

y

)

10

i wykonać potęgowanie. Ile wyrazów ma otrzymany

wielomian?


21.

Jaka jest najwyższa potęga ziemnej

x

, jaki współczynnik znajduje się przy

x

30

w następującym wyrażeniu:

10

20

7

)

1

(

)

4

2

(

)

1

(

+

+

x

x

x

.

22.

Do wyrażenie

2

)

cos

(sin

x

x +

zastosować polecenie

Expand

oraz

TrigExpand.

Porównać otrzymane wyniki.


23.

Udowodnić, że:

1

)

2

(sin

2

ctg

tg

=

+

x

x

x

.

Expand [wyrażenie] - wylicza iloczyny i potęgi, zapisując wynik jako sumę
Factor[wyrażenie] - zapisuje wyrażenie w postaci iloczynu czynników
Together[wyra
żenie] - sprowadza do wspólnego mianownika
Apart[wyrażenie] - rozkłada na ułamki proste
Cancel[wyrażenie] - upraszcza ułamek
Simplify[wyrażenie]- upraszczanie wyrażenie
FullSimpify[wyra
żenie]- upraszczanie wyrażenie

Coefficient[wielomian, zmienna] -
podaje współczynnik przy zmiennej
Exponent[wielomian, zmienna] -
podaje stopień wielomianu ze względu na zmienną
Part[wyrazenie, n] - n-ty składnik wyrażenia
Collect[expr, zmienna]-
grupuje współczynniki ze względu na zmienną
Length[wielomian] - podaje ilość składników

background image

Ćwiczenia nr 2

1.

Co otrzymamy wprowadzając w pakiecie „Mathematica” następujące polecenia:

a) x

2

+ y

2

/.{x->2+a,y->3}

b) 1+f[x]+f[y]/.x->3

c) x = 10; x = x x; Log[x, 10]

d) a = 2; b = 3; {a^2b, a^(2b), a b, ab}

e) a = 2; {a(2), a^2a, a2}

f) x = 6; {x + 1, x – 2, x}/.x->3

g) x = π/2; Cos[x = x + π]; Sin[x]

h) x = π/6.; Cos[t = x]; Sin[t]

2.

Zdefiniować funkcję

.

sin

sin

1

)

(

x

x

x

f

+

=

Obliczyć

)

2

/

(

π

f

i

).

(

π

f

3.

Zdefiniować funkcję

.

)

(

1

)

(

x

x

f

x

g

+

=

Obliczyć

)

4

/

(

π

g

z dokładnością 100 cyfr po przecinku.

4.

Zdefiniować funkcję

.

1

ln

)

(

x

x

x

f

+

=

Obliczyć z dokładnością 50 cyfr po przecinku

)

2

(

f

i

).

(e

f

Obliczyć

).

(

lim

x

f

x

5.

Zdefiniować funkcję

.

1

2

1

)

(

+

+

=

x

x

f

Wyznaczyć

)

(x

f ′

i

.

)

( dx

x

f

6.

Funkcja

1

1

)

(

2

=

x

x

x

f

nie jest określona dla x = 1. Jaką wartość należy nadać tej funkcji

w punkcie x = 1, aby była ciągła?


7.

Obliczyć następujące granice:

a)

,

lim

100

99

100

n

n

n

n

+

b)

,

1

2

3

8

lim

3

1

+

+

+

n

n

n

c)

,

)

1

(

)

2

(

lim

20

3

3

20

+

+

n

n

n

d)

,

2

3

1

3

lim

6

n

n

n

n

+

+

e)

,

1

1

lim

2

3

2

3

1

+

+

x

x

x

x

x

x

x

f)

,

3

sin

5

sin

lim

0

x

x

x→

g)

,

cos

1

lim

2

0

x

x

x

h)

,

1

lim

2

0

tgx

e

x

x

i)

.

)

1

(

)

1

(

lim

2

1

x

x

tg

x

8.

Dla podanych funkcji obliczyć wskazane pochodne:

a)

,

)

(

2

x

e

x

f

=

),

(

'

x

f

b)

,

arccos

)

,

(

x

y

y

x

f

=

),

,

(

y

x

f

x

),

,

(

y

x

f

y

c)

,

)

,

,

(

x

y

z

x

z

y

x

f

=

),

,

,

(

z

y

x

f

x

),

,

,

(

z

y

x

f

y

),

,

,

(

z

y

x

f

z

d)

,

arctan

)

,

(

xy

y

x

f

=

),

,

(

y

x

f

xx

′′

),

,

(

y

x

f

yy

′′

),

,

(

y

x

f

xy

′′

e)

,

)

,

(

y

xe

y

x

f

=

,

4

5

y

x

f

f)

),

2

ln(

)

,

,

(

2

z

y

x

z

y

x

f

+

=

.

2

2

5

y

x

z

f

background image

Ćwiczenia nr 2

9.

Sprawdź, czy funkcja f spełnia równanie Laplace’a:

+

′′

)

,

(

y

x

f

xx

,

0

)

,

(

=

′′

y

x

f

yy

jeżeli:

a)

,

)

,

(

2

2

y

x

x

y

x

f

+

=

b)

).

log(

)

,

(

2

2

y

x

y

x

f

+

=

10.

Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:

a)

,

1

1

)

(

2

x

x

f

=

b)

.

)

(

/

1

x

xe

x

g

=

11.

Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

a)

,

36

15

2

)

(

2

3

x

x

x

x

f

+

=

b)

.

4

)

(

2

+

=

x

x

x

g

12.

Wyznaczyć punkty przegięcia podanych funkcji:

a)

,

ln

)

(

x

x

x

f

=

b)

.

)

(

2

x

e

x

g

=

13.

Zbadać przebieg zmienności funkcji

,

1

)

10

(

)

(

2

2

+

+

=

x

x

x

x

f

według schematu:

a)

ustalić dziedzinę,

b)

wyznaczyć miejsca zerowe,

c)

sprawdzić czy podana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta,

d)

obliczyć granice na krańcach dziedziny,

e)

znaleźć asymptoty,

f)

wyznaczyć ekstrema funkcji oraz ustalić przedziały monotoniczności,

g)

wyznaczyć punkty przegięcia, ustalić przedziały wypukłości,

h)

sporządzić wykres.

x = wartość - przypisanie wartości zmiennej x
x = y = wartość - przypisanie wartości zmiennym x, y
x=. lub Clear[x] - skasowanie wcześniejszych przypisań

wyra
żenie/.x->wartość - podstawienie w wyrażeniu w miejsce zmiennej x podanej
wartości
wyrażenie/.{x ->wartx, y ->warty} - wykonanie dwóch podstawień jednocześnie

Limit[wyrazenie,x->x0] -
granica wyrażenia przy x dążącym do x0
Limit[wyrazenie,x->x0,Direction->-1] - z prawej strony
Limit[wyrazenie,x->x0,Direction->1] - z lewej strony

D[f, x] –
pochodna cząstkowa funkcji względem x
D[f,{x, n}] -
pochodna cząstkowa rzędu n po x

Solve[równanie,zmienna] -
rozwiązanie równania bądź układu równań

Plot[f,{x, a, b}]
- wykres funkcji f(x) w przedziale[a, b]

background image

Ćwiczenia nr 3

1.

Utworzyć macierz

m o elementach

1

1

+

+

=

j

i

m

ij

dla

,

3

,

2

,

1

=

i

,

3

,

2

,

1

=

j

a następnie:

a)

przedstawić ją w postaci macierzowej,

b)

dodać do niej macierz jednostkową,

c)

obliczyć wyznacznik macierzy

,

ij

m

d)

wyznaczyć macierz transponowaną do macierzy

,

ij

m

e)

znaleźć macierz odwrotną (sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku).

2.

Obliczyć:

a)

+

4

0

1

2

2

1

2

3

1

b)

y

y

y

y

x

x

x

x

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

3.

Rozwiązać podane równanie macierzowe (sprawdzić poprawność odpowiedzi):

=

3

0

0

6

2

0

6

4

1

3

0

0

3

2

0

3

2

1

X

4.

Rozwiązać równanie macierzowe:

,

3

2

B

A

X

=

gdzie

,

1

1

3

0

1

2

1

1

1

=

A

],

2

[

j

i

B

+

=

,

2

,

1

,

0

=

i

.

1

,

0

,

1

=

j

5.

Dla danej macierzy

=

1

3

3

1

5

3

1

3

1

A

wyznaczyć wartości własne, wektory własne oraz

sprawdzić, czy wektory własne są liniowo niezależne.

6.

Rozwiązać podane układy równań:

a)

=

+

=

+

15

6

3

2

5

y

x

y

x

b)



=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

4

6

3

5

5

4

3

7

2

5

5

2

5

3

2

6

9

2

3

2

4

t

s

z

y

x

t

s

z

y

x

t

s

z

y

x

t

s

z

y

x

s

z

y

x

c)

=

+

+

=

+

+

=

+

18

5

2

5

4

3

7

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

d)



=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

0

6

4

1

2

1

7

8

4

0

3

2

t

z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

z

y

x



Table[f[i,j],{i,m},{j,n}]
– tworzy macierz typu m x n, o elementach równych
f[i,j]

IdentityMatrix[n] – generuje macierz jednostkową typu n x n
Det[A] – oblicza wyznacznik macierzy A
Transpose[A] – transponuje macierz A
Inverse[A] – znajduje macierz odwrotna do macierzy A
A.B – mnożenie macierzy
MatrixPower[A, n] – oblicz n – tą potęgę macierzy A
Eigenvalues[A] – wyznacza wartości własne macierzy A
Eigenvectors[A] - wyznacza wektory własne macierzy A
LinaerSolve[A, b]- podaje rozwiązanie układu równań postaci A x = b

background image

Ćwiczenia nr 4

1.

Rozwiązać podane równania (skorzystać z polecenia

Solve

) oraz podać interpretację

geometryczną, używając funkcji

Plot:

a)

,

0

9

10

2

4

=

+

x

x

b)

,

0

6

3

2

=

x

x

c)

,

0

3

=

+ x

x

d)

,

2

1

1

3

=

+

x

x

e)

,

5

5

5

25

1

x

x

x

=

+

+

f)

.

3

cos

sin

3

=

+

x

x

2.

Rozwiązać podane układy równań (skorzystać z polecenia

Solve

) oraz podać interpretację

geometryczną:

a)

=

+

=

+

,

2

3

2

,

1

y

x

y

x

(do narysowania wykresu użyć funkcji

Plot

)

b)



=

+

=

+

.

4

4

,

4

4

2

2

2

2

y

x

y

x




3.

Rozwiązać równanie i sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku:

.

0

3

6

)

1

(

2

=

+

+

+

i

z

i

z

4.

Znaleźć styczną podanej funkcji

))

(

)

)(

(

(

0

0

0

x

f

x

x

x

f

y

+

=

oraz narysować na jednym

wykresie funkcję i jej styczną:

a)

f(x) = x + sinx w punkcie x = 0,

b)

f(x) = x sinx w punkcie x =

π

/2,

5.

Wykresy funkcji

x

y

x

y

/

1

i

cos

=

=

dla x > 0 mają nieskończenie wiele punktów

wspólnych. Jak można wyznaczyć drugi z nich?

6.

Znaleźć rozwiązania równania:

.

3

1

sin

x

x =

7.

Korzystając z funkcji

FindRoot r

ozwiązać układ równań

:

=

+

+

=

.

0

1

5

2

,

log

3

2

2

x

xy

x

x

x

y

Punkt początkowy odczytać z wykresu utworzonego przy pomocy polecenia

ContourPlot.


Solve[{r1,r2,...},{x,y,...}] -
rozwiązanie układu równań

FindRoot[{r1,r2,...},{x,x0},{y,y0}...]

-

numeryczne

rozwiązanie

równania

startujące z punktu {x0,y0}

Plot[f,{x, a, b}]
- wykres funkcji f(x) w przedziale[a, b]
Plot[{f1, f2, ...},{x, a, b}] - wykres kilku funkcji razem

ContourPlot[f,{x,x

min

,x

max

},{y,y

min

,y

max

}] – wyrysowanie rysunku warstwicowego dla

funkcji f(x,y)

Show[wykres] - przerysowuje wykres
Show[wykres, opcja->wartość] - przerysowuje wykres ze zmienionymi opcjami
Show[wykres1, wykres2, ...]- nakłada na siebie kilka wykresów

(do narysowania wykresu użyć funkcji

ContourPlot

z

następującymi opcjami:

Contours->{0},ContourShading->False,
ContourStyle->Hue[0]

).

background image

Ćwiczenia nr 5

Przykłady:
Plot[2x,{x,-5,3},PlotStyle-> {Thickness[0.03],Dashing[{0.05,0.05}],Hue[0.3]}]
Plot3D[Sin[x y],{x,1,4},{y,0,4}, Boxed->False, Mesh->False]

1. Narysuj:

funkcję

x

x

f

sin

)

(

=

dla

),

2

,

0

(

π

x

funkcje

2

)

(

x

x

f

=

i

3

)

(

x

x

f

=

na jednym wykresie (użyć różnych kolorów i styli),

funkcję f(x, y) =

,

cos xy

funkcję f(x, y) =

)

sin(

3

3

y

x −

,

funkcję f(x, y) =

,

2

2

y

x

xye

+

krzywą określoną parametrycznie:

,

sin

,

cos

3

3

t

y

t

x

=

=

helisę kołową:

4

/

,

cos

,

sin

t

z

t

y

t

x

=

=

=

dla t∈<0, 20>,

powierzchnię spiralną:

4

/

,

cos

,

sin

t

z

t

u

y

t

u

x

=

=

=

dla t∈<0, 20> i u∈<-1,1>,

torus:

u

z

t

u

y

t

u

x

sin

,

sin

)

cos

3

(

,

cos

)

cos

3

(

=

+

=

+

=

dla t∈<0, 2π> i u∈<0, 2π>,

kulę:

u

z

u

t

y

u

t

x

sin

,

cos

sin

,

cos

cos

=

=

=

dla t∈<0, 2π> i u∈<-π/2, π/2>.

Użyj różnych opcji odpowiednich do danego typu wykresu.


Przykłady:
ListPlot[{1,2,3,4,5},PlotStyle
{Hue[0.3],PointSize[0.05]}]
ListPlot[{1,2,3,4,5},PlotJoined
True]


2. Utworzyć następujące listy (użyć polecenia

Table

) i przedstawić graficznie:

liczb parzystych od 2 do 50,

liczb postaci: i

3

, gdzie i zmienia się od 1 do 10;

silni liczb od 1 do 20,

sinusów liczb z poprzedniego podpunktu.

3.

Utworzyć wykres przedstawiający rodzinę funkcji

x

n

x

f

sin

)

(

=

dla

)

2

,

0

(

π

x

i n = 1, …, 10.

Użyć różnych kolorów.

4.

Narysować

rodzinę

funkcji

x

e

t

x

f

cos

)

(

=

dla

}

8

,...,

2

,

1

{

t

i

.

16

,

16

>

∈<

x

Kolor, wzór i grubość krzywej uzależnić od parametru t.

5.

Dana jest funkcja

x

xe

x

f

=

)

(

w przedziale <0, 2>. Narysować wykres tej funkcji oraz wykresy

stycznych

))

(

)

)(

(

(

0

0

0

x

f

x

x

x

f

y

+

=

, każdy innym kolorem, w 9-ciu punktach o odciętych

rozłożonych równomiernie w tym przedziale.

Plot3D[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}] – tworzy "trójwymiarowy" wykres funkcji f

ParametricPlot[{fx, fy}, {t, t0, t1}] - utworzenie wykresu krzywej określonej
parametrycznie
ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, t0, t1}] - utworzenie wykresu krzywej
parametrycznej w przestrzeni
ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, t0, t1}, {u, u0, u1}]- utworzenie wykresu
powierzchni danej parametrycznie

Table[f, {i,1,n}]]
- tworzy wektor długości n o elementach f(i)
Table[f,{i,j,n,d}] - tworzy wektor o elementach f(i) dla i zmieniającego się od
j do n z krokiem d


ListPlot[{y1, y2, ...}]
- wykres punktów {1, y1}, {2, y2}, ...
ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ...}] - wykres punktów {x1, y1}, {x2, y2}, .

background image

Ćwiczenia nr 6

1.

Narysować 10 współśrodkowych kół, każde innym kolorem.

2.

Narysować:
a) „pawie oczko” składające się z sześciu okręgów, b) z sześciu kół,




c)

d)





Uwaga:

Aby narysować zamalowany prostokąt (kwadrat) należy użyć funkcji:

3.

Narysować paletę kolorów dla funkcji

Hue[a],

(a – parametr z przedziału <0, 1>).

4.

Narysować paletę kolorów dla funkcji

RGBColor[a, b, 0.5]

(a, b – parametry z

przedziału <0, 1>).

5.

Narysować dowolny trójkąt z zaznaczonymi wierzchołkami. Każdy bok innym kolorem.

6.

Narysować dwa punkty

)

1

,

1

,

1

(

1

P

i

),

1

,

0

,

1

(

2

P

każdy innym kolorem. Połączyć je linią.

7.

Narysować:

Show[Graphics[opcje, nazwa obiektu]]- utworzenie i wywołanie obiektu graficznego
Show[Graphics3D[opcje, nazwa obiektu]]- w 3D

Obiekty wbudowane (przykłady):

a) w dwóch wymiarach:

Circle[{x, y}, r] - okrąg o środku w punkcie S(x, y) i promieniu r
Disk[{x, y}, r] - kolo j.w.
Line[{{x1,y1}, ... ,{xn, yn}}] - łamana
Point[{x, y}] - punkt o współrzędnych (x, y)
Polygon[{{x1,y1}, {x2, y2}, ... ,{xn, yn}}] - wielokąt o wierzchołkach

(x1,y1),...,(xn,yn)

b) w trzech wymiarach:

Line[{{x1, y1, z1}, ...}] - trójwymiarowa łamana
Point[{x, y, z}] - punkt
Polygon[{{x1, y1, z1}, ...}] - wielokąt

background image

Ćwiczenia nr 7

1. Wykonać następujące rysunki i wykresy:

a)

H

0,0

L

H

1,0

L

H

1,1

L

H

0,1

L

c)

b)

d)


π



4

π



2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

π



4

,

è!!!!

2



2

L

y

=

sinx

y

=

cosx

Text[wyrażenie, {x, y}] – wypisuje wyrażenie wyśrodkowane względem punktu (x,y),


TextStyle –
określa styl użyty do wypisywania tekstów na rysunku
(np. polecenie

TextStyle -> FontSize->16 zmieni rozmiar czcionki),


Ticks
– pozwala opisać liczbami lub literami wybrane punkty na osiach, np.:

Ticks

998

0, "0"

<

,

9

π

4

, "

π

4

"

=

,

9

π

2

, "

π

2

"

==

, Automatic

=

,


Epilog – lista obiektów i dyrektyw tworzonych i wykorzystywanych po utworzeniu
głównego rysunku np.:

background image

Ćwiczenia nr 8

1.

Utworzyć animację funkcji

x

i

i

x

f

cos

)

,

(

=

(i – iterator) dla

)

2

,

0

(

π

x

oraz

).

10

,

1

(

i

Każdy z rysunków wykonać innym kolorem. Zadanie rozwiązać dwoma metodami (tworząc
tablicę rysunków oraz korzystając z polecenia

Animate

).

2.

Korzystając z polecenia

MoviePlot3D

utworzyć animację funkcji

)

sin(

)

,

,

(

y

x

t

t

y

x

f

+

=

dla

).

6

,

1

(

t

3.

Korzystając z polecenia

SpinShow

utworzyć animację obracającą wykres funkcji

)

cos(

)

,

(

y

x

y

x

f

=

wokół osi OZ.

4.

Tworząc tablicę rysunków wykonać animację wiatraka np.:

itd.

5. Tworząc tablicę rysunków wykonać animację ilustrującą fakt, że

,

1

1

lim

e

n

n

n

=

+

=

np.:

pierwsza klatka animacji ostatnia klatka animacji








<<Graphics`Animation` -
pakiet wspomagający animację

Animate[komenda, iterator] –
animuje wyspecyfikowaną komendę graficzną

MoviePlot[f[x,t],{x,x

0

,x

1

},{t,t

0

,t

1

}]- animuje dwuwymiarowy wykres f(x, t),

t – iterator

MoviePlot3D[f[x,y,t],{x,x

0

,x

1

},{y,y

0

,y

1

},{t,t

0

,t

1

}]- animuje trójwymiarowy wykres

f(x, y, t), t – iterator

MovieParametricPlot[{f[x,t], g[x,t]},{x,x

0

,x

1

},{t,t

0

,t

1

}]- animuje krzywą podaną

w postaci parametrycznej, t – iterator

SpinShow[grafika]- animuje grafikę trójwymiarową, obracając ją wokół osi OZ

background image

Ćwiczenia nr 9

1.

Zdefiniować funkcję

ws[n_, k_],

która wyznaczy współczynnik przy

k

b

w

n

bc

a

)

( +

(skorzystać z poleceń

Expand i Coefficient

).

2.

Zdefiniować funkcję

sum[a_, m_, n_, prec_],

wyznaczającą wartość

=

n

m

k

a

k

1

z dokładnością

prec

.

3.

Zdefiniować funkcję

fib[n_]

obliczającą n – ty wyraz ciągu Fibonacciego, w którym

1

1

+

+

=

n

n

n

f

f

f

oraz

.

1

1

0

=

= f

f

Oblicz

.

20

f

Przedstawić graficznie 10 pierwszych

wyrazów tego ciągu. Wyrazy z nieparzystym indeksem zaznaczyć czerwonym kolorem.

4.

Wiadomo, że

.

!

1

0

e

k

k

=

=

Przedstawić w postaci graficznej błąd

=

=

n

k

n

k

e

0

!

1

δ

dla

n = 5, 6 …, 12. Zdefiniować funkcję

blad[n_]

, która wyliczy opisany wyżej błąd dla

dowolnego n.

5.

Równania parametryczne

at

x

cos

=

i

,

sin bt

y =

gdzie a i b są stałymi, opisują rodzinę

krzywych znanych jako krzywe Lissajou. Zdefiniować funkcję

lissajou[a_, b_]

,

która pozwoli na wykonywanie wykresów tych krzywych dla dowolnych wartości
parametrów a i b.

6.

Zdefiniować funkcję

w[n_]

, która narysuje n-kąt foremny. Boki wielokąta powinny mieć

różne kolory.

7.

Zdefiniować funkcję

oczko[n_]

w wyniku, której otrzymamy następujący rysunek (każda

linia ma inny kolor):

oczko[10]

-10

-5

5

10

-10

-5

5

10


Expand[wyr] - wylicza iloczyny i potęgi zapisując wynik jako sumę
Coefficient[wielomian, zmienna] - podaje współczynnik przy zmiennej

background image

Ćwiczenia nr 10

1.

Napisać procedurę

arytm[a1_,r_,n_]

w wyniku, której otrzymamy n – ty wyraz ciągu

arytmetycznego oraz sumę n wyrazów tego ciągu (

n

a

a

S

r

n

a

a

n

n

n

2

,

)

1

(

1

1

+

=

+

=

) np.:

arytm[2,3,10]

10 - ty wyraz tego ciągu to 29,

a suma 10 pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 155

2.

Napisać procedurę

styczna[f_, x0_]

w wyniku, której otrzymamy wykres

przedstawiający

funkcję

f(x)

oraz

styczną

do

tej

funkcji

w

punkcie

x0

))

(

)

)(

(

(

0

0

0

x

f

x

x

x

f

y

+

=

i równanie tej stycznej np.:

3.

Napisać procedurę

dlugoscluku[f_, {x_, x1_, x2_}]

w wyniku, której

otrzymamy długość łuku krzywej f(x) w przedziale (x1, x2) (

+

=

b

a

dx

x

f

L

2

))

(

'

(

1

) oraz

następujący rysunek:

DlugoscLuku[Sin[x],{x, -Pi/4, Pi/4}]

Dlugosc luku wynosi 2.11619

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1

-0.5

0.5

1

background image

Ćwiczenia nr 11

1. Napisać procedury w wyniku, których otrzymamy:

a)

1.6

1.8

2

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

1.6

1.8

2

-1

-0.5

0

0.5

1

Uwaga:

Skorzystać ze wzorów:

=

b

a

dx

x

f

V

2

))

{

(

π

,

+

=

b

a

dx

x

f

x

f

P

2

))

(

'

(

1

)

(

2

π

c)


<<Graphics`FilledPlot`
FilledPlot[funkcja, {zakres}, opcje]
- wypełnia określonym kolorem przestrzeń
miedzy wykresem funkcji jednej zmiennej rzeczywistej a osią OX

<<Graphics`Graphics`
BarChart[lista]
- wykres listy danych w postaci słupkowej
PieChart[lista] - wykres listy danych w postaci kołowej

<<Graphics`SurfaceOfRevolution`
SurfaceOfRevolution[f, zakres, opcje]

-

kreśli powierzchnię obrotową otrzymaną

przez orót krzywej f (obrót wokół osi OZ) dla x z danego przedziału
RevolutionAxis->{1,0,0} – obrót wokół osi OX
RevolutionAxis->{0,1,0} - obrót wokół osi OY

Uwaga:

Napisy na wykresie kołowym otrzymujemy korzystając z opcji

PieLabels,

np.:


PieChart[{12, 21, 18}, PieLabels -> {12,
21, 18}]

b)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pole wynosi

1

3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MATEMATYKA FINANSOWA ĆWICZENIA 3 (25 03 2012)
Matematyka zestaw ćwiczeń
MATEMATYKA FINANSOWA ĆWICZENIA 7 (27 05 2012)
MATEMATYKA FINANSOWA ĆWICZENIA 6 (13 05 2012)
Zadania konkursowe z matematyki, klasy 1-3, Ćwiczenia do zajęć wyrównawczych, edukacja matematyczna
Matematyka Obliczeniowa Wyklad 2
Ćwięczek, Ciałowicz matematyka finansowa cwiczenia
obliczenia cwiczenia 2 zadania z odpowiedziami
matematyka zintegrowana ćwiczenie
MATEMATYKA FINANSOWA ĆWICZENIA 4 (15 04 2012)
Matematyka dyskretna ćwiczenia informacje, Uczelnia, II semestr, Matematyka dyskretna Machnicka ćwic
Ekonomia matematyczna zeszyt ćwiczeń 2013 (2)
MATEMATYKA FINANSOWA ĆWICZENIA 5 (12 05 2012)
Matematyka Obliczeniowa Wyklad 1
obliczenia cwiczenia 1 zadania z odpowiedziami niestacjonarne

więcej podobnych podstron