PODSTAWY MATEMATYKI

OBLICZENIOWEJ

Wykład 2

Prof. dr hab. Yuriy

Povstenko

Wybitny polski
matematyk, jeden z
przedstawicieli
lwowskiej szkoły
matematycznej,
twórcą ogromnego
działu nowoczesnej
matematyki -

analizy

funkcjonalnej.

Stefan

Banach

(1892-

1945)

Lwów, cmentarz Łyczakowski,

grobowiec Riedlów,

w którym pochowany jest Stefan

Banach

Kawiarnia Szkocka we Lwowie

Księga Szkocka

Prof. Stanisław

Mazur i dr Per

Enflö

A concert
pianist, Per
Enflö debuted
at the
Stockholm
Concert Hall in
1963.

Twierdzenie Banacha o punkcie

stałym

 

n

n

x

A

x



1

Twierdzenie Banacha o punkcie

stałym.

Jeżeli przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna i

odwzorowanie  

 

jest odwzorowaniem zwężającym, to odwzorowanie

A ma dokładnie jeden punkt stały :

*

x

X

X

A



:

 

*

*

x

A

x 

Pomnik
Stefana
Banacha
przed
Instytutem
Matematyki i
Fizyki
Uniwersytetu
Jagiellońskieg
o w Krakowie,
ulica
Rejmonta 4

Metody

numeryczne

Twierdzenie Banacha o punkcie
stałym jest podstawą wszystkich
iteracyjnych metod numerycznych

Jurij
Povstenko.
Wprowadzeni
e do metod
numerycznyc
h.
Akademicka
Oficyna
Wydawnicza
EXIT,
Warszawa
2002.
Wydanie 2,
Warszawa
2005.

 

0



x

f

Metoda kolejnych przybliżeń (metoda

iteracji)

 

x

x





 

1



x

d

x

d



x

y 

 

x

y





Warunek zbieżności

(warunek odwzorowania

zwężającego)

Interpretacja

geometryczna

 

n

n

x

x





1

Interpretacja geometryczna metody

kolejnych przybliżeń (metoda zbieżna)

Interpretacja geometryczna metody

kolejnych przybliżeń (metoda

rozbieżna)

Projekt finansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
"Zamawianie kształcenia na kierunkach technicznych, matematycznych i przyrodniczych - pilotaż"

Numer umowy: 03/DSW/4.1.2/2008

Unia Europejska

Europejski

Fundusz Społeczny

Przykład. Znaleźć pierwiastek równania

w przedziale [1, 2] metodą iteracji

0

5

.

4

3





 x

x

Sprowadzamy do postaci x=φ(x)

Wyniki

obliczeń

według

wzoru

3

1

5

.

4







n

n

x

x

Rozwiązywanie układów równań

liniowych

Rozwiązywanie układów równań

liniowych

Postać macierzowa

b

Ax

Rozwiązanie za pomocą macierzy

odwrotnej

Wzory Cramera

b

A

x

1





β

x

α

x





b

x

A 





 

β

x

α

x







n

n 1

Metoda kolejnych przybliżeń (metoda

iteracji)

Warunek zbieżności (warunek

odwzorowania zwężającego)

W terminach
macierzy α

W terminach macierzy wyjściowej A

Przykład. Rozwiązać układ równań liniowych

metodą iteracji

Sprowadzamy do postaci x=αx+β

Wyniki obliczeń

Zastosowanie metody iteracji do

znalezienia miejsc zerowych funkcji;
rozwiązywania układów równań
liniowych;
rozwiązywania układów równań
nieliniowych;
rozwiązywania równań całkowych;
znalezienia ekstremów funkcji.

 

n

n

x

A

x



1

Dzięku

ję

bardzo