PODSTAWY MATEMATYKI 

OBLICZENIOWEJ

Wykład 2

Prof. dr hab. Yuriy 

Povstenko

Wybitny polski 
matematyk, jeden z 
przedstawicieli 
lwowskiej szkoły 
matematycznej, 
twórcą ogromnego 
działu nowoczesnej 
matematyki - 

analizy 

funkcjonalnej.

  

Stefan 

Banach 

(1892-

1945)

Lwów, cmentarz Łyczakowski, 

grobowiec Riedlów, 

w którym pochowany jest Stefan 

Banach 

Kawiarnia Szkocka we Lwowie

Księga Szkocka 

Prof. Stanisław 

Mazur  i dr Per 

Enflö

A concert 
pianist, Per 
Enflö debuted 
at the 
Stockholm 
Concert Hall in 
1963. 

Twierdzenie Banacha o punkcie 

stałym

 

n

n

x

A

x



1

Twierdzenie  Banacha o punkcie 

stałym.

Jeżeli przestrzeń metryczna  (X, d)  jest zupełna i 

odwzorowanie  

  

jest odwzorowaniem zwężającym, to odwzorowanie 

 A  ma dokładnie jeden punkt stały         :

*

x

X

X

A



:

 

*

*

x

A

x 

Pomnik 
Stefana 
Banacha 
przed 
Instytutem 
Matematyki i 
Fizyki 
Uniwersytetu 
Jagiellońskieg
o w Krakowie, 
ulica 
Rejmonta 4 

Metody 

numeryczne

Twierdzenie  Banacha o punkcie 
stałym jest podstawą wszystkich 
iteracyjnych metod numerycznych

Jurij 
Povstenko. 
Wprowadzeni
e do metod 
numerycznyc
h. 
Akademicka 
Oficyna 
Wydawnicza 
EXIT, 
Warszawa 
2002.
Wydanie 2, 
Warszawa 
2005.

 

0



x

f

Metoda kolejnych przybliżeń (metoda 

iteracji)

 

x

x





 

1



x

d

x

d



x

y 

 

x

y





Warunek zbieżności

(warunek odwzorowania 

zwężającego)

Interpretacja

geometryczna

 

n

n

x

x





1

Interpretacja geometryczna metody 

kolejnych przybliżeń (metoda zbieżna)

Interpretacja geometryczna metody 

kolejnych przybliżeń (metoda 

rozbieżna)

Projekt finansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 
"Zamawianie kształcenia na kierunkach technicznych, matematycznych i przyrodniczych - pilotaż"

Numer umowy: 03/DSW/4.1.2/2008

Unia Europejska

Europejski

Fundusz Społeczny

 

Przykład. Znaleźć pierwiastek równania

w przedziale [1, 2] metodą iteracji

0

5

.

4

3





 x

x

Sprowadzamy do postaci x=φ(x) 

Wyniki 

obliczeń 

według 

wzoru

3

1

5

.

4







n

n

x

x

Rozwiązywanie układów równań 

liniowych

Rozwiązywanie układów równań 

liniowych

Postać macierzowa

b

Ax

Rozwiązanie za pomocą macierzy 

odwrotnej

Wzory Cramera

b

A

x

1





β

x

α

x





b

x

A 





 

β

x

α

x







n

n 1

Metoda kolejnych przybliżeń (metoda 

iteracji)

Warunek zbieżności (warunek 

odwzorowania zwężającego)

W terminach 
macierzy α

W terminach macierzy wyjściowej A

Przykład. Rozwiązać układ równań liniowych 

metodą iteracji 

Sprowadzamy do postaci x=αx+β

Wyniki obliczeń

Zastosowanie metody iteracji do

znalezienia miejsc zerowych funkcji;
rozwiązywania układów równań 
liniowych;
rozwiązywania układów równań 
nieliniowych;
rozwiązywania równań całkowych;
znalezienia ekstremów funkcji.

 

n

n

x

A

x



1

Dzięku

ję 

bardzo