CAŁKI
POWIERZCHNIOWE
CAŁKI
POWIERZCHNIOWE
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 2 / 25
C
AŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA
Definicja 1
Gładkim płatem powierzchniowym
S
(wzgl. płaszczyzny xOy)
nazywamy wykres funkcji
)
,
(
y
x
g
z
=
,
D
y
x
∈
)
,
(
róŜniczkowalnej na obszarze regularnym
D
.
Analogicznie określamy gładki płat regularny względem płaszczyzn
xOz
i
yOz
.
Definicja 2
Powierzchnię stanowiącą zbiór spójny punktów, którą moŜna
podzielić na skończoną liczbę gładkich płatów powierzchniowych,
nazywamy powierzchnią regularną.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 3 / 25
RozwaŜmy powierzchnię dwustronną regularną S o równaniu
)
,
(
y
x
g
z
=
, gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
, oraz funkcję
)
,
,
(
z
y
x
f
określoną
i ograniczoną na tej powierzchni.
Powierzchnię
S
dzielimy na n dowolnych części
n
S
S
S
,
,
,
2
1
K
o polach
n
S
S
S
,
,
,
2
1
K
i z ka
Ŝ
dej z tych cz
ęś
ci wybieramy po jednym
dowolnym punkcie
)
,
,
(
i
i
i
i
z
y
x
M
.
Wtedy istnieje granica sum
∑
=
n
i
i
i
i
i
S
z
y
x
f
1
)
,
,
(
, gdy średnice
i
∂
wszystkich części
i
S dąŜą do zera, niezaleŜna od sposobu podziału
powierzchni S na części i od wyboru punktów
)
,
,
(
i
i
i
i
z
y
x
M
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 4 / 25
Definicja 3 (całki powierzchniowej niezorientowanej)
Całką powierzchniową niezorientowaną nazywamy
∑
=
→
∂
n
i
i
i
i
i
S
z
y
x
f
n
1
0
)
,
,
(
lim
i oznaczamy
∫∫
S
dS
z
y
x
f
)
,
,
(
.
Czyli
∑
∫∫
=
→
∂
=
n
i
i
i
i
i
S
S
z
y
x
f
dS
z
y
x
f
n
1
0
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 5 / 25
Twierdzenie 1
(o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej
na całkę podwójną)
JeŜeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na płacie powierzchniowym
regularnym S o równaniu
)
,
(
y
x
g
z
=
, gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
, to całka
powierzchniowa niezorientowana istnieje i wyraŜa się wzorem
[
] [
]
∫∫
∫∫
+
+
=
D
y
x
S
dxdy
y
x
g
y
x
g
y
x
g
y
x
f
dS
z
y
x
f
2
'
2
'
)
,
(
)
,
(
1
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
gdzie D jest obszarem płaskim regularnym będącym rzutem płata S
na płaszczyznę xOy.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 6 / 25
Analogicznie jeśli:
•
S :
)
,
(
z
x
g
y
=
, gdzie
1
)
,
(
D
z
x
∈
[
] [
]
∫∫
∫∫
+
+
=
D
z
x
S
dydz
z
x
g
z
x
g
z
z
x
g
x
f
dS
z
y
x
f
2
'
2
'
)
,
(
)
,
(
1
)
),
,
(
,
(
)
,
,
(
•
S :
)
,
(
z
y
g
x
=
, gdzie
2
)
,
(
D
z
y
∈
[
] [
]
∫∫
∫∫
+
+
=
D
z
y
S
dydz
z
y
g
z
y
g
z
y
z
y
g
f
dS
z
y
x
f
2
'
2
'
)
,
(
)
,
(
1
)
,
),
,
(
(
)
,
,
(
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 7 / 25
Definicja 4
Powierzchnię S o równaniach parametrycznych
)
,
( v
u
x
x
=
,
)
,
( v
u
y
y
=
,
)
,
( v
u
z
z
=
,
∆
∈
)
,
( v
u
,
(1)
nazywamy płatem powierzchniowym regularnym jeśli spełnione
są następujące warunki:
1. róŜnym punktom
)
,
( v
u
obszaru jednospójnego
∆
odpowiadają
przy przekształceniu (1) róŜne punkty
)
,
,
(
z
y
x
powierzchni S ,
2. funkcje (1) są ciągłe w obszarze
∆
i na jego brzegu,
3. pierwsze pochodne cząstkowe funkcji (1) są ciągłe
i ograniczone w tym obszarze,
4. nie wszystkie podwyznaczniki stopnia drugiego macierzy
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v
z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x
(2)
znikają jednocześnie w całym obszarze
∆
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 8 / 25
Twierdzenie 2
JeŜeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
f
jest ciągła na płacie powierzchniowym
regularnym S o równaniach (1), to całka powierzchniowa
niezorientowana istnieje i wyraŜa się wzorem
(
)
∫∫
∫∫
+
+
=
D
S
dudv
C
B
A
v
u
z
v
u
y
v
u
x
f
dS
z
y
x
f
2
2
2
)
,
(
),
,
(
),
,
(
)
,
,
(
,
gdzie
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
v
z
v
y
u
z
u
y
A
,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
v
x
v
z
u
x
u
z
B
,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
v
y
v
x
u
y
u
x
A
są odpowiednimi wyznacznikami macierzy (2).
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 9 / 25
W skrócie
(
)
∫∫
∫∫
∆
+
+
=
=
dudv
v
u
D
y
x
D
v
u
D
x
z
D
v
u
D
z
y
D
v
u
z
v
u
y
v
u
x
f
dS
z
y
x
f
S
2
2
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
,
(
),
,
(
)
,
,
(
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 10 / 25
Fakt 1 (zastosowania geometryczne)
Pole płata powierzchniowego gładkiego S wyraŜa się wzorem
∫∫
=
S
dS
S
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 11 / 25
C
AŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
RozwaŜmy gładki płat powierzchniowy S o równaniu
)
,
(
y
x
g
z
=
, gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
.
Płatu temu moŜna nadać orientację, rozróŜniając dwie jego strony:
ujemną, i dodatnią,. Mówimy wówczas, Ŝe płat S został zorientowany
od strony nazwanej ujemną, do strony nazwanej dodatnią,.
Zorientowanie płata S powoduje ustalenie pewnego kierunku
normalnej (od strony ujemnej do strony dodatniej płata) w kaŜdym
jego punkcie.
JeŜeli S oznacza płat powierzchniowy, to symbol
S
−
oznacza płat
róŜniący się od S tylko zorientowaniem (orientacją).
Mówimy, Ŝe płaty S i S
−
są przeciwnie zorientowane.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 12 / 25
Uwaga 1
Jeśli powierzchnia S jest zamknięta, to za powierzchnię dodatnią
przyjmuje się jej zewnętrzną stronę.
Uwaga 2
Nie dla kaŜdej powierzchni moŜna ustalić orientację, tj. nie kaŜda
powierzchnia jest powierzchnią dwustronną.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 13 / 25
Definicja 5 (całki powierzchniowej zorientowanej)
Niech
)
,
,
(
z
y
x
P
P
=
,
)
,
,
(
z
y
x
Q
Q
=
,
)
,
,
(
z
y
x
R
R
=
,
Oznaczają trzy funkcje określone i ciągłe na płacie regularnym
zorientowanym S postaci
)
,
(
y
x
f
z
=
, gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
,
zaś
α
cos ,
β
cos
i
γ
cos
oznaczają
kosinusy kierunkowe wektora
normalnego do powierzchni
S
, zorientowanego od strony ujemnej
do dodatniej.
Przy tych zało
Ŝ
eniach całk
ę
postaci
(
)
∫∫
+
+
S
dS
R
Q
P
γ
β
α
cos
cos
cos
(*)
nazywamy całk
ą
powierzchniow
ą
zorientowan
ą
po płacie
regularnym zorientowanym
S
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 14 / 25
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c,
Ŝ
e mi
ę
dzy polem
dS
dowolnie małego elementu płata
powierzchniowego
S
i polami
dxdy
,
dydz
i
dxdz
rzutu tego elementu
odpowiednio na płaszczyzny
xOy
,
yOz
i
xOz
zachodz
ą
zwi
ą
zki:
α
cos
dS
dydz
=
,
β
cos
dS
dzdx
=
,
γ
cos
dS
dxdy
=
,
całk
ę
powierzchniow
ą
zorientowan
ą
mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci
∫∫
+
+
S
Rdxdy
Qdzdx
Pdydz
.
(**)
Przedstawienia (*) i (**) s
ą
równowa
Ŝ
ne.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 15 / 25
Uwaga 3
Je
Ŝ
eli zamienimy stron
ę
dodatni
ą
płata na ujemn
ą
, to funkcje
α
cos ,
β
cos
i
γ
cos zmieniaj
ą
znak. Je
ś
li oznaczymy przez
S
−
płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do
S
, to
(
)
(
)
∫∫
∫∫
+
+
−
=
+
+
−
S
S
dS
R
Q
P
dS
R
Q
P
γ
β
α
γ
β
α
cos
cos
cos
cos
cos
cos
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 16 / 25
Twierdzenie 3
Je
Ŝ
eli płat powierzchniowy gładki
S
okre
ś
lony jest równaniami
parametrycznymi
)
,
(
v
u
x
x
=
,
)
,
(
v
u
y
y
=
,
)
,
(
v
u
z
z
=
,
∆
∈
)
,
(
v
u
,
to całka powierzchniowa zorientowana
∫∫
+
+
S
Rdxdy
Qdzdx
Pdydz
sprowadza si
ę
do całki podwójnej po obszarze płaskim
∆
, czyli
(
)
+
=
+
+
∫∫
∫∫
∆
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
,
(
),
,
(
[
v
u
D
z
y
D
v
u
z
v
u
y
v
u
x
P
Rdxdy
Qdzdx
Pdydz
S
(
)
+
+
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
,
(
),
,
(
v
u
D
x
z
D
v
u
z
v
u
y
v
u
x
Q
(
)
dudv
v
u
D
y
x
D
v
u
z
v
u
y
v
u
x
R
]
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
,
(
),
,
(
+
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 17 / 25
Twierdzenie 4
JeŜeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
R
jest ciągła na płacie regularnym S
o równaniu postaci
)
,
(
y
x
f
z
=
, gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
, zorientowanym
dodatnio, to całka powierzchniowa zorientowana
∫∫
S
dxdy
z
y
x
R
)
,
,
(
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
∫∫
∫∫
=
D
S
dxdy
y
x
f
y
x
R
dxdy
z
y
x
R
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
gdzie D jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę xOy.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 18 / 25
Twierdzenie 4
(cd.)
JeŜeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
P
jest ciągła na płacie regularnym S
o równaniu postaci
)
,
(
z
y
g
x
=
, gdzie
1
)
,
(
D
z
y
∈
, zorientowanym
dodatnio (tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim
kierunkiem osi Ox kąt ostry), to całka powierzchniowa
zorientowana
∫∫
S
dydz
z
y
x
P
)
,
,
(
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
∫∫
∫∫
=
1
)
,
),
,
(
(
)
,
,
(
D
S
dydz
z
y
z
y
g
R
dydz
z
y
x
P
gdzie
1
D jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę yOz.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 19 / 25
Twierdzenie 4
(cd.)
JeŜeli funkcja
)
,
,
(
z
y
x
Q
jest ciągła na płacie regularnym S
o równaniu postaci
)
,
(
z
x
h
y
=
, gdzie
2
)
,
(
D
z
x
∈
, zorientowanym
dodatnio (tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim
kierunkiem osi Oy kąt ostry), to całka powierzchniowa
zorientowana
∫∫
S
dxdz
z
y
x
Q
)
,
,
(
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
∫∫
∫∫
=
2
)
),
,
(
,
(
)
,
,
(
D
S
dxdz
z
z
x
h
x
Q
dxdz
z
y
x
Q
gdzie
2
D jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę xOz.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 20 / 25
Twierdzenie 5
JeŜeli funkcje
)
,
,
(
z
y
x
P
,
)
,
,
(
z
y
x
Q
,
)
,
,
(
z
y
x
R
są ciągłe na płacie
powierzchniowym regularnym opisanym równaniem
)
,
(
y
x
f
z
=
,
gdzie
D
y
x
∈
)
,
(
, to
∫∫
∫∫
+
−
−
=
=
+
+
d
y
x
S
y
x
f
y
x
f
y
x
Q
y
x
f
y
x
f
y
x
P
dxdy
z
y
x
R
dxdz
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
)
,
(
))
,
(
,
,
(
)
,
(
))
,
(
,
,
(
[
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
'
'
ε
dxdy
y
x
f
y
x
R
))]
,
(
,
,
(
+
,
przy czym
1
=
ε
, jeŜeli płat S zorientowany jest tak, Ŝe
0
cos
>
γ
,
natomiast
1
−
=
ε
jeśli orientacja jest przeciwna.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 21 / 25
Fakt 2 (zastosowania geometryczne)
JeŜeli powierzchnia zamknięta i gładka S jest zorientowana
dodatnio, to objętość
V
bryły ograniczonej tą powierzchnią moŜe
być obliczona jako całka powierzchniowa zorientowana
∫∫
+
+
=
S
zdxdy
ydxdz
xdydz
V
3
1
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 22 / 25
Twierdzenie 6 (
Gaussa-Ostrogradzkiego
)
JeŜeli funkcje
)
,
,
(
z
y
x
P
,
)
,
,
(
z
y
x
Q
,
)
,
,
(
z
y
x
R
są ciągłe wraz
z pochodnymi cząstkowymi
x
P
∂
∂
,
y
Q
∂
∂
,
z
R
∂
∂
wewnątrz i na brzegu
obszaru przestrzennego V , który jest normalny względem
wszystkich płaszczyzn układu współrzędnych i jeŜeli brzeg S
obszaru V jest powierzchnią regularną zamkniętą zorientowaną
skierowaniem wektora normalnego do powierzchni S na zewnątrz
obszaru V , to
∫∫∫
∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
V
S
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
Rdxdy
Qdzdx
Pdydz
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 23 / 25
Uwaga 4
Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego jest prawdziwy równieŜ dla
obszarów, które dają się podzielić na skończoną ilość obszarów
normalnych względem płaszczyzn układu współrzędnych.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 24 / 25
Twierdzenie 7 (
Stokesa)
JeŜeli funkcje
)
,
,
(
z
y
x
P
,
)
,
,
(
z
y
x
Q
,
)
,
,
(
z
y
x
R
są ciągłe wraz
z pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu w pewnym
obszarze zawierającym powierzchnię dwustronną S ograniczoną
krzywą K przy czym orientacja tej krzywej jest zgodna
z orientacją powierzchni S , to
∫∫
∫
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
+
+
S
K
dxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
Rdz
Qdy
Pdx
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 25 / 25
Uwaga 5
Zgodność orientacji krzywej K będącej brzegiem płata
powierzchniowego S z orientacją tego płata naleŜy rozumieć
w ten sposób, Ŝe obieg dodatni na krzywej K wokół wektora
normalnego n
r
do powierzchni S jest zgodny z obiegiem wokół osi
Oz krzywej C , która jest rzutem krzywej K na płaszczyznę xOy.