FUNKCJE UWIKŁANE

FUNKCJE UWIKŁANE 2 / 12

Definicja 1 (funkcje uwikłane)

Funkcją uwikłaną określoną w przedziale I równaniem

0

)

,

(

=

y

x

F

(*)

nazywamy każdą funkcję

)

( x

f

y

=

spełniającą równość

0

))

(

,

(

=

x

f

x

F

dla wszystkich x z przedziału I.

Mówimy również, że funkcja

)

( x

f

y

=

jest uwikłana równaniem (*).

FUNKCJE UWIKŁANE 3 / 12

Przykład 1

Naszkicować wykresy funkcji uwikłanych określonych równaniami:

a)

4

2

2

=

+

y

x

,

b)

0

2

2

=

−

y

x

.

FUNKCJE UWIKŁANE 4 / 12

Twierdzenie 1

(o istnieniu i ró

ż

niczkowalno

ś

ci funkcji uwikłanej)

Je

ż

eli funkcja

)

,

(

y

x

F

ma ci

ą

głe pochodne cz

ą

stkowe rz

ę

du

pierwszego w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

oraz spełnia

warunki

0

)

,

(

0

0

=

y

x

F

i

0

)

,

(

0

0

≠

∂

∂

y

x

y

F

,

to w pewnym otoczeniu O punktu

0

x

istnieje jednoznacznie

okre

ś

lona funkcja uwikłana

)

( x

f

y

=

spełniaj

ą

ca warunki:

a)

0

0

)

(

y

x

f

=

,

b)

))

(

,

(

))

(

,

(

)

(

x

f

x

y

F

x

f

x

x

F

x

f

∂

∂

∂

∂

−

=

′

dla ka

ż

dego

O

x

∈

.

FUNKCJE UWIKŁANE 5 / 12

Uwaga 1

Je

ż

eli ponadto funkcja F ma ci

ą

głe pochodne rz

ę

du drugiego

w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

, to funkcja uwikłana

)

( x

f

y

=

jest dwukrotnie ró

ż

niczkowalna w pewnym otoczeniu

punktu

0

x i jej druga pochodna wyra

ż

a si

ę

wzorem

3

2

2

)

(

)

(

2

)

(

)

(

y

x

yy

y

x

xy

y

xx

F

F

F

F

F

F

F

F

x

f

+

−

−

=

′′

.

FUNKCJE UWIKŁANE 6 / 12

Przykład 2

Zbada

ć

, czy podane równania okre

ś

laj

ą

jednoznacznie ci

ą

gł

ą

funkcj

ę

uwikłan

ą

w pewnych otoczeniach wskazanych punktów.

a)

y

x

cos

=

,

)

0

,

1

(

=

A

,













=

3

,

2

1

π

B

;

b)

1

3

3

3

2

2

3

=

−

+

−

y

xy

y

x

x

,

)

2

,

3

(

=

A

,

)

1

,

0

(

−

=

B

.

Przykład 3

Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych

)

( x

f

y

=

określonych przez równania:

a)

0

1

2

2

=

+

+

−

y

y

x

, b)

0

sin

2

=

+

−

x

y

y

,

c)

0

arctg

2

=

−

−

x

e

y

y

, d)

y

y

x

ln

+

=

.

FUNKCJE UWIKŁANE 7 / 12

Przykład 4

Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi
równaniami we wskazanych punktach tych krzywych:

a)

(

)

0

3

2

=

+

−

+

=

−

y

x

xy

y

x

,

)

1

,

1

(

−

=

A

;

b)

1

ln

2

2

=

+

+

xy

y

x

,

)

0

,

1

(

=

A

.

FUNKCJE UWIKŁANE 8 / 12

Twierdzenie 2

(o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)

Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego
w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

oraz niech spełnia warunki:

1.

0

)

,

(

0

0

=

y

x

F

,

2.

0

)

,

(

0

0

=

∂

∂

y

x

x

F

,

0

)

,

(

0

0

≠

∂

∂

y

x

y

F

,

3.

0

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

2

2

≠

∂

∂

∂

∂

−

=

y

x

y

F

y

x

x

F

A

.

Wtedy funkcja uwikłana

)

( x

f

y

=

określona równaniem

0

)

,

(

=

y

x

F

ma w punkcie

0

x ekstremum lokalne właściwe

i jest to: minimum, gdy

0

>

A

albo maksimum, gdy

0

<

A

.

FUNKCJE UWIKŁANE 9 / 12

Uwaga 2

Równość

0

)

,

(

0

0

=

∂

∂

y

x

x

F

jest warunkiem koniecznym,

a nierówność

0

)

,

(

0

0

2

2

≠

∂

∂

y

x

x

F

warunkiem wystarczającym

istnienia ekstremum funkcji uwikłanej.

FUNKCJE UWIKŁANE 10 / 12

A

LGORYTM ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW LOKALNYCH

FUNKCJI UWIKŁANEJ

1.

Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema lokalne

znajdujemy korzystając z warunku koniecznego istnienia
ekstremum, tj. rozwiązując układ równań:









=

∂

∂

=

0

)

,

(

0

)

,

(

y

x

x

F

y

x

F

Dla otrzymanych punktów sprawdzamy, czy spełniony jest warunek

0

)

,

(

0

0

≠

∂

∂

y

x

y

F

.

FUNKCJE UWIKŁANE 11 / 12

2. W otrzymanych punktach sprawdzamy warunek wystarczający
istnienia ekstremum funkcji, tj. badamy, czy zachodzi nierówność

0

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

2

2

≠

∂

∂

∂

∂

−

=

y

x

y

F

y

x

x

F

A

.

Na podstawie znaku A ustalamy rodzaj ekstremum.

FUNKCJE UWIKŁANE 12 / 12

Przykład 5

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych

)

( x

f

y

=

określonych równaniami:

a)

0

8

3

3

=

−

+

xy

y

x

, b)

0

4

2

2

2

=

+

−

−

+

y

x

xy

y

x

,

c)

(

)

)

(

2

2

2

2

2

2

y

x

y

x

−

=

+

, c)

2

4

2

x

y

y

=

−

.