Test dla wariancji:
Założenia i dane: jak w teście dla wartości oczekiwanej.

Cel: Weryfikacja hipotezy zerowej względem hipotezy alternatywnej

Hipotezy: H₀ : σ² = σ₀²
H₁ : σ² > σ₀² prawostronny obszar krytyczny (zawsze)

Obliczenia: punktowy (nieobciążony) estymator wariancji $\hat{S^{2}}$
wartość statystki ² wg wzoru:
² = $\frac{(n - 1)\hat{S^{2}}}{\sigma_{0}^{2}}$ Przy założeniu prawdziwości alternatywy
zerowej statystyka ² ma rozkład ² o df=n-1 stopniach
swobody

Prawostronny obszar krytyczny:

Test dla par obserwacji:

Założenie: badana w populacji cecha statystyczna ma rozkład normalny N(m,σ) o nieznanych
parametrach, dwukrotny pomiar badanej cechy: przed i po zadziałaniu czynnika
zewnętrznego.

Dane: wyniki próby x_i(przed) i y_i(po) i =1,2,3…,n
skala różnicowa/ilorazowa
liczebność próby n
poziom istotności α(przyjęte arbitralnie małe prawdopodobieństwo)

Cel: Weryfikacja hipotezy zerowej względem alternatywnej.

Hipotezy: H₀ : $\overset{\overline{}}{z}$= 0
H₁ : $\overset{\overline{}}{z} \neq$ 0 ($\overset{\overline{}}{z}$> 0 lub $\overset{\overline{}}{z}$< 0)

Obliczenia: różnicowanie wartości serii pomiarowych ( po – przed)
średnia różnica$\text{\ \ }\overset{\overline{}}{z}$
odchylenie standardowe różnic $\hat{s_{z}}$
wartość statystyki t wg wzoru:
t = $\frac{\overset{\overline{}}{z}}{\hat{s_{z}}}\ \sqrt{n}$ Przy założeniu prawidłowości hipotezy zerowej
statystyka t ma rozkład t Studenta o df=n-1 stopni swobody.


Wnioskowanie: analogicznie jak w innych testach parametrycznych wykorzystujących rozkład
t Studenta.

Test dla dwóch wariancji:

Założenie: badana w dwóch populacjach cecha statystyczna ma rozkład normalny, odpowiednio N₁(m₁,σ₁) i N₂(m₂,σ₂)
parametry rozkładu nie są znane

Dane: wyniki próby x₁ i x₂
skala różnicowa/ilorazowa
liczebność próby n₁ i n₂
poziom istotności α(przyjęte arbitralnie małe prawdopodobieństwo)

Cel: Weryfikacja hipotezy zerowej względem alternatywnej.

Hipotezy: H₀ : σ₁²= σ₂²
H₁ : σ₁²> σ₂² prawostronny obszar krytyczny (zawsze)

Obliczenia: punktowe estymatory wariancji $\hat{s_{1}^{2}}$ i $\hat{s_{2}^{2}}$
wartość statystyki F wg wzoru:
F = $\frac{\hat{s_{1}^{2}}}{\hat{s_{2}^{2}}}$ ale musi zachodzić $\hat{s_{1}^{2}}$ > $\hat{s_{2}^{2}}$
Przy założeniu prawidłowości hipotezy zerowej statystyka F ma
rozkład F o df₁ = n₁ – 1 i df₂ = n₂ – 1 stopniach swobody.

Prawostronny obszar krytyczny:

Test dla dwóch średnich:

Założenia i dane : tak jak w teście dla dwóch wariancji.

Cel: weryfikacja hipotezy zerowej względem alternatywnej

Hipotezy: H₀ : m₁ = m₂
H₁ : m₁ ≠m₂ (m₁ <m₂ lub m₁ > m₂ )

Obliczenia: punktowe estymatory wartości oczekiwanej $\overset{\overline{}}{x_{1}}$ i $\overset{\overline{}}{x_{2}}$
punktowe estymatory wariancji $\hat{s_{1}^{2}}$ i $\hat{s_{2}^{2}}$
wartość statystki t wg wzoru:

WARIANT I: t = $\frac{\overset{\overline{}}{x_{1}} - \ \overset{\overline{}}{x_{2}}}{\sqrt{\frac{\left( n_{1} - 1 \right)\hat{s_{1}^{2}}\ + (n_{2} - \ 1)\hat{s_{2}^{2}}}{n_{1} + \ n_{2} - \ 2}}\ (\frac{1}{n_{1}} + \ \frac{1}{n_{2}}\ )}$ Przy założeniu prawidłowości hipotezy zerowej statystyka t ma rozkład df= n1+n2-2

WARIANT II: warunek σ₁²≠ σ₂² t=$\frac{\overset{\overline{}}{x_{1}} - \ \overset{\overline{}}{x_{2}}}{\sqrt{\frac{\hat{s_{1}^{2}}\ }{n_{1}} + \frac{\hat{s_{2}^{2}}}{n_{2}}}}$ Przy założeniu
prawidłowości hipotezy zerowej statystyka t ma rozkład df=
df = $\frac{(\frac{\hat{s_{1}^{2}}\ }{n_{1}} + \frac{\hat{s_{2}^{2}}}{n_{2}})}{\frac{(\frac{\hat{s_{1}^{2}}}{n_{1}})^{2}}{n_{1} - 1} + \ \frac{(\frac{\hat{s_{2}^{2}}}{n_{2}})^{2}}{n_{1} - 1}}$
Wnioskowanie: analogicznie jak w innych testach parametrycznych wykorzystujących
rozkład t Studenta.

Przed przystąpieniem do weryfikacji statystycznej za pomocą testu dla dwóch średnich należy obowiązkowo sprawdzić, który wariant testu można zastosować.

Wyboru odpowiedniego wariantu dokonuje się po przeprowadzenia weryfikacji za pomocą testu F dla dwóch wariancji : brak podstaw do odrzucenia hipotezy w tym teście umożliwia zastosowanie wariantu pierwszego ????????????????????????????????????????????????????????????????????
H₀ $\sqrt{}$ wariant pierwszy H₁ $\sqrt{}$ wariant drugi

Test dla wielu wariancji (Bartletta):

Założenia: Badania w wielu (k) populacjach cecha statystyczna ma rozkład normalny; N_i(m_i,σ_i) k≥3
parametry rozkładów nie są znane

Dane : wyniki próby x i j
skala różnicowa/ilorazowa
liczebność próby n
poziom istotności

Cel : Weryfikacja hipotezy zerowej względem hipotezy alternatywnej

Hipotezy: H₀ : σ₁²= σ₂²= σ₃²= …= σ_k²
H₁ : nie wszystkie wariancje są równe

Obliczenia : punktowe estymatory wariancji $\hat{s_{i}^{2}}$
łączne oszacowanie wariancji $\tilde{s^{2}}$
poprawka c
statystyka ²
$\hat{s_{i}^{2}}$ = $\frac{1}{n - 1}\ \sum_{j = 1}^{n_{i}}{(x_{\text{ij}} - \ \overset{\overline{}}{x_{i}}\ )^{2}}$
gdzie: $\overset{\overline{}}{x_{i}}$ = $\frac{1}{n_{1}}\sum_{i = 1}^{k}x_{\text{ij}}$

$\tilde{s^{2}}$ = $\frac{1}{n - k}\sum_{i = 1}^{k}{(n_{i} - 1)}\hat{s_{i}^{2}}$
gdzie: n=$\sum_{i = 1}^{k}n_{i}$

C = 1 + $\frac{1}{3(k - 1)}\ (\sum_{i = 1}^{k}{\frac{1}{n_{i} - \ 1} - \ \frac{1}{n - k}\ )}$
² = $\frac{1}{C}$[(n-k)ln$\tilde{s^{2}}$ – $\sum_{i = 1}^{k}{\left( n_{i} - \ 1 \right)\ln}\hat{s_{i}^{2}}\rbrack$

Przy założeniu hipotezy zerowej ² o df=k-1

Obliczenia i wnioskowanie: jak przy wariancji

Test dla dwóch średnich (klasyfikacja pojedyncza):

Założenia: jak wcześniej przy t; warunek H₀ : σ₁²= σ₂²= σ₃²= …= σ_k²

Dane: wyniki prób
liczebność n
poziom istotności α

Hipotezy: H₀ : m₁²= m₂²= m₃²= …= m_k²
H₁ : nie wszystkie wariancje są równe

Obliczenia: estymator wariancji (zm. Między populacjami) $\hat{s_{p}^{2}}$
estymator wariancji (zm. Wewnątrz populacji) $\hat{s_{m}^{2}}$
statystyka F
$\hat{s_{p}^{2}} = \ \frac{1}{k - 1}\ \sum_{i = 1}^{k}{(\overset{\overline{}}{x_{i}} - \ \overset{}{x})^{2}n_{i}}$
gdzie: $\overset{\overline{}}{x_{i}} = \ \frac{1}{n_{i}}\ \sum_{j = 1}^{k}x_{\text{ij}}$ oraz $\overset{}{x} = \ \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{k}{\sum_{j = 1}^{n_{i}}x_{\text{ij}}}$
$\hat{s_{w}^{2}}$ = $\frac{1}{n - k}\sum_{i = 1}^{k}{\sum_{j = 1}^{n_{i}}{(x_{\text{ij}} - \ \overset{\overline{}}{x_{j}}\ )^{2}}}$
Estymator wariancji $\hat{s_{w}^{2}}$ jest tożsamościowo równy estymatorowi mierzącemu łączną
zmienność (uogólnienia wariancji – test Bartlletta)
F = $\frac{\hat{s_{p}^{2}}}{\hat{s_{w}^{2}}\ }$ Przy założeniu prawidłowości hipotezy zerowej statystki F o
df = n-k