GEODEZJA

WYKŁAD

Rachunek 

współrzędnych

Katedra Geodezji im. K. Weigla

ul. Poznańska 2/34 

Metody obliczeń geodezyjnych stosowane do 

obliczenia współrzędnych punktów

 

:

 

-osnów

 geodezyjnych,

- szczegółów terenowych przy 

aktualizacji map

 

gospodarczych, 

- obiektów przy wyznaczaniu kształtu lub zmian 
ich kształtu (

przemieszczeń i odkształceń

 

budowli),

- projektowanych budowli

 przy opracowaniu 

geodezyjnym projektów zagospodarowania 
terenu,

- obiektów przy 

inwentaryzacji powykonawczej

 i 

pomiarach kontrolnych.

Punkt P

2

 na prostej (koniec odcinka)

2

1

1

2

2

1

1

2

sin

cos

















d

y

y

d

x

x

r

x

y

arctg

y

x

d



















)

(

2

1

2

2



 

Δx

1,2

  = x

2

 – x

1

  , Δy

1,2

 = y

2

 – y

1

 .

Oznaczenia:

d – długość odcinka P

1

 P

2

 ,



1-2

 – azymut odcinka P

1

 P

2

 ,

x, y – przyrosty (różnice) współrzędnych: 
x

1-2

 = x

2

 – x

1

,      y

1-2

 = y

2

 – y

1

 ,

r – składnik redukcyjny zależny od orientacji odcinka, 

(ćwiartki układu współrzędnych):

I.

    x 



 0 i y>0     r = 0,       

II.

  x 



 0 i y>0     r = 



III.

  x 



 0 i y<0     r = 



,      

IV.

  x 



 0 i y<0     r = 2



Azymut odcinka i azymut odwrotny:



2-1

 = 

1-2

 ± 





1-2

 = 

2-1

 ± 



W jednostkach miary stopniowej 



 = 180 

o

,  gradowej 



 

= 200 

g

, 

Obliczenie kąta:

  

 

1-

2

 





1-3

P

1

 

P

2

P

3

 = 

1-3

 -  

1-

2

 

Kąt poziomy  jako różnica azymutów odcinków.

Punkty na prostopadłej:

X

Y

P

1

P

2

P

L

P

P

d

L

d

P

b

L

 
b

P

P

L 

:

x

L

 = x

1

 + b

L

 cos 



1-2

 + d

L

 sin 



1-2

 

y

L

 = y

1

 + b

L

 sin 



1-2

 - d

L

 cos 



1-2

P

P 

:

x

P

 = x

1

 + b

P

 cos 



1-2

 - d

P

 sin 



1-2

 

y

P

 = y

1

 + b

P

 sin 



1-2

 + d

P

 cos 



1-2

               b

P

, d

P

 – miara bieżąca i domiar prostokątny 

punktu P

P

Zasady obliczania wcięcia kątowego w 
przód

X

Y

A

B

P

 

A-P



A



B

 

A-P 

– azymut kierunku wcinającego

AB – baza wcięcia

     

A-P 

=  

A-B 

– 

A

    d 

A-B 

= [(x

B

 – x

A

)

2

 + (y

B

 – y

A

 )

2

]

1/2

    d 

A-P 

= (d

AB

 sin 

B

)/sin(

A

 +

B

)

x

P

 = x

A

 +d

AP

 cos 



A-P

y

P

 = y

A

 + d

AP

 sin 



A-P

d 

A-B 

Zasady obliczania wcięcia liniowego w przód

    

A-P 

= 

A-B 

– 

A

    d 

A-B 

= [(x

B

 – x

A

)

2

 + (y

B

 – y

A

 )

2

]

1/2

   cos(

A

)

 

= (d

2

A-B

+ d

2

A-P

- d

2

B-P

)/(2d

A-B 

d

A-B 

)

x

P

 = x

A

 +d

A-P

 cos 



A-P

y

P

 = y

A

 + d

A-P

 sin 



A-P

X

Y

A

B

P

 

A-P



A



B

d

A-B 

d

A-P

d

B-P

d

A-P

, d

B-P

 – długości odcinków (z pomiaru)



A

 , 

B

 - wartości kątów poziomych (obliczone)

Obliczenie wcięcia wstecz:

P

1

P

2

P

3

 

S-P1

S



1



2



1

 ,

2

 – kąty poziome z pomiaru,  pomocnicze obliczone: 

, ,,,
S – punkt wyznaczany z wcięcia

(

) (

)

2

2

1 2

2

1

2

1

d 

x x

y y

-

=

-

+ -

(

)

45

2

2

o

tg

tg

tg

j y

j y

m

-

+

=

-









+ = 360

º

 – ( +  + 



2

)

 = 180

º

 – (

1

+)

 = 180

º

 – (

2

 - 

1

+)

X

Y

d

1-2

d

2-

3

ctg  = (d

2-3 

sin 

1

)/(d

1-2

 sin(

2

 - 



1

))

d

S-P1

= (d

1-2

 sin )/ sin 

1



S-P1

= 180

º

 + (

1-2 

+)

X

Y

B

C

P

i

Przeliczenie współrzędnych z układu 

biegunowego



i

 - kąt biegunowy punktu 

P

i

  

d

i 

 - odległość biegunowa 



i

d

i

   

B-Pi 

= 

B-C 

+ 

i

  x

Pi

 = x

B

 +d

i

 cos 



B-Pi

  y

Pi

 = y

B

 + d

i

 sin 



B-Pi



B-C

B – biegun układu - (stanowisko pomiarowe)

BC – oś biegunowa

Dane:

Przeliczenie współrzędnych z układu 
prostokątnego

X

Y

B

C

P

i



i

 - kąt biegunowy punktu 

P

i

  

d

i 

 - odległość biegunowa 



i

d

i

  



i 

=

  

 

B-Pi 

- 

B-C 



A-P

Do 
obliczenia:

Y

B

X

B

Dane:  

 X

B

 , Y

B

  współrzędne bieguna układu 

             X

C

 , Y

C

  współrzędne punktu na osi biegunowej

2

B

Pi

2

B

Pi

i

)

Y

-

(Y

)

X

(X

d







)

Y

X

Y

Y

(

 

arctg

 

B

C

B

C

C

B-









)

Y

X

Y

Y

(

 

arctg

 

B

Pi

B

Pi

Pi

B-









Punkt przecięcia dwóch prostych (odcinków)

X

P

1

P

o

P

4

P

3

P

2

A

1 

x + B

1 

y + C

1

= 0

A

2 

x + B

2 

y + C

2

= 0

X

O

 = (C

1 

A

2 

- C

2

A

1

 )/(A

1 

B

2

 - A

2 

B

1

) 

Y

O

 = (C

2 

B

1 

– C

1

B

2

 )/(A

1 

B

2

 - A

2 

B

1

)

Y

x

1-2

 = x

P2

 – x

P1

,      y

1-2

 = y

P2

 

– y

P1

x

3-4

 = x

P4

 – x

P3

,      y

3-4

 = y

P4

 

– y

P3

współczynniki

A = - y,  B = x,  
C = y x

Pk

 -  x y

Pk      

(k=1 lub 

3)

Układ 
równań:

OBLICZENIE POLA POWIERZCHNI FIGUR

Pole figury na podstawie miar:

• Z bezpośredniego pomiaru
• Z mapy 

Metody:

- graficzna (podział figury na trójkąty, trapezy, 
prostokąty)

- analityczna (z pomierzonych wymiarów, współrzędnych)
- mechaniczna (planimetry)

Metoda 

graficzna

 

wyznaczania 

pól 

bazuje 

na 

miarach 

pomierzonych  na  mapie  Stawia    metodę  graficzną  w  grupie  metod 

niższej  dokładności

.  Pomiary  na  mapie  elementów  potrzebnych  do 

obliczenia  wyznaczanego  pola  zawierają  błędy. 

Błąd  względny

 

wyznaczania  pola  metodą  graficzną 

w  =  1/200.

  Działkę  wybraną  do 

pomiaru dzieli się na figury proste (trójkąty, prostokąty i trapezy), w 
których potrzebne długości odcinków wyznaczamy za pomocą cyrkla i 
podziałki.

Metoda  analityczna

  -  elementy  potrzebne  do  obliczenia  są 

mierzone  w  terenie,  a  pole  powierzchni  określone  jest  na  podstawie 
tych 

pomiarów 

lub 

ich 

funkcji 

(współrzędnych).

 

Błąd  względny  pola:   

w  =  1/1000 

(gdy  błąd  pomiaru  kątów  będzie 

±1”  ,  a  błąd  względny  pomiaru  długości  boków  nie  większy  od 
1/2000). 

Metoda  mechaniczna

  polega  na  pomiarze  powierzchni  na  mapach 

przy użyciu planimetrów. Urządzenia te w wyniku przeprowadzonego 
pomiaru  dają  wartość  odczytu  kółka  całkującego.  Do  obliczenia  pola 
wykorzystuje  się  wzór:      P  =  C

1

*n.  C

1

  –  stała  planimetru  zależna  od 

skali  rysunku  i  długości  ramienia  wodzącego  przyrządu.  Dokładność 
jest równoważna metodzie graficznej.

Często  stosowana  w  praktyce  jest  kombinacja  metody  analitycznej  i 
graficznej.  Ma  szczególne  zastosowanie  przy  pomiarach  wąskich  i 
długich działek. Z wstępnej analizy dokładności na podstawie wzoru: 
P  =  a*b,  wnioskujemy,  że  decydujący  wpływ  na  błąd  pola,  ma  błąd 
boku krótkiego. 

Błąd względny pola:  

w = 1/2000 - 1/500 zależnie od 

skali mapy.

1. Metoda graficzna podział figury na trapezy

Szablon linii równoległych w równych odstępach = h, na kalce 
(przeźroczystej folii), dzieli figurę na n trapezów. Cyrkiel pomaga w 
pomiarach średniej z obu podstaw każdego trapezu.

 b

i

cyrkie
l 

P = h 

 b

 i

 

Automatyzacja obliczania powierzchni na mapach

Znaczne przyspieszenie obliczania pola figur na 

mapach 

analogowych  i

  zwiększenie  dokładności  umożliwiają 

digimetry.

 Digimetr, to przetwornik graficzno-cyfrowy lub 

koordynatometr  (digitizer),  jest  urządzeniem,  które 
przetwarza  informacje  graficzne  (rysunek,  mapa)  na 

postać cyfrową

.  

Wyznaczenie  pól  figur  na 

mapach  numerycznych

: 

przebiega  automatycznie  pod  kontrolą  programów 
systemu  graficznego  obsługującego  mapę  numeryczną. 
Sprowadza się to do wskazania kursorem ikony z paska 
narzędziowego, 

a 

następnie 

kolejnych 

punktów 

(wierzchołków)  figury  na  obrazie  mapy  wyświetlonej  w 
oknie monitora. 

Systemy  informatyczne

  posiadają  specjalne 

moduły

, 

które  ułatwiają  proces  obliczania  pola  w  typowych 
zadaniach.  W  tym  przypadku  figury  na  mapach 
(rysunkach  projektów)  są  obiektami,  a  pole  figury  jest 
jedną  z  cech,  które  uzyskuje  się  przez  wskazanie 
dowolnego punktu obiektu.

Metoda graficzna - podział na trójkąty:

1

2

3 4

a

h

P

i

 = (a

i

 h

i

)/2









n

i

1

i

i

P

 

 

P

b

c

lub  wz. Herona:

q = (a+b+c)/2

P

i

 ={q(q-a)(q-b)(q-

c)}

½

Pole figury = Suma pól 
trójkątów:

1

2

3

2

4

1
2

n-1

n

S





i

 =  

i+1

 -  



i

Różnica kątów 
biegunowych:

d

s.-i

d

s.-{i+1}















n

i

1

i

i

1

i

1

i

i

)

sin(

d

 

d

 

0.5

 

 

P





3. Metoda analityczna - obliczenie pola ze współrzędnych 
biegunowych:

S – biegun (stanowisko pomiarowe)

współrzędne biegunowe:

Punkt nr 1

,   



1

 ,   d

s.-1

Metoda analityczna - obliczenie pola ze współrzędnych 

prostokątnych:

1

11

3

2

4

1
2

n

Obliczamy współrzędne wierzchołków 
figury lub  odczytujemy z mapy.

       

Wzór Gaussa:











n

i

1

i

1

-

i

1

i

i

)

y

-

y

(

x

 

0.5

 

 

P

Planimetry

- biegunowe
- wózkowe

Planimetry biegunowe

                         

mechaniczny

elektroniczny

1/300

      1/1000

B

KC

W

O

Zasada planimetru biegunowego

B – biegun

OW - R

w

 = długość ramienia 

wodzącego

W – wodzik

 BO  - R

B

 = długość ramienia 

biegunowego

KC – kółko całkujące

  r = promień kółka 

całkującego

P = (2



 r/1000)R

W

M

2

 

(O

k

-O

p

)

C

1

 = (2



 r/1000) R

W

M

2

P = C

1

 (O

k

 – O

p

)

C

1

 = stała planimetru [m

2

]

O

k

 – O

p

- różnica odczytów 

kółka

P = C

1

 (O

k

 – O

p

) + C

0

 – biegun 

wewnątrz

C

0

 = stała planimetru [m

2

]

Wyznaczenie stałej planimetru

C

1

 : C

2

 : C

3

 : . . .  = R

W1

: R

W2

: R

W3

: . . .

C

1

 : C

2

 : C

3

 : . . .  = M

1

2 

: M

2

2 

: M

3

2 

: . . .

M

i

 – mianowniki skal rysunków

C

1

 = P

t

 / (O

k

 – O

p

)

P

t

 = pole

 

figury testowej [m

2

]

O

k

 , O

p

= odczyty kółka całkującego

Aby uprościć obliczenia, można zmienić długość ramienia 
biegunowego, z R

1

 ustawionej na początku testu, na R

2

, 

przy której stała C

2

 będzie równa np. 10. Obliczamy 

długość : R

2

 = R

1

 * C

2

 / C

1

 , 

Obliczanie objętości budowli ziemnych

Do określenia objętości bryły zawartej między powierzchnią terenu a 
powierzchnią  projektowaną  najczęściej  stosowany  jest  sposób 
podziału  tej  bryły  na 

graniastosłupy

  o  podstawie 

kwadratu, 

prostokąta lub trójkąta

. 

1.  Metoda

 

siatki  kwadratów,  prostokątów  lub 

trójkątów

.

Wyznaczamy na powierzchni działki siatką figur (np. kwadratów) o 
określonej długości boku, np. a, w terenie (lub na mapie). dla każdego 
z wierzchołka figury określa się wysokość 

H

 k

 

z pomiaru

 

wysokościowego (

na mapie z interpolacji

 między warstwicami). 

Na podstawie danych możemy wyznaczyć różnice wysokości punktów 
terenu  i  powierzchni  projektowanej  w  wierzchołkach  kwadratów  o 
średnią dla graniastosłupa numerze k, 

h

 k

 = H

 k

 - H

 k

 Objętość k-tego 

graniastosłupa: V

 k

 = h

 k

 P

k

 

. Dla całej bryły:   V =  V

 k

 .

P

k

 

= pole podstawy graniastosłupa.

W skryptach spotykamy wzory dla typowych zadań:

  H

  i

  =  H

  i

  -  H

  i

  -  różnice  wysokości  punktów  (wierzchołków  siatki 

kwadratów i=1,2,3,4) 





























4

3

2

1

2

4

3

2

4

H

H

H

H

a

V

 
P

1

P

2

P

3

H

1

H

2

H

3 

H

1

H

2

H

3

Poziom porównawczy  H

o

Powierzchnia dolna (spód 
bryły)

powierzchnia górna 
bryły

Interpretacja wyznaczenia objętości nasypu metodą siatki figur

V

i 

 = 

P

i 

[(

H

1 

+ H

1

 + H

1

)/3 

- H

o

] 

V

i 

 = 

P

i 

[(

H

1 

+ H

1

 + H

1

)/3 

- H

o

]

 

V

’

 

 =

  

V

i

V”

 

 =

  

V

i

Objętość nadkładu: V = V

’ - 

V”

 

P

i

 – pole trójkąta (figury będącej podstawą graniastosłupa)

V

’ – 

suma objętości graniastosłupów do poziomu wtórnego (kolor 

niebieski)

 V”

 

– 

suma objętości graniastosłupów do poziomu pierwotnego (kolor 

zielony)

Punkty powierzchni górnej mogą tworzyć inną siatkę niż punkty 
powierzchni dolnej. Figury muszą jednak wypełniać obszar 
ograniczony brzegiem obu powierzchni.

Obliczanie objętości nasypu

Obliczanie objętości pryzmy węgla

Podział na elementy podłoża pryzmy

Obliczanie objętości robót ziemnych

 

cd

a — długość boku kwadratu.

 

  H

 1

 — suma dla punktów występujących pojedynczo

  H 

2 

— suma dla punktów wspólnych dla dwóch kwadratów,

 

  H 

3

— suma dla punktów wspólnych dla trzech kwadratów,

  H 

4 

— suma dla punktów wspólnych dla czterech kwadratów,

Dodatkowo należy obliczyć objętości graniastosłupów dla kwadratów 
z przebiegającą przez nie linią granicy obszaru. 

2. Metoda przekrojów obiektu

: 

V = 0.5(P1+P2)*d

 ,                                

  Dokładność wyznaczenia objętości zależy o odległości pomiędzy 
przekrojami. Powierzchnie przekrojów można wyznaczyć na 
przekrojach graficznie lub za pomocą planimetru.

przekrój 1

przekrój 2

d

Metoda  przekrojów  poprzecznych

  stosowana  powszechnie  przy 

obliczaniu  robót  ziemnych  w  opracowaniach  projektów  tras 
komunikacyjnych i obwałowań. 

H— odstęp (różnica wysokości) sąsiednich warstwic,
h  —  odległość  powierzchni  terenu  od  najwyższej  lub  najniższej 

płaszczyzny warstwowej o nr n,

P

i 

—  pole  powierzchni  ograniczonej  i-tą  warstwicą,  które  można 

wyznaczyć przy pomocy planimetru lub obliczyć ze współrzędnych

2

d

d

m

 

m

1

i

śr

o

V









n

i

3.  Metoda  przekrojów  poziomych  -  obliczenie  objętości  w  oparciu  o 
dane z map warstwicowych

Przy  wyznaczaniu  pojemności  zbiorników  wodnych  oraz  mas 
ziemnych  na  większych  obszarach,  dla  których  posiadamy  mapę 
warstwicową,  objętość  obliczymy  jako  sumę  brył  ograniczonych 
płaszczyznami warstwic i powierzchnią terenu.

Obliczana  objętość  jest  sumą  objętości  warstw  gruntu  zawartego 
pomiędzy płaszczyznami warstwic w granicach budowli.

Błąd obliczenia 
objętości
m

o

 - błąd pomiaru lub wyznaczenia z mapy wysokości punktów 

przekroju

obiekt

mapa 
warstwicowa

P

P

i+1

P

i



















n

i

i

P

h

P

P

H

V

 

3

1

2

1

1

H

Metoda przekrojów poziomych – interpretacja geometryczna

P

i

 – Pola powierzchni figury ograniczonej warstwicą i brzegiem 

obszaru opracowania,

Wyznaczona planimetrem z błędem  m

S

 = 0.005*S.

Wymagania dokładnościowe

 

Materiały i opracowania geodezyjne potrzebne do obliczania objętości

1. Mapy sytuacyjno wysokościowe (m

o

 25 cm - 50 cm zależnie od 

skali),

2. Pomiary geodezyjne

-

niwelacja metodą siatki kwadratów (boiska, place) m

o

 2 cm,

-

niwelacja metodą punktów rozproszonych (dla powierzchni 
falistych) m

o

 5 cm,

-

niwelacja metodą przekrojów podłużnych i poprzecznych (trasy 
komunikacyjne, brzegi rzek) m

o

 5 cm,

-

tachimetria, dla zadań nie wymagających dużej dokładności 
(wysypiska, hałdy wyrobiska) m

o

 10 cm,

-

fotogrametria naziemna lub aerofotogrametria dla terenów bez 
pokrycia obiektami m

o

 20 cm.

Dokładność potrzebna do obliczenia objętości gruntu przy 

projektowaniu budowli ziemnych (wg normy PN-68/B-06050, 
dopuszczalna odchyłka wysokości punktu w siatce kwadratów 
40X40 m wynosi 



H

 = 0.04m

)

Błąd dopuszczalny ukształtowania terenu m

 = 40*40*0.04 = = 64m

3

Dla całego obiektu – figury o powierzchni S m

2

, wystąpi n = s/64 

kwadratów,

Wymagania dokładnościowe

 cd

S

  

1.6

n

  

64

m

V









Grunty podlegają zagęszczeniu

. Wskaźnik zagęszczenia D zależy od 

rodzaju gruntu (wg normy D = <0,0.9 – 1.15>). Tolerancja dla 

wskaźnika zagęszczenia

  wynosi 2%

Dopuszczalna odchyłka objętości z tytułu zagęszczenia gruntu równa 
się: 0.02D*V.

Możemy do analiz przyjmować  m

z

 = 0.02 V.

Rzeczywista dokładność obliczenia objętości gruntu zależy jeszcze 
od wilgotności, a także od osiadania. Największy wpływ ma jednak 
błąd metody numerycznej przyjętej do obliczeń.

Wpływ błędów danych wysokościowych (z pomiarów  lub 
odczytanych z mapy) na objętość gruntu zależy od liczby punktów 
obranych na powierzchni terenu. 

k

S

  

m

m

o

Vh





m

o

 – błąd wyznaczenia wysokości punktu (0.02 –0.20 zależnie od 

metody),

k - liczba punktów wierzchołków siatki.

Dziękuję za uwagę