ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
METODY OBLICZENIOWE WYKŁADY SIEMA NARA
Jest to opracowanie wykładów prowadzonych w roku akademickim 2010/2011. Osobiście nie byłem
na żadnym z nich, a pana Kłosa to zobaczyłem pierwszy raz na zaliczeniu. Notatki pochodzą od moich
dobrych znajomych (M.F. oraz J.K.), którzy już te wykłady zaliczyli. Chodzili oni na wszystkie wykłady i
notowali to co należało notowad. Ja natomiast przerzuciłem to teraz do Worda. Jako, że na
kolokwium obowiązuje nas czysta teoria to nie przepisywałem wzorów czy tam rysunków. Jednakże
miejsca ich występowania zaznaczyłem kolorem
czerwonym
i
zielonym
. Opracowanie to z pewnością
pomoże zawęzid materiał do opanowania np. na wykładach nie było nic o Metodzie Monte-Carlo a
sporo osób pewnie się tego uczyło. Jednakże nie należy poprzestawad wyłącznie na tym opracowaniu
gdyż opanowanie go nie gwarantuje 100% zdawalności, gdyż pytania od Pana Kłosa miejscami
wymagają nieco więcej. Rzeczy, które były nie do rozczytania oznaczyłem kursywą.
Wykład 1 Macierz sztywności. Macierz podatności.
06.10.2010 r.
Dyskretyzacja układu - doprowadza do podziału układu ciągłego
1. Wybór punktów węzłowych, które w sposób jednoznaczny określą podział układu ciągłego na
elementy
2. Stan przemieszczeo układu określony za pomocą wektora przemieszczeo węzłowych nazywanego
przez delta {A}
3. Stan obciążenia sprowadzamy do obciążeo skupionych w węzłach i wektor tych obciążeo
oznaczamy przez duże ,R-
4. Stan deformacji odkształceo układu oraz jego stan naprężeo określony jest także przez wektor
przemieszczeo przywęzłowych ,D- oraz siły przęsłowe ,s-, które musza spełniad warunki ustalone na
podstawie pracy wirtualnej
{
}
T
{R} = {
D}
T
{s}
Schematy, pierwszy model, drugi model, trzeci model
Rys1 nadaje się do rozwiązania zagadnienia macierzową metodą przemieszczeo, natomiast 2 i 3 służą
do rozwiązania zagadnienia macierzową metodą sił.
Schematy
Twierdzenie I
Jeżeli pewne przemieszczenia
i należące do wektora ,
- są liniowo zależne to znaczy pewne różne
od 0 przemieszczenie
można wyrazid jako kombinację liniową pozostałych przemieszczeo dla
wszystkich możliwych stanów obciążenia określonych wektorem ,R-, to macierz podatności ,F- jest
osobliwa, a macierz sztywności *K+ nie istnieje.
Twierdzenie II
Jeżeli istnieje przynajmniej jeden różny od 0 wektor ,
- taki, że układ nie podlega odkształceniu to
znaczy pręty pozostają proste i nie zmieniają długości w zakresie ważności założenia o małych
przemieszczeniach, to wtedy macierz sztywności *K+ jest osobliwa zaś macierz podatności *F+ nie
istnieje.
Twierdzenie III
Jeżeli wyznacznik z macierzy *F+ jest różny od 0 to
det*F+ różny od zera => *K+ = *F+
-1
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
Jeżeli wyznacznik z macierzy *K+ jest różny od 0 to
det[K+ różny od zera => *F] = [K]
-1
Twierdzenie IV
Jeżeli wyznacznik z macierzy det*K+ jest różny od zera (to znaczy, że istnieje macierz F) to układ jest
geometrycznie niezmienny. Jest to warunek wystarczający
Twierdzenie V
Jeżeli macierz *F+ lub *K+ istnieje to
[F]=[F]
T
[K]=[K]
T
Pierwszy warunek wynika z twierdzenia o wzajemności przemieszczeo. Drugi wynika z twierdzenia o
wzajemności reakcji.
Twierdzenie VI
Macierze *F+ i *K+ występują w formach kwadratowych energii potencjalnej odkształcenia
sprężystego, które możemy wyliczyd jako Vp = 1/2 ,
}
T
[K]{
} = 1/2 {R}
T
[F]{R}
Jeżeli układ jest geometrycznie niezmienny to Vp>0 dla dowolnego ,
- różnego od ,0- a z tego
wynika, że macierze *K+ i *F+ są dodatnio określone.
Uwaga I
Dla jednego układu możliwe jest zdefiniowanie kilku różnych wektorów ,
-. Odpowiadające im
macierze sztywności i podatności są wtedy też różne.
Uwaga II
Jeśli układ obciążyd siła Pj=1 zakładając, że siła Pj należy do wektora *R+ to odpowiadający temu
stanowi wektor przemieszczeo jest "j-tą" kolumną macierzy podatności.
Uwaga III
Jeżeli na wszystkie przemieszczenia
i z wektora {
- nałożyd więzy i "j" wiąz przenieśd o
j=1 to
odpowiadające temu stanowi reakcje we wprowadzonych więzach stanowią "j-tą" kolumnę macierzy
sztywności *K+
Zad.1 Wyznaczyd macierz sztywności i podatności układu oraz sprawdzid związek *K+**F+=*J+(macierz
jednostkowa)
WZORY
schematy
Wykład 2 20.10.2010 r.
Schematy, macierze
dla pręta kratownicowego . (macierz sztywności zawiera elementy EA/L i -EA/L)
Schematy, macierze
dla pręta skręcanego . (macierz sztywności zawiera elementy GI
s
/L i -GI
s
/L)
macierz elementu belkowego
wszystkie macierze sztywności mają jedną wspólną cechę: det = 0
Macierz sztywności dowolnego elementu prętowego, której nie uwzględniono warunków
brzegowych jest macierzą osobliwą
Schematy,
WZORY
w konstrukcji będzie przegub wewnętrzny to jest problem
Proces kondensacji macierzy sztywności
Schematy, macierze dużo
Modyfikacja macierzy sztywności. Przez to uwzględniamy warunek brzegowy. W procesie modyfikacji
również rozpatrujemy równanie jak poprzednio
macierze
Modyfikacja polega na usunięciu wierszy lub kolumn dotyczących tych stopni swobody w których
przemieszczenia są równe 0 . Jeżeli w wyniku modyfikacji utworzymy pręt, który jest statycznie
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
wyznaczalny lub statycznie niewyznaczalny to jego macierz sztywności przestaje byd macierzą
osobliwą
Nowy układ x,y,z (układ lokalny pręta)
u, v, w - translacja
układ X, Y, Z
u, v, w (z daszkami u góry) - translacja
WZORY macierz transformacyjna jest macierzą ortogonalną *T+ *T+
T
= [T]
-1
[C] - też jest macierzą ortogonalną
macierze dużo
Algorytm metody przemieszczeo (alokacja)
Sposób I
1. Należy zdyskretyzowad układ definiując wektory przemieszczeo węzłowych oraz zdefiniowad
wektory {
} {D} {R} {S}
2. Należy zbudowad macierz alokacji *A+ (ustalid zależności między ,D- i ,
}), macierz sztywności *K
A
]
(zdefin. macierz sztywności dla każdego pręta) oraz wektora ,S0-, którym definiujemy jakie są
wartości sił przywęzłowych od obciążeo przęsłowych dla każdego pręta.
3. Obliczyd globalną macierz sztywności *K+=*A+
T
* [Ka]*[A] => {R} = [K]*{D}+{R
0
}
4. Obliczamy wektor ,P- dodając do siebie wektor sił działających na węzły ,R} oraz wektor {R
0
}
{R
0
} = [A]
T
* {s
0
}
5. Wyznaczamy wektor przemieszczeo ,
}
6. Wyznaczamy wektory przemieszczeo przywęzłowych prętów
7. Wyliczamy wielkości sił przywęzłowych S wg tej zależności
{S} = [K
A
}{D}+{s
0
}
Sposób II
1. Definiujemy wektor przemieszczeo węzłowych ,
- oraz wektor sił węzłowych ,R-, ale w ten sposób,
że ustalamy pewną kolejnośd składowych w tym zadaniu.
2. Budujemy wektor sił przywęzłowych od obciążeo przęsłowych oraz macierze sztywności dla
poszczególnych prętów. Na tym etapie dokonujemy kondensacji przegubów wewnętrznych.
3. Dokonujemy transformacji w macierzy sztywności i wektorów sił przywęzłowych do tego układu
współrzędnych, w którym były zbudowane wektory ,
- i ,R- dla przemieszczeo sił węzłowych
4. Dzielimy wektory sił przywęzłowych, macierze sztywności na bloki związane ze stopniami swobody
poszczególnych węzłów
5. Budujemy macierz sztywności *K+, umieszczając poszczególne bloki macierzy sztywności prętów w
odpowiednich miejscach globalnej macierzy sztywności, w razie konieczności, kiedy bloki nakładają
się na siebie to dodajemy je do siebie. W podobny sposób składamy wektor sił węzłowych od
obciążeo przęsłowych. Ten proces nazywamy procesem agregacji i prowadzi on do otrzymania
globalnej macierzy sztywności *K+ i globalnego wektora sił węzłowych ,P-
6. Uwzględniamy warunki podporowe, wykonując modyfikacji układu równao ,K-,
} = {P}
7. Wyznaczamy wektor przemieszczeo ,
- a następnie wektory przemieszczeo przywęzłowych, sił
przywęzłowych, reakcji.
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
Wykład 3 Metoda elementów skończonych 3.11.2010 r.
Nie jest to metoda dokładna, a przybliżona, wyniki są przybliżone i trzeba je sprawdzid. Wyniki są
dokładne dla elementów prętowych. Metoda polega na podziale (kontinuum) na części i ich
rozpatrywanie.
Elementy są połączone w węzłach, ale nie są połączone w sposób ciągły
Dyskretyzacja - 5 etapów rozwiązania
I - Kontinuum zostaje podzielone w myśli liniami, na pewną liczbę elementów skooczonych
II - Zakłada się, że elementy te są połączone ze sobą w skooczonej liczbie punktów znajdujących się
na ich obwodach, punkty te nazywamy węzłami, a ich przemieszczenia stanowid będą podstawowy
układ niewiadomych
III - Zostaje dobrana funkcja określająca jednoznacznie stan przemieszczeo wewnątrz każdego
elementu skooczonego w zależności od przemieszczeo punktów węzłowych
IV - Funkcje przemieszczeo (funkcje kształtu) definiują jednoznacznie stan odkształcenia wewnątrz
elementów, zależności od przemieszczeo węzłów. Odkształcenia te wspólnie z odkształceniami
początkowymi i własnościami sprężystymi materiału określają stan naprężeo w elemencie, w tym
także na jego brzegach.
V - Zostaje określony układ sił skupionych w węzłach równoważących napięcia na brzegach
elementów oraz wszystkie inne siły. Otrzymuje się związek w postaci
*K+ (macierz sztywności) * ,q(z daszkiem)- (wektor przemieszczeo węzłowych) = ,R- (wektor sił
węzłowych)
Z którego można wyznaczyd wektor przemieszczeo węzłowych ,q-, a w konsekwencji także wektory
przemieszczeo ,
} w elemencie
{R} => {q(z daszkiem)} => {
}
,f-(wektor przemieszczeo wewnątrz elementu skooczonego) = *N+(macierz funkcji kształtu),q-(wektor
przemieszczeo węzłowych)
WZORY
*D+(macierz sprężystości lub konstytutywna)
[
0
] macierz przemieszczenia - odkształcenia
{
0
- wektor odkształceo początkowych
{
0
- wektor naprężeo początkowych
{F- wektor sił węzłowych
{P- wektor sił masowych = {X Y Z}
T
siły związane z ciężarem własnym elementu
Równanie pracy wirtualnej WZORY ,R- - wektor sił węzlowych
1. Funkcja kształtu musi byd dobrana tak, aby nie pozwoliła na wytworzenie się stanu napięcia w
elemencie jeżeli przemieszczenia węzłów powodują jedynie ruch elementu jako ciała sztywnego.
2. Funkcja kształtu musi byd dobrana tak, aby przy zgodności przemieszczeo węzłów z warunkiem
stałych odkształceo można było te stałe odkształcenia otrzymad
3. Funkcje kształtu muszą byd dobrane tak aby odkształcenia na granicach między sąsiednimi
elementami były skooczone (chociaż mogą nie byd określone)
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
WZORY
u, v -przemieszczenie na x i na y
WZORY
Dla każdego punktu jest takie samo odkształcenie. Wymaga to bardzo gęstej siatki elementów
skooczonych, żeby wyniki nie były zgubne, tylko w miarę dokładne.
PSN
{
0
} ={
t
t 0}
T
- współczynnik rozszerzalności termicznej
t - przyrost temperatury,
PSO ( konstrukcje długie np. tamy, zakładamy nieskooczoną grubośd, wycinamy myślowo pasek 1 m )
{
0
} =(1+
){
t
t 0}
T
- współczynnik Poissona
inne są równania konstytutywne dla PSO i PSN .
Materiał izotropowy -> stal, beton.
PSN izotropia
WZORY
PSO izotropia
WZORY
PSN ortotropowo
WZORY
PSO ortotropowo
WZORY
e1, e2, v1, v2 - moduły Younga i Poissona na 1 i 2 kierunku ortotropii
Dla elementu w PSN i PSO trójkątnego z 3 węzłami naprężenia w każdym punkcie elementu są stałe
WZORY
Zastępuje się całkowanie algebraiczne, całkowaniem numerycznym WZORY
Siły masowe dzielą się równomiernie na wszystkie węzły tego elementu
Wykład 4 Metoda elementów skończonych. Całkowanie równań ruchu metodami
numerycznymi 24.11.2010 r.
Do modelowania używamy Generatorów, które same modelują siatki
RYSUNEK JAKIŚ . (tama z betonu, grunt, warunki brzegowe, siatka zagęszczona ta m gdzie jest więcej
naprężeo)
Płyta - siły działają prostopadle
Tarcza - siły działają w płaszczyźnie tarczy
Zasadą budowania siatki jest aby stosunek najkrótszego do najdłuższego boku nie był większy niż 3.
Przykład z obrazkiem 3 elementy - ŹLE
I i II te dwa elementy mają wspólny węzeł ale nie łączą się z węzłem III elementu
Tarcza ma dwie osie symetrii poziomą i pionową. Siatka również musi byd symetryczna względem osi
x i y (poziomej i pionowej)
Gdy zagadnienie posiada osie symetrii, to siatka też musi zachowad warunek symetrii
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
Warunek zagęszczenia siatek - Siatki należy zagęszczad w miejscach gdzie naprężenia dążą do
nieskooczoności , np. punkty przyłożenia sił skupionych
Punkty gdzie występują pojedyncze podpory też należy zagęszczad siatkę
Jak ocenid czy wyniki otrzymane metodą elementów skooczonych są poprawne ?
I Metoda - Zmiana elementu skooczonego
II Metoda - Porównywanie wyników z siatki z siatką dwa razy gęstszą i porównad te wyniki (2 lub
więcej razy gęstszą). Jeżeli wynik nie różni się więcej jak 5% to jest ok
RYSUNKI > Zbyt duża różnica przemieszczeo , trzeba zagęścid siatkę
Natomiast, jeżeli porównujemy siatki, które są jeszcze bardziej zagęszczone, a błąd się nie zmniejsza
tylko zwiększa, to mamy ewidentnie źle wybrany punkt lub metodą porównywania elementów.
Całkowanie równao ruchu metodami numerycznymi
M - macierz mas
C - macierz tłumienia
K - macierz sztywności
q'' - wektor przyspieszenia
q' - wektor prędkości
Układ równao macierzowych drugiego rzędu równanie ruchu
WZORY
Zamiana układu II rzędu na I rzędu powoduje zwiększanie rozmiaru zadania dwukrotnie (jak III rzędu
na I to trzykrtonie)
a) I grupa rozwiązania równao ruchu analiza modalna
b) II grupa sposobem wprost
Ad. a) Konieczne jest ... problem własnego i pochyla się do częstości drgao własnych. Następnie
można dokonad odpowiedniej transformacji do której potrzebne są częstości i częstości drgania
własne. Układ stanie się układem rozprężonym (każde równanie różniczkowe będzie można
rozwiązad osobno). Skuteczne są algebraiczne rozwiązania albo ....
Mając rozwiązane wektory własne tworzy się kombinacje liniową tych wektorów własnych, które jest
rozw. problemem.
Ad b). WPROST
Jawne
metody niejawne
- metoda różnic centralnych
-Wilsona
- metoda punktu środkowego
- Huberta
- metoda Rungego Kulty
- Newmarka
Polegają na rekurencyjnym sposobie poszukiwania rozwiązania w odróżnieniu od metod które dają
rozwiązanie do NIEWYRAZNE
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
cośtam ruchu - poszukiwanie rozwiązania dla kolejnych kroków czasowych przy czym rozwiązanie
kroku kolejnego rozwiązuje się z wartości uzyskanych dla kroku poprzedniego (1 lub więcej)
Metoda różnic centralnych
równanie ruchu
WZORY
Metoda różnic centralnych WZORY
Spisanie równao ruchu i chwili t np. Obejmują okres od chwili t-
t do chwili t+
t, na tej podstawie
rozwiązuje się prędkośd i przyspieszenie
WZORY
Procedura startowa:
WZORY równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego
Żeby rozpocząd liczenie metodą różnic centralnych trzeba rozpocząd procedurę startową ( stosuje się
ją w celu obliczenia pierwszej chwili czasowej wielkości przemieszczeo)
Wada: Jest to metoda warunkowo - stabilna. Oznacza, że rozwiązanie układu równao różniczkowych
w dostatecznie dokładny sposób aproksymuje rozwiązanie rzeczywiste, tylko i wyłącznie przy
zastosowaniu odpowiednio małego kroku
t. Jeżeli
t >
t
krytyczne
to wtedy rozwiązanie bardzo szybko
robi się rozbieżne. Przy czym rozbieżnośd ta ma charakter...
Wielkośd
t
krytyczne
jest związane z t
h
(najmniejszy okresem drgao własnych).
Algorytm metod różnic centralnych
Kroki początkowe:
1. Obliczenie [K] [M] [C]
2. Początkowe wartości ,q
0
} {q*
0
} {R
t
}
3. Dobór kroku całkowania
WZORY
Jeżeli obliczenia przeprowadzamy metodą różnic centralnych ustalmy wielkośd kroku całkowania
4. Procedura startowa
WZORY
5. Efektywna macierz mas
WZORY [S]
6. Odwrócenie efektywnej macierzy mas
[S] => [S]
-1
Kroki powtarzane w pętli (rekurencyjne)
1. efektywny wektor obciążeo
WZORY"
2. Przemieszczenie
WZORY
3. Jeśli trzeba
WZORY
4. Przejście do następnego kroku
Metoda Newmarka - niejawna bo
WZORY
Równanie w chwili t+
t
WZORY
Warunek bezwzględnej stabilności
WZORY
większe równe od 0,5
większe równe od 0,25(0,5+
)
2
to algorytm Newmarka jest bezwarunkowo stabilny
Przy długim kroku całkowania rozwiązanie może byd niedokładne ale na pewno nie będzie rozbieżne
= 0,5, a
= 0,25
Algorytm metody Newmarka
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
Kroki początkowe
1. Obliczenie [K] [M] [C]
2. Początkowe wartości ,q
0
} {q*
0
} {R
t
}
WZORY
3. Przyjęcie
i
oraz krok czasowy
4. Efektywna macierz sztywności *S+
5. Odwrócenie efektywnej macierzy sztywności
Kroki powtarzane w pętli (rekurencyjne)
1. efektywny wektor obciążeo
WZORY
2. Przemieszczenie
WZORY
3. Przyspieszenie i prędkośd
WZORY
4. Przejście do następnego kroku t=t+
t
Metody jawne stają się bardziej efektywne od metod niejawnych w momencie gdy długośd kroku
całkowania (
t) jest ograniczona przez jakieś inne czynniki np. przez nieliniowośd materiałową w
związkach reologicznych. Wtedy m. niejawne długi krok całkowania, a prosty .... że stają się one
bardziej efektywne
Metoda Newmarka - jest bardziej dokładna, wykres jest właściwy dla wielu wartości całkowania, a
wartości minimalne i maksymalne są cały czas.
Wykład 5 Metody rozwiązywania układów równań liniowych 01.12.2010 r.
Układy równao liniowych
a
11
*x
1
+ a
12
*x
2
+ ... + a
1n
*x
n
= y
1
a
21
*x
1
+ a
22
*x
2
+ ... + a
2n
*x
n
= y
2
...
a
n1
*x
1
+ a
n2
*x
2
+ ... + a
nn
*x
n
= y
n
[A]* {X} = {Y}
Metody dokładne:
- eliminacyjne - Gaussa , Jordana
- dekompozycyjne - Gaussa-Duitla , Gaussa - Krauta, Cholewskiego
Metody przybliżone:
- iteracji prostej Gaussa
- Metoda Gaussa-Seitla
- Metoda nadrelaksacji
WZORY Macierz współczynników z macierzy pełnej ma się stad macierzą trójkątną (lub diagonalną)
WZORY, etap I (przekształcenia) , etap II (przekształcenia), etap III (rekursji)
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
1. Metoda Eliminacji Gaussa (Metoda dokładna eliminacyjna)
a
i
, n+1
= y
i
i=1,2,..., n
Rekursja:
WZORY
Eliminacja:
WZORY
2. Metoda Jordana
a
i
, n+1
= y
i
i=1,2,..., n
Eliminacja:
WZORY
Rekursja - brak,
macierz diagonalna
WZORY
Metodą Jordana można odwracad macierze
UWAGA:
Tw.1 Może się zdarzyd, że dla macierzy współczynników wyznacznik jest różny od 0 (detA różny od 0)
Któryś z dzielników a
kk
(k-1)
= 0
Wówczas należy przestawid wiersze macierzy współczynników tak, aby na głównej przekątnej
eliminowanego równania uzyskad element a
kk
(k-1)
różny od 0
Tw. 2 Jeżeli wyznacznik z macierzy współczynników detA = 0 to zamiana wierszy nie usunie dzielenia
przez 0
Tw. 3 Dzielniki a
kk
(k-1)
można zapisad na głównej przekątnej macierzy A (a
kk
(k-1)
= d
k
) w miejsce zawsze
znajdujących się tam jedynek. Można wtedy w łatwy sposób wyznaczyd wyznacznik z macierzy A|
= 1 (liczba przestawieo wierszy jest parzysta) ,
= -1 (liczba przestawieo wierszy jest nieparzysta)
detA =
(Jakiś pojebany znaczek z n i k=1) d
k
Tw. 4 Jeżeli macierz współczynników jest dodatnio określona
WZORY
to wszystkie dzielniki dk będą
większe od zera i otrzymujemy algorytm bez przestawieo
Tw. 5 Liczba operacji arytmetycznych w metodzie Eliminacji Gaussa jest rzędu n
3
gdzie n jest
rozmiarem zadanym
Tw. 6 Odmianą metody eliminacji Gaussa jest wariant z wyborem elementu głównego. Polega on na
tym, że przed przystąpieniem do eliminacji i-tego równania dokonujemy zamiany wierszy i kolumn
dolnej podmacierzy tak aby uzyskad maksymalny element na głównej przekątnej, odpowiada to
zmianie numeracji niewiadomych i zamianie wierszy.
1. Metoda Gaussa - Dolittle'a . (Dekompozycjne , metoda dokładna)
Eliminacja:
WZORY
Rekursje:
WZORY
Na etapie eliminacji nie przekształca się wektora prawych stron
Tw. Każdą nieosobliwą macierz kwadratową *A+ o wymiarach nxn można rozłożyd na iloczyn dwóch
macierzy trójkątnych jeżeli wszystkie główne minory macierzy *A+ są różne od 0 . Rozkładu można
dokonad na n sposobów obierając dowolnie n-elementów , z głównej przekątnej macierzy *L+ lub *U+
Od sposobu doboru elementu zależy sposób rozwiązywania ukladu
2. Metoda Gaussa - Crouta
Eliminacja:
WZORY
Rekursje:
WZORY
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
3. Metoda Cholewskiego
Eliminacja:
WZORY
Macierz *A+ jest symetryczna i dodatnio określona. Wtedy stosujemy metodą Cholewskiego
Rekursje:
WZORY
METODY PRZYBLIŻONE:
1. Metoda Iteracyjna Gaussa
WZORY
Zakładamy wstępnie pewne wartości zmiennych od x1 do xn. Wartości tych zmiennych założonych
ustawiamy po prawej stronie układu równao i wyznaczamy nowe wartości układu równao od x1' do
xn'. Następnie nowe wartości ustawiamy po stronie prawej i ponownie wyznaczamy wartości po
lewej stronie, proces ten kontynuujemy, aż różnice między wartościami po lewej i prawej stronie
będą małe.
Wadą jest to, że nasz proces obliczania wartości może okazad się rozbieżnym lub słabo zbieżnym.
Rozbieżnośd w znacznej mierze zależy od sposobu przyjęcia początkowych wartości niewiadomych.
Dlatego też wprowadzono modyfikację tej metody pod nazwą
2. Gaussa- Seitla
Układ costam przekształca tak jak w metodzie Gaussa ale wydzielcostam
WZORY
Zaletą Gaussa-Seitla jest to, że jeżeli macierz współczynników *A+ jest symetryczna i dodatnio
określona to proces iteracyjny jest zawsze zbieżny.
3. Metoda nadrelaksacji
WZORY
do wyznaczenia przyrostów w równaniach następnych używamy już nowych wartości zmiennych
wyznaczonych z przyrostów z równao poprzednich
0<w<2 zwykle 1,2<w<1,45 w- współczynnik nadrelaksacji
WZORY
Jeżeli macierz współczynników A jest macierzą symetrycznie i dodatnio określoną to metoda
nadrelaksacji jest zbieżna, gdy wartośd współczynników nadrelaksacji 0<w<2 . Zazwyczaj przyjmuje
się wartości 1,2<w<1,45 . Jeżeli w=1 to metoda nadrelaksacji zmienia się w metodą Gaussa-Seitla.
Wykład 6 Interpolacja i Aproksymacja
22.12.2010 r.
Interpolacja:
- kilka funkcji przybliżających
- funkcje przechodząca przez wszystkie punkty pomiarowe
- niewielka liczba punktów pomiarowych
Aproksymacja:
- jedna funkcja przybliżająca
- funkcja przechodzi tak aby błąd przybliżonych punktów pomiarowych był jak najmniejszy
ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK
- znaczna liczba punktów pomiarowych
Interpolacja liniowa
WZORY
, kwadratowa
WZORY
, interpolacja wielomianu dowolnego stopnia n
WZORY
Metoda kolokacji - niech wartości funkcji y
1
, y
2
, ..., y
n
będą dane w punktach x
1
,x
2
,...,x
n
. Szukamy
funkcji y=f(x) w postaci kombinacji liniowej y=a
1
f
1
(x) + a
2
f
2
(x) +...+a
n
f
n
(x)
funkcje f(x) są z góry założone
Kolokacja wielomianowa
WZORY
Kolokacja szeregami Czebyszewa -
WZORY
wzór rekurencyjny
WZORY
Kolokacja szeregami Fouviera -
WZORY
powstaje układ rozwiązao ze względu na parametry a
i
Dla funkcji wielu zmiennych
WZORY
Aproksymacja - sposoby aproksymacji ze względu na sposób liczenia
y = a
0
+a
1
x + e => e = y - a
0
- a
1
x
Minimum sumy błędów
WZORY
Minimum sumy wartości bezwzględnych błędów
WZORY
Kryterium "min max" - minimum największego błędu
WZORY
Minimum sumy kwadratów - metoda najmniejszych kwadratów
WZORY
Metoda najmniejszych kwadratów - opis ogólny
Wartości funkcji y
1
, y
2
, ..., y
n
dane w punktach x
1
,x
2
,...,x
n
Szukamy funkcji jako kombinacji liniowej pewnych funkcji
WZORY Różnica l << n, Błąd i-tego
równania, współczynnik ai dobieramy tak aby błąd był najmniejszy. Powstaje układ L równao z L
niewiadomymi. Kontrola błędu - wariancja, odchylenie standardowe
Metoda najmniejszych kwadratów (regresja lub aproksymacja liniowa)
WZORY Rozwiązanie , wartośd
średnia i kwadrat odchyleo, odchylenie standardowe i wariancja, współczynnik wariancji,
standardowy błąd przybliżenia (S
y/x
), współczynnik determinacji (v
2
), współczynnik korelacji (r).
Rozwiązanie poprawne gdy S
y/x
< S
y