ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

METODY OBLICZENIOWE WYKŁADY SIEMA NARA

Jest to opracowanie wykładów prowadzonych w roku akademickim 2010/2011. Osobiście nie byłem
na żadnym z nich, a pana Kłosa to zobaczyłem pierwszy raz na zaliczeniu. Notatki pochodzą od moich
dobrych znajomych (M.F. oraz J.K.), którzy już te wykłady zaliczyli. Chodzili oni na wszystkie wykłady i
notowali to co należało notowad. Ja natomiast przerzuciłem to teraz do Worda. Jako, że na
kolokwium obowiązuje nas czysta teoria to nie przepisywałem wzorów czy tam rysunków. Jednakże
miejsca ich występowania zaznaczyłem kolorem

czerwonym

i

zielonym

. Opracowanie to z pewnością

pomoże zawęzid materiał do opanowania np. na wykładach nie było nic o Metodzie Monte-Carlo a
sporo osób pewnie się tego uczyło. Jednakże nie należy poprzestawad wyłącznie na tym opracowaniu
gdyż opanowanie go nie gwarantuje 100% zdawalności, gdyż pytania od Pana Kłosa miejscami
wymagają nieco więcej. Rzeczy, które były nie do rozczytania oznaczyłem kursywą.

Wykład 1 Macierz sztywności. Macierz podatności.

06.10.2010 r.

Dyskretyzacja układu - doprowadza do podziału układu ciągłego
1. Wybór punktów węzłowych, które w sposób jednoznaczny określą podział układu ciągłego na
elementy
2. Stan przemieszczeo układu określony za pomocą wektora przemieszczeo węzłowych nazywanego
przez delta {A}
3. Stan obciążenia sprowadzamy do obciążeo skupionych w węzłach i wektor tych obciążeo
oznaczamy przez duże ,R-
4. Stan deformacji odkształceo układu oraz jego stan naprężeo określony jest także przez wektor
przemieszczeo przywęzłowych ,D- oraz siły przęsłowe ,s-, które musza spełniad warunki ustalone na
podstawie pracy wirtualnej
{



}

T

{R} = {



D}

T

{s}

Schematy, pierwszy model, drugi model, trzeci model

Rys1 nadaje się do rozwiązania zagadnienia macierzową metodą przemieszczeo, natomiast 2 i 3 służą
do rozwiązania zagadnienia macierzową metodą sił.

Schematy

Twierdzenie I
Jeżeli pewne przemieszczenia



i należące do wektora ,



- są liniowo zależne to znaczy pewne różne

od 0 przemieszczenie



można wyrazid jako kombinację liniową pozostałych przemieszczeo dla

wszystkich możliwych stanów obciążenia określonych wektorem ,R-, to macierz podatności ,F- jest
osobliwa, a macierz sztywności *K+ nie istnieje.
Twierdzenie II
Jeżeli istnieje przynajmniej jeden różny od 0 wektor ,



- taki, że układ nie podlega odkształceniu to

znaczy pręty pozostają proste i nie zmieniają długości w zakresie ważności założenia o małych
przemieszczeniach, to wtedy macierz sztywności *K+ jest osobliwa zaś macierz podatności *F+ nie
istnieje.
Twierdzenie III
Jeżeli wyznacznik z macierzy *F+ jest różny od 0 to
det*F+ różny od zera => *K+ = *F+

-1

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

Jeżeli wyznacznik z macierzy *K+ jest różny od 0 to
det[K+ różny od zera => *F] = [K]

-1

Twierdzenie IV
Jeżeli wyznacznik z macierzy det*K+ jest różny od zera (to znaczy, że istnieje macierz F) to układ jest
geometrycznie niezmienny. Jest to warunek wystarczający
Twierdzenie V
Jeżeli macierz *F+ lub *K+ istnieje to
[F]=[F]

T

[K]=[K]

T

Pierwszy warunek wynika z twierdzenia o wzajemności przemieszczeo. Drugi wynika z twierdzenia o
wzajemności reakcji.
Twierdzenie VI
Macierze *F+ i *K+ występują w formach kwadratowych energii potencjalnej odkształcenia
sprężystego, które możemy wyliczyd jako Vp = 1/2 ,



}

T

[K]{



} = 1/2 {R}

T

[F]{R}

Jeżeli układ jest geometrycznie niezmienny to Vp>0 dla dowolnego ,



- różnego od ,0- a z tego

wynika, że macierze *K+ i *F+ są dodatnio określone.
Uwaga I
Dla jednego układu możliwe jest zdefiniowanie kilku różnych wektorów ,



-. Odpowiadające im

macierze sztywności i podatności są wtedy też różne.
Uwaga II
Jeśli układ obciążyd siła Pj=1 zakładając, że siła Pj należy do wektora *R+ to odpowiadający temu
stanowi wektor przemieszczeo jest "j-tą" kolumną macierzy podatności.
Uwaga III
Jeżeli na wszystkie przemieszczenia



i z wektora {



- nałożyd więzy i "j" wiąz przenieśd o



j=1 to

odpowiadające temu stanowi reakcje we wprowadzonych więzach stanowią "j-tą" kolumnę macierzy
sztywności *K+
Zad.1 Wyznaczyd macierz sztywności i podatności układu oraz sprawdzid związek *K+**F+=*J+(macierz
jednostkowa)

WZORY

schematy

Wykład 2 20.10.2010 r.

Schematy, macierze

dla pręta kratownicowego . (macierz sztywności zawiera elementy EA/L i -EA/L)

Schematy, macierze

dla pręta skręcanego . (macierz sztywności zawiera elementy GI

s

/L i -GI

s

/L)

macierz elementu belkowego

wszystkie macierze sztywności mają jedną wspólną cechę: det = 0

Macierz sztywności dowolnego elementu prętowego, której nie uwzględniono warunków
brzegowych jest macierzą osobliwą

Schematy,

WZORY

w konstrukcji będzie przegub wewnętrzny to jest problem

Proces kondensacji macierzy sztywności

Schematy, macierze dużo

Modyfikacja macierzy sztywności. Przez to uwzględniamy warunek brzegowy. W procesie modyfikacji
również rozpatrujemy równanie jak poprzednio

macierze

Modyfikacja polega na usunięciu wierszy lub kolumn dotyczących tych stopni swobody w których
przemieszczenia są równe 0 . Jeżeli w wyniku modyfikacji utworzymy pręt, który jest statycznie

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

wyznaczalny lub statycznie niewyznaczalny to jego macierz sztywności przestaje byd macierzą
osobliwą

Nowy układ x,y,z (układ lokalny pręta)
u, v, w - translacja
układ X, Y, Z
u, v, w (z daszkami u góry) - translacja

WZORY macierz transformacyjna jest macierzą ortogonalną *T+ *T+

T

= [T]

-1

[C] - też jest macierzą ortogonalną

macierze dużo

Algorytm metody przemieszczeo (alokacja)

Sposób I
1. Należy zdyskretyzowad układ definiując wektory przemieszczeo węzłowych oraz zdefiniowad
wektory {



} {D} {R} {S}

2. Należy zbudowad macierz alokacji *A+ (ustalid zależności między ,D- i ,



}), macierz sztywności *K

A

]

(zdefin. macierz sztywności dla każdego pręta) oraz wektora ,S0-, którym definiujemy jakie są
wartości sił przywęzłowych od obciążeo przęsłowych dla każdego pręta.
3. Obliczyd globalną macierz sztywności *K+=*A+

T

* [Ka]*[A] => {R} = [K]*{D}+{R

0

}

4. Obliczamy wektor ,P- dodając do siebie wektor sił działających na węzły ,R} oraz wektor {R

0

}

{R

0

} = [A]

T

* {s

0

}

5. Wyznaczamy wektor przemieszczeo ,



}

6. Wyznaczamy wektory przemieszczeo przywęzłowych prętów
7. Wyliczamy wielkości sił przywęzłowych S wg tej zależności
{S} = [K

A

}{D}+{s

0

}

Sposób II
1. Definiujemy wektor przemieszczeo węzłowych ,



- oraz wektor sił węzłowych ,R-, ale w ten sposób,

że ustalamy pewną kolejnośd składowych w tym zadaniu.
2. Budujemy wektor sił przywęzłowych od obciążeo przęsłowych oraz macierze sztywności dla
poszczególnych prętów. Na tym etapie dokonujemy kondensacji przegubów wewnętrznych.
3. Dokonujemy transformacji w macierzy sztywności i wektorów sił przywęzłowych do tego układu
współrzędnych, w którym były zbudowane wektory ,



- i ,R- dla przemieszczeo sił węzłowych

4. Dzielimy wektory sił przywęzłowych, macierze sztywności na bloki związane ze stopniami swobody
poszczególnych węzłów
5. Budujemy macierz sztywności *K+, umieszczając poszczególne bloki macierzy sztywności prętów w
odpowiednich miejscach globalnej macierzy sztywności, w razie konieczności, kiedy bloki nakładają
się na siebie to dodajemy je do siebie. W podobny sposób składamy wektor sił węzłowych od
obciążeo przęsłowych. Ten proces nazywamy procesem agregacji i prowadzi on do otrzymania
globalnej macierzy sztywności *K+ i globalnego wektora sił węzłowych ,P-
6. Uwzględniamy warunki podporowe, wykonując modyfikacji układu równao ,K-,



} = {P}

7. Wyznaczamy wektor przemieszczeo ,



- a następnie wektory przemieszczeo przywęzłowych, sił

przywęzłowych, reakcji.

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

Wykład 3 Metoda elementów skończonych 3.11.2010 r.

Nie jest to metoda dokładna, a przybliżona, wyniki są przybliżone i trzeba je sprawdzid. Wyniki są
dokładne dla elementów prętowych. Metoda polega na podziale (kontinuum) na części i ich
rozpatrywanie.
Elementy są połączone w węzłach, ale nie są połączone w sposób ciągły

Dyskretyzacja - 5 etapów rozwiązania
I - Kontinuum zostaje podzielone w myśli liniami, na pewną liczbę elementów skooczonych
II - Zakłada się, że elementy te są połączone ze sobą w skooczonej liczbie punktów znajdujących się
na ich obwodach, punkty te nazywamy węzłami, a ich przemieszczenia stanowid będą podstawowy
układ niewiadomych
III - Zostaje dobrana funkcja określająca jednoznacznie stan przemieszczeo wewnątrz każdego
elementu skooczonego w zależności od przemieszczeo punktów węzłowych
IV - Funkcje przemieszczeo (funkcje kształtu) definiują jednoznacznie stan odkształcenia wewnątrz
elementów, zależności od przemieszczeo węzłów. Odkształcenia te wspólnie z odkształceniami
początkowymi i własnościami sprężystymi materiału określają stan naprężeo w elemencie, w tym
także na jego brzegach.
V - Zostaje określony układ sił skupionych w węzłach równoważących napięcia na brzegach
elementów oraz wszystkie inne siły. Otrzymuje się związek w postaci
*K+ (macierz sztywności) * ,q(z daszkiem)- (wektor przemieszczeo węzłowych) = ,R- (wektor sił
węzłowych)

Z którego można wyznaczyd wektor przemieszczeo węzłowych ,q-, a w konsekwencji także wektory
przemieszczeo ,



} w elemencie

{R} => {q(z daszkiem)} => {



}

,f-(wektor przemieszczeo wewnątrz elementu skooczonego) = *N+(macierz funkcji kształtu),q-(wektor
przemieszczeo węzłowych)

WZORY
*D+(macierz sprężystości lub konstytutywna)
[



0

] macierz przemieszczenia - odkształcenia

{



0

- wektor odkształceo początkowych

{



0

- wektor naprężeo początkowych

{F- wektor sił węzłowych
{P- wektor sił masowych = {X Y Z}

T

siły związane z ciężarem własnym elementu

Równanie pracy wirtualnej WZORY ,R- - wektor sił węzlowych

1. Funkcja kształtu musi byd dobrana tak, aby nie pozwoliła na wytworzenie się stanu napięcia w
elemencie jeżeli przemieszczenia węzłów powodują jedynie ruch elementu jako ciała sztywnego.
2. Funkcja kształtu musi byd dobrana tak, aby przy zgodności przemieszczeo węzłów z warunkiem
stałych odkształceo można było te stałe odkształcenia otrzymad
3. Funkcje kształtu muszą byd dobrane tak aby odkształcenia na granicach między sąsiednimi
elementami były skooczone (chociaż mogą nie byd określone)

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

WZORY

u, v -przemieszczenie na x i na y

WZORY

Dla każdego punktu jest takie samo odkształcenie. Wymaga to bardzo gęstej siatki elementów
skooczonych, żeby wyniki nie były zgubne, tylko w miarę dokładne.

PSN

{



0

} ={



t



t 0}

T



- współczynnik rozszerzalności termicznej



t - przyrost temperatury,

PSO ( konstrukcje długie np. tamy, zakładamy nieskooczoną grubośd, wycinamy myślowo pasek 1 m )

{



0

} =(1+



){



t



t 0}

T



- współczynnik Poissona

inne są równania konstytutywne dla PSO i PSN .
Materiał izotropowy -> stal, beton.

PSN izotropia

WZORY

PSO izotropia

WZORY

PSN ortotropowo

WZORY

PSO ortotropowo

WZORY

e1, e2, v1, v2 - moduły Younga i Poissona na 1 i 2 kierunku ortotropii

Dla elementu w PSN i PSO trójkątnego z 3 węzłami naprężenia w każdym punkcie elementu są stałe

WZORY
Zastępuje się całkowanie algebraiczne, całkowaniem numerycznym WZORY

Siły masowe dzielą się równomiernie na wszystkie węzły tego elementu

Wykład 4 Metoda elementów skończonych. Całkowanie równań ruchu metodami
numerycznymi 24.11.2010 r.

Do modelowania używamy Generatorów, które same modelują siatki
RYSUNEK JAKIŚ . (tama z betonu, grunt, warunki brzegowe, siatka zagęszczona ta m gdzie jest więcej
naprężeo)
Płyta - siły działają prostopadle
Tarcza - siły działają w płaszczyźnie tarczy
Zasadą budowania siatki jest aby stosunek najkrótszego do najdłuższego boku nie był większy niż 3.

Przykład z obrazkiem 3 elementy - ŹLE
I i II te dwa elementy mają wspólny węzeł ale nie łączą się z węzłem III elementu

Tarcza ma dwie osie symetrii poziomą i pionową. Siatka również musi byd symetryczna względem osi
x i y (poziomej i pionowej)
Gdy zagadnienie posiada osie symetrii, to siatka też musi zachowad warunek symetrii

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

Warunek zagęszczenia siatek - Siatki należy zagęszczad w miejscach gdzie naprężenia dążą do
nieskooczoności , np. punkty przyłożenia sił skupionych
Punkty gdzie występują pojedyncze podpory też należy zagęszczad siatkę

Jak ocenid czy wyniki otrzymane metodą elementów skooczonych są poprawne ?
I Metoda - Zmiana elementu skooczonego
II Metoda - Porównywanie wyników z siatki z siatką dwa razy gęstszą i porównad te wyniki (2 lub
więcej razy gęstszą). Jeżeli wynik nie różni się więcej jak 5% to jest ok

RYSUNKI > Zbyt duża różnica przemieszczeo , trzeba zagęścid siatkę

Natomiast, jeżeli porównujemy siatki, które są jeszcze bardziej zagęszczone, a błąd się nie zmniejsza
tylko zwiększa, to mamy ewidentnie źle wybrany punkt lub metodą porównywania elementów.

Całkowanie równao ruchu metodami numerycznymi

M - macierz mas
C - macierz tłumienia
K - macierz sztywności
q'' - wektor przyspieszenia
q' - wektor prędkości

Układ równao macierzowych drugiego rzędu równanie ruchu

WZORY

Zamiana układu II rzędu na I rzędu powoduje zwiększanie rozmiaru zadania dwukrotnie (jak III rzędu
na I to trzykrtonie)

a) I grupa rozwiązania równao ruchu analiza modalna
b) II grupa sposobem wprost

Ad. a) Konieczne jest ... problem własnego i pochyla się do częstości drgao własnych. Następnie
można dokonad odpowiedniej transformacji do której potrzebne są częstości i częstości drgania
własne. Układ stanie się układem rozprężonym (każde równanie różniczkowe będzie można
rozwiązad osobno). Skuteczne są algebraiczne rozwiązania albo ....

Mając rozwiązane wektory własne tworzy się kombinacje liniową tych wektorów własnych, które jest
rozw. problemem.

Ad b). WPROST
Jawne

metody niejawne

- metoda różnic centralnych

-Wilsona

- metoda punktu środkowego

- Huberta

- metoda Rungego Kulty

- Newmarka

Polegają na rekurencyjnym sposobie poszukiwania rozwiązania w odróżnieniu od metod które dają
rozwiązanie do NIEWYRAZNE

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

cośtam ruchu - poszukiwanie rozwiązania dla kolejnych kroków czasowych przy czym rozwiązanie
kroku kolejnego rozwiązuje się z wartości uzyskanych dla kroku poprzedniego (1 lub więcej)

Metoda różnic centralnych
równanie ruchu

WZORY

Metoda różnic centralnych WZORY

Spisanie równao ruchu i chwili t np. Obejmują okres od chwili t-



t do chwili t+



t, na tej podstawie

rozwiązuje się prędkośd i przyspieszenie

WZORY

Procedura startowa:

WZORY równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego

Żeby rozpocząd liczenie metodą różnic centralnych trzeba rozpocząd procedurę startową ( stosuje się
ją w celu obliczenia pierwszej chwili czasowej wielkości przemieszczeo)
Wada: Jest to metoda warunkowo - stabilna. Oznacza, że rozwiązanie układu równao różniczkowych
w dostatecznie dokładny sposób aproksymuje rozwiązanie rzeczywiste, tylko i wyłącznie przy
zastosowaniu odpowiednio małego kroku



t. Jeżeli



t >



t

krytyczne

to wtedy rozwiązanie bardzo szybko

robi się rozbieżne. Przy czym rozbieżnośd ta ma charakter...
Wielkośd



t

krytyczne

jest związane z t

h

(najmniejszy okresem drgao własnych).

Algorytm metod różnic centralnych
Kroki początkowe:
1. Obliczenie [K] [M] [C]
2. Początkowe wartości ,q

0

} {q*

0

} {R

t

}

3. Dobór kroku całkowania

WZORY

Jeżeli obliczenia przeprowadzamy metodą różnic centralnych ustalmy wielkośd kroku całkowania
4. Procedura startowa

WZORY

5. Efektywna macierz mas

WZORY [S]

6. Odwrócenie efektywnej macierzy mas

[S] => [S]

-1

Kroki powtarzane w pętli (rekurencyjne)
1. efektywny wektor obciążeo

WZORY"

2. Przemieszczenie

WZORY

3. Jeśli trzeba

WZORY

4. Przejście do następnego kroku

Metoda Newmarka - niejawna bo

WZORY

Równanie w chwili t+



t

WZORY

Warunek bezwzględnej stabilności

WZORY



większe równe od 0,5



większe równe od 0,25(0,5+



)

2

to algorytm Newmarka jest bezwarunkowo stabilny
Przy długim kroku całkowania rozwiązanie może byd niedokładne ale na pewno nie będzie rozbieżne



= 0,5, a



= 0,25

Algorytm metody Newmarka

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

Kroki początkowe
1. Obliczenie [K] [M] [C]
2. Początkowe wartości ,q

0

} {q*

0

} {R

t

}

WZORY

3. Przyjęcie



i



oraz krok czasowy

4. Efektywna macierz sztywności *S+
5. Odwrócenie efektywnej macierzy sztywności

Kroki powtarzane w pętli (rekurencyjne)
1. efektywny wektor obciążeo

WZORY

2. Przemieszczenie

WZORY

3. Przyspieszenie i prędkośd

WZORY

4. Przejście do następnego kroku t=t+



t

Metody jawne stają się bardziej efektywne od metod niejawnych w momencie gdy długośd kroku
całkowania (



t) jest ograniczona przez jakieś inne czynniki np. przez nieliniowośd materiałową w

związkach reologicznych. Wtedy m. niejawne długi krok całkowania, a prosty .... że stają się one
bardziej efektywne

Metoda Newmarka - jest bardziej dokładna, wykres jest właściwy dla wielu wartości całkowania, a
wartości minimalne i maksymalne są cały czas.

Wykład 5 Metody rozwiązywania układów równań liniowych 01.12.2010 r.

Układy równao liniowych
a

11

*x

1

+ a

12

*x

2

+ ... + a

1n

*x

n

= y

1

a

21

*x

1

+ a

22

*x

2

+ ... + a

2n

*x

n

= y

2

...

a

n1

*x

1

+ a

n2

*x

2

+ ... + a

nn

*x

n

= y

n

[A]* {X} = {Y}

Metody dokładne:
- eliminacyjne - Gaussa , Jordana
- dekompozycyjne - Gaussa-Duitla , Gaussa - Krauta, Cholewskiego

Metody przybliżone:
- iteracji prostej Gaussa
- Metoda Gaussa-Seitla
- Metoda nadrelaksacji

WZORY Macierz współczynników z macierzy pełnej ma się stad macierzą trójkątną (lub diagonalną)
WZORY, etap I (przekształcenia) , etap II (przekształcenia), etap III (rekursji)

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

1. Metoda Eliminacji Gaussa (Metoda dokładna eliminacyjna)
a

i

, n+1

= y

i

i=1,2,..., n

Rekursja:

WZORY

Eliminacja:

WZORY

2. Metoda Jordana
a

i

, n+1

= y

i

i=1,2,..., n

Eliminacja:

WZORY

Rekursja - brak,

macierz diagonalna

WZORY

Metodą Jordana można odwracad macierze

UWAGA:
Tw.1 Może się zdarzyd, że dla macierzy współczynników wyznacznik jest różny od 0 (detA różny od 0)
Któryś z dzielników a

kk

(k-1)

= 0

Wówczas należy przestawid wiersze macierzy współczynników tak, aby na głównej przekątnej
eliminowanego równania uzyskad element a

kk

(k-1)

różny od 0

Tw. 2 Jeżeli wyznacznik z macierzy współczynników detA = 0 to zamiana wierszy nie usunie dzielenia
przez 0
Tw. 3 Dzielniki a

kk

(k-1)

można zapisad na głównej przekątnej macierzy A (a

kk

(k-1)

= d

k

) w miejsce zawsze

znajdujących się tam jedynek. Można wtedy w łatwy sposób wyznaczyd wyznacznik z macierzy A|



= 1 (liczba przestawieo wierszy jest parzysta) ,



= -1 (liczba przestawieo wierszy jest nieparzysta)

detA =



(Jakiś pojebany znaczek z n i k=1) d

k

Tw. 4 Jeżeli macierz współczynników jest dodatnio określona

WZORY

to wszystkie dzielniki dk będą

większe od zera i otrzymujemy algorytm bez przestawieo

Tw. 5 Liczba operacji arytmetycznych w metodzie Eliminacji Gaussa jest rzędu n

3

gdzie n jest

rozmiarem zadanym

Tw. 6 Odmianą metody eliminacji Gaussa jest wariant z wyborem elementu głównego. Polega on na
tym, że przed przystąpieniem do eliminacji i-tego równania dokonujemy zamiany wierszy i kolumn
dolnej podmacierzy tak aby uzyskad maksymalny element na głównej przekątnej, odpowiada to
zmianie numeracji niewiadomych i zamianie wierszy.

1. Metoda Gaussa - Dolittle'a . (Dekompozycjne , metoda dokładna)
Eliminacja:

WZORY

Rekursje:

WZORY

Na etapie eliminacji nie przekształca się wektora prawych stron
Tw. Każdą nieosobliwą macierz kwadratową *A+ o wymiarach nxn można rozłożyd na iloczyn dwóch
macierzy trójkątnych jeżeli wszystkie główne minory macierzy *A+ są różne od 0 . Rozkładu można
dokonad na n sposobów obierając dowolnie n-elementów , z głównej przekątnej macierzy *L+ lub *U+
Od sposobu doboru elementu zależy sposób rozwiązywania ukladu

2. Metoda Gaussa - Crouta
Eliminacja:

WZORY

Rekursje:

WZORY

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

3. Metoda Cholewskiego
Eliminacja:

WZORY

Macierz *A+ jest symetryczna i dodatnio określona. Wtedy stosujemy metodą Cholewskiego
Rekursje:

WZORY

METODY PRZYBLIŻONE:
1. Metoda Iteracyjna Gaussa

WZORY

Zakładamy wstępnie pewne wartości zmiennych od x1 do xn. Wartości tych zmiennych założonych
ustawiamy po prawej stronie układu równao i wyznaczamy nowe wartości układu równao od x1' do
xn'. Następnie nowe wartości ustawiamy po stronie prawej i ponownie wyznaczamy wartości po
lewej stronie, proces ten kontynuujemy, aż różnice między wartościami po lewej i prawej stronie
będą małe.

Wadą jest to, że nasz proces obliczania wartości może okazad się rozbieżnym lub słabo zbieżnym.
Rozbieżnośd w znacznej mierze zależy od sposobu przyjęcia początkowych wartości niewiadomych.
Dlatego też wprowadzono modyfikację tej metody pod nazwą

2. Gaussa- Seitla
Układ costam przekształca tak jak w metodzie Gaussa ale wydzielcostam

WZORY

Zaletą Gaussa-Seitla jest to, że jeżeli macierz współczynników *A+ jest symetryczna i dodatnio
określona to proces iteracyjny jest zawsze zbieżny.

3. Metoda nadrelaksacji

WZORY

do wyznaczenia przyrostów w równaniach następnych używamy już nowych wartości zmiennych
wyznaczonych z przyrostów z równao poprzednich
0<w<2 zwykle 1,2<w<1,45 w- współczynnik nadrelaksacji

WZORY

Jeżeli macierz współczynników A jest macierzą symetrycznie i dodatnio określoną to metoda
nadrelaksacji jest zbieżna, gdy wartośd współczynników nadrelaksacji 0<w<2 . Zazwyczaj przyjmuje
się wartości 1,2<w<1,45 . Jeżeli w=1 to metoda nadrelaksacji zmienia się w metodą Gaussa-Seitla.

Wykład 6 Interpolacja i Aproksymacja

22.12.2010 r.

Interpolacja:
- kilka funkcji przybliżających
- funkcje przechodząca przez wszystkie punkty pomiarowe
- niewielka liczba punktów pomiarowych

Aproksymacja:
- jedna funkcja przybliżająca
- funkcja przechodzi tak aby błąd przybliżonych punktów pomiarowych był jak najmniejszy

ŻELBASTIAN DAMPS PG GDAOSK

- znaczna liczba punktów pomiarowych

Interpolacja liniowa

WZORY

, kwadratowa

WZORY

, interpolacja wielomianu dowolnego stopnia n

WZORY

Metoda kolokacji - niech wartości funkcji y

1

, y

2

, ..., y

n

będą dane w punktach x

1

,x

2

,...,x

n

. Szukamy

funkcji y=f(x) w postaci kombinacji liniowej y=a

1

f

1

(x) + a

2

f

2

(x) +...+a

n

f

n

(x)

funkcje f(x) są z góry założone
Kolokacja wielomianowa

WZORY

Kolokacja szeregami Czebyszewa -

WZORY

wzór rekurencyjny

WZORY

Kolokacja szeregami Fouviera -

WZORY

powstaje układ rozwiązao ze względu na parametry a

i

Dla funkcji wielu zmiennych

WZORY

Aproksymacja - sposoby aproksymacji ze względu na sposób liczenia
y = a

0

+a

1

x + e => e = y - a

0

- a

1

x

Minimum sumy błędów

WZORY

Minimum sumy wartości bezwzględnych błędów

WZORY

Kryterium "min max" - minimum największego błędu

WZORY

Minimum sumy kwadratów - metoda najmniejszych kwadratów

WZORY

Metoda najmniejszych kwadratów - opis ogólny
Wartości funkcji y

1

, y

2

, ..., y

n

dane w punktach x

1

,x

2

,...,x

n

Szukamy funkcji jako kombinacji liniowej pewnych funkcji

WZORY Różnica l << n, Błąd i-tego

równania, współczynnik ai dobieramy tak aby błąd był najmniejszy. Powstaje układ L równao z L
niewiadomymi. Kontrola błędu - wariancja, odchylenie standardowe

Metoda najmniejszych kwadratów (regresja lub aproksymacja liniowa)

WZORY Rozwiązanie , wartośd

średnia i kwadrat odchyleo, odchylenie standardowe i wariancja, współczynnik wariancji,
standardowy błąd przybliżenia (S

y/x

), współczynnik determinacji (v

2

), współczynnik korelacji (r).

Rozwiązanie poprawne gdy S

y/x

< S

y