5. Zwarcia symetryczne w systemach elektroenergetycznych

5.1. Wprowadzenie

Zwarciem nazywa się połączenie punktów obwodu elektrycznego należących do różnych faz lub połączenie jednego lub większej liczby takich punktów z ziemią. Połączenie może być bezpośrednie, wtedy opór miejsca zwarcia może być traktowany jako zerowy. Zwarcia dzielą się na symetryczne i niesymetryczne.

Rys. 5.1. Schematy ideowe zwarć symetrycznych i niesymetrycznych

Symetrycznymi nazywają się takie zwarcia, w których wektory prądów przewodowych i napięć fazowych są symetryczne. Oznacza to, że wszystkie fazy w przypadku zwarcia symetrycznego są obciążone jednakowo. Jest to więc zwarcie 3-fazowe.

Zwarcia, w których nie istnieje symetria obciążenia nazywamy zwarciami niesymetrycznymi. Są to zwarcia 1 - fazowe, 2 - fazowe i 2 - fazowe z ziemią.

Na podstawie statystyk światowych można przyjąć, że udziały różnych rodzajów zwarć są w przybliżeniu następujące:

• zwarcia 1-fazowe 65%

• podwójne zwarcia z ziemią i zwarcia 2-fazowe z ziemią 20%

• zwarcia 2-fazowe 10%

• zwarcia 3-fazowe 5%

Wskutek zwarć w elementach systemu elektroenergetycznego mogą płynąć prądy o wartościach wielokrotnie przekraczających prądy robocze. Powodują one gwałtowne nagrzewanie urządzeń elektroenergetycznych, co może doprowadzić do ich uszkodzenia. Przy przepływie prądu zwarciowego powstają również siły dynamiczne o tak dużych wartościach, że powodują mechaniczne uszkodzenia szyn zbiorczych, uzwojeń transformatorów, przekładników prądowych, itp..

Niektóre zwarcia - jak na przykład zwarcie 1 - fazowe w sieci o izolowanym punkcie neutralnym - nie powodują co prawda powstania dużych prądów, ale za to stwarzają niebezpieczeństwo porażenia.

Wobec faktu, że prądy zwarciowe są tak niebezpieczne nie można dopuścić do ich długotrwałego przepływu. Należy szybko wyłączyć zwarty element, nawet w ułamkach sekundy. Do tego celu służą wyłączniki samoczynnie pobudzane przez zabezpieczenia oraz bezpieczniki.

Zdarza się również, że zwarcia mają charakter przemijający i wystarcza krótkotrwałe wyłączenie linii, aby cały układ wrócił do normalnego stanu. Stosuje się w takich przypadkach urządzenia zwane samoczynnym ponownym załączeniem, w skrócie SPZ. Automatyka SPZ wyłącza linię i po krótkim czasie, w ciągu którego następuje zdejonizowanie łuku elektrycznego, ponownie załącza linię pod napięcie. Ze statystyk światowych, można stwierdzić, że około 70 procent wszystkich zwarć w liniach to zwarcia przemijające.

Znajomość wartości i przebiegu czasowego prądu zwarciowego jest niezbędna przy projektowaniu, budowie, rozbudowie i sterowaniu systemów elektroenergetycznych. Dąży się do tego, aby prądy zwarciowe były jak najmniejsze, w tym celu dobiera się odpowiednią konfigurację sieci, stosuje się dławiki ograniczające prądy zwarciowe, itp.

W celu zbadania zmian zachodzących w obwodzie elektrycznym po wystąpieniu zwarcia symetrycznego rozpatrzmy prosty obwód trójfazowy symetryczny. Ze względu na symetrię napięć i prądów rozważania można ograniczyć do jednej fazy. Ponadto można pominąć prąd obciążenia jako wielokrotnie mniejszy od prądu zwarcia, rys. 5.2.

Rys. 5.2. Obwód elektryczny nieobciążony zwierany przez wyłącznik

Załóżmy, że do obwodu doprowadzone jest napięcie sinusoidalne

u = U_msin(
)

gdzie:

U_m=
U - wartość maksymalna napięcia,

U - wartość skuteczna napięcia,

- pulsacja,

f - częstotliwość,

- faza napięcia w chwili t = 0.

Stan nieustalony po załączeniu wyłącznika opisany jest równaniem różniczkowym

R i + L
= U_msin(
)

gdzie i oznacza wartość chwilową prądu. Po rozwiązaniu równania różniczkowego przy warunku początkowym

i(t=0) = 0

otrzymuje się następujący wzór na prąd zwarciowy

gdzie Z - impedancja obwogu, ϕ - przesunięcie fazowe.

Ze wzoru wynika, że prąd zwarciowy jest sumą dwóch prądów składowych

gdzie: i_AC - składowa okresowa o stałej amplitudzie, i_DC - składowa nieokresowa.

Rys. 5.3. Przebiegi prądu zwarciowego w obwodzie o parametrach w jednostkach względnych: R=0.1, X=0.8, U = 1, psiU=30^o

Składowa nieokresowa ma charakter prądu stałego zanikającego w czasie stosownie do stałej czasowej

Zwarcie, w czasie którego nie występuje zmiana wartości skutecznej napięcia powodującego przepływ prądu zwarciowego oraz impedancja obwodu jest stała i liniowa nosi nazwę zwarcia odległego od generatorów. Z takim typem zwarć mamy do czynienia w większości zwarć zasilanych z sieci średniego napięcia.

W przypadku zwarcia w pobliżu generatorów przebieg pradu zwarciowego jest inny. Wpływ generatora synchronicznego objawia się tym, że amplitudy składowej okresowej prądu zwarciowego nie są stałe i maleją w czasie aż do pewnej ustalonej wartości. Zmienność ta wynika z własności elektromagnetycznych generatora, a mianowicie sprzężeń magnetycznych między uzwojeniami wirnika i twornika.

Rys. 5.4. Schematy zastępcze generatora synchronicznego w stanach nieustalonych

W stanach nieustalonych generator może być zastąpiony trzema schematami zastępczymi. W stanie podprzejściowym - przez sem podprzejściową E″ za reaktancją podprzejściową
, w stanie przejściowym - przez sem przejściową E′ za reaktancją przejściową
, w stanie ustalonym - przez sem ustaloną E za reaktancją synchroniczną X_d .

Reaktancja podprzejściowa generatora podawana jest w jednostkach względnych odniesionych do napięcia znamionowego U_NG i mocy znamionowej S_NG generatora, czyli do znamionowej impedancji generatora

Wówczas

W dużych generatorach reaktancja podprzejściowa
jest około 2 - krotnie mniejsza od reaktancji przejściowej
oraz około 10 - krotnie mniejsza od reaktancji synchronicznej X_d . Często w literaturze dla odróżnienia reaktancji podprzejściowej w jednostkach względnych od reaktancji podprzejściowej w omach stosuje się oznaczenie
zamiast
.

Do analizy zwarć wybiera się schemat zastępczy generatora modelujący jego wpływ na pozostałe elementy systemu w chwili tuż po wystąpieniu zwarcia, a więc schemat w stanie podprzejściowym.

W tworzeniu modeli matematycznych systemu elektroenergetycznego niezbędnego do wyznaczania prądów zwarciowych należy pamiętać o tym, że wzory końcowe powinny mieć prostą i łatwą do stosowania postać. Należy jednak pamiętać, że wszystkie uproszczenia w modelowaniu powinny dawać wartośći prądów zwarciowych nieco większe od wartości, które można zarejstrować i pomierzyć. Z tego wynikają założenia uproszczające, powszechnie stsowane w praktycznych obliczeniach.

Założenia uproszczające w obliczeniach zwarciowych

1. Pomija się wszystkie nieliniowości w obwodach zastępczych, co pozwala wykorzystać w modelowaniu twierdzenie Thevenina i zasadę superpozycji.

2. Pomija się parametry poprzeczne wszystkich elementów obwodu zastępczego.

3. Pomija się prądy obciążeniowe z tego powodu, że prądy zwarciowe są wielokrotnie większe od prądów obciążeniowych.

4. Po pominięciu obciążeń, w każdym punkcie sieci elektroenergetycznej wartość napięcia jest równa napięciu znamionowemu.

5. Pomija się regulację przekładni transformatorów, co oznacza, że wszystkie transformatory w sieci mają przekładnie znamionowe.

6. Pominięcie parametrów poprzecznych, prądów obciążenia i regulacji przekładni transformatorów może być rekompensowane poprzez wprowadzenie do wzorów końcowych współczynnika zwarciowego.

5.2. Zastosowanie twierdzenia Thevenina do obliczania prądów zwarć symetrycznych

Zwarcie symetryczne w dowolnym punkcie sieci k sieci odpowiada włączeniu 3 jednakowych małych impedancji zespolonych
między dwa jałowe zaciski obwodu trójfazowego.

Napięcia i prądy płynące w obwodzie po nagłej zmianie wywołanej włączeniem impedancji są nadal symetryczne, w związku z czym rozważania można ograniczyć do jednej fazy.

Ze względu na fakt, że obwód zastępczy jest liniowy, zmiany wartości prądów i napięć wywołane zwarciem symetrycznym można w sposób prosty wyliczyć w oparciu o twierdzenie Thevenina.

Podstawowa koncepcja twierdzenia Thevenina polega na zastąpieniu danego obwodu aktywnego, widzianego od strony wybranej pary zacisków, przez równoważny obwód elektryczny składający się z idealnego źródła napięcia o sem E_T równej napięciu stanu jałowego i szeregowej impedancji zastępczej Z_kT widzianej z tych zacisków. Dla potrzeb analizy, impedancję zastępczą obwodu oznaczono dużą literą, aby odróżnić ją od impedancji gałęziowych oznaczanych małymi literami.

Na rysunku 5.5a pokazano schematycznie jedną fazę analizowanego systemu trójfazowego. W systemie wyróżniono węzły generatorowe j dostarczające moc do sieci, węzły odbiorcze i pobierające moc z sieci oraz nieobciążony węzeł k, w którym wystąpi zwarcie symetryczne przez impedancję zespoloną
.

Rys. 5.5. Zastosowanie twierdzenia Thevenina do modelowania zwarć symetrycznych; a) - schemat systemu przed zwarciem; b) - schemat zastępczy wynikający z twierdzenia Thevenina. Oznaczenia: U - napięcie, E - em, indeks p - wartość napięcia przed zwarciem, ph - napięcie fazowe, s - sieć elektryczna, T - wielkości wynikajace z twierdzenia Thevenina.

Z twierdzenia Thevenina wynika, system elektroenergetyczny w stanie zwarcia może być zastąpiony sem zastępczą równą napięciu w stanie jałowym w węźle k tuż przed zwarciem oraz impedancją Z_kT widzianą z węzła k przy zwartych wszystkich sem w systemie

gdzie indeks dolny p oznacza wartość napięcia przed zwarciem.

W rezultacie otrzymujemy oczko elementarne składające się z połączonych szeregowo: impedancji Z_kT i impedancji z_zk oraz sem E_T. Zatem przez impedancję z_zk płynie prąd zwarciowy

Należy tu zwrócić uwagę, że sem Thevenina w obwodzie elementarnym może być przemieszczona tak, aby była skierowana od węzła do szyny odniesienia, a więc przeciwnie, aniżeli sem rzeczywistych źródeł napięcia umieszczonych w węzłach generatorowych. Ten sposób umieszczania sem Thevenina na schematach zastępczych jest często praktykowany w obliczeniach praktycznych.

Z punktu widzenia obliczeń inżynierskich interesuje nas prąd zwarciowy początkowy
. Prąd zwarciowy początkowy
jest to wartość skuteczna składowej okresowej prądu zwarciowego
w chwili powstania zwarcia

czyli

W w celu uproszczenia obliczeń pomija się odbiory, parametry poprzeczne sieci oraz regulację przekładni transformatorów. W rezultacie przyjmuje się, że napięcie międzyfazowe w miejscu zwarcia w chwili przed zwarciem jest równe napięciu znamionowemu U_Nk . Uproszczenia w modelowaniu obwodu zastępczego można zrekompensować poprzez współczynnik zwarciowyu c. Wartośc tego współczynnika można oszacować posługując się następującym rozumowaniem:

• napięcie w miejscu zwarcia może być maksymalnie o 5% wyższe od napięcia znamionowego,

• pominięcie prądów obciążenia, parametrów poprzecznych i regulacji przekładni transformatorów może powodować maksymalnie niedoszacowanie prądu zwarciowego ok. 5%.

W konsekwencji

c = 1.05x1.05 = 1.1

Najprostszym sposobem zrekompensowania uproszczeń modelowania jest pomnożenie napięcia znamionowego w miejscu zwarcia przez współczynnik zwarciowy c

U_pk = cU_Nk

czyli

W praktycznych obliczeniach, współczynnik zawiera się w przedziale od 1 do 1.1, zależnie od rodzaju sieci (przesyłowa, rozdzielcza, niskiego napięcia) i oczekiwanego prądu zwarcia (maksymalny czy minimalny). Prąd zwarciowy początkowy może być teraz obliczony z następującego prostego wzoru

Największe wartości osiąga prąd zwarciowy w przypadku zwarć metalicznych odpowiadających zerowej impedancji galęzi, przez którą nastąpiło zwarcie. Z tego powodu w praktyce stosuje się następujący wzór do obliczania prądu zwarciowego początkowego zwarcia symetrycznego

Zwarcie symetryczne charakteryzujemy również przez podanie mocy zwarciowej zdefiniowanej jako iloczyn prądu zwarciowego początkowego
i napięcia znamionowego sieci w miejscu zwarcia U_Nk

Moc zwarciowa jest wielkością umowną, a nie fizyczną, gdyż najczęściej napięcie w miejscu zwarcia i w chwili zwarcia jest bardzo małe lub zerowe.

Moc zwarciowa używana jest do scharakteryzowania właściwości zwarciowych aparatury oraz wydzielonych obszarów sieci. Wartość mocy zwarciowej danego obszaru świadczy o stopniu rozwoju podsystemu elektroenergetycznego odpowiadającego temu obszarowi.W sieciach średniego napięcia moce zwarciowe osiągają wartość mniejszą od 500 MVA. W sieciach 110 kV moce zwarciowe zmieniają się od kilkuset do 6500 MVA. W sieciach 220 i 400 kV moce zwarciowe wahają się w przedziale od kilku tysięcy do ok. 20000 ÷ 30000) MV⋅A i zwiększają się wraz z rozwojem systemu elektroenergetycznego. Często obok mocy zwarciowej zwarcia 3-fazowego podaj się moc zwarciową zwarcia 1-fazowego, Tab. 5.1a,b.

Tab. 5.1a. Przykładowe wartości mocy zwarciowych w rozdzielni elektrownianej 400/220/110 kV.

WezelSieci	Un	Szw3f	Izw3f
-	kV	MVA	kA
XIK214	220.0	14200.2	37.3
XIK224	220.0	14199.5	37.3
XIK234	220.0	14199.7	37.3
XIK244	220.0	14200.9	37.3
XIK254	220.0	14198.1	37.3
XIK274	220.0	14198.6	37.3
XIK414	400.0	22238.1	32.1
XIK424	400.0	22237.0	32.1
XIK124	110.0	4758.4	25.0
XIK114	110.0	4758.5	25.0

Tab. 5.1b. Przykładowe wartości mocy zwarciowych w sieci 220/110 kV zasilajacej kombinat przemysłowy.

WezelSieci	Un	Szw3f	Szwdop	Szwdop-Szw	Izw3f
-	XV	MVA	MVA	MVA	XA
XUX214	220	5369,6			14,1
XUX114	110	4717,1	5000	282,9	24,8
XUX124	110	4717,0	5000	283,0	24,8
XUX144	110	4716,0	5000	284,0	24,8
XUX144	110	4716,0	5000	284,0	24,8
XOL414	400	7507,9			10,8
XOL214	220	8189,3			21,5
XOL224	220	8187,9			21,5
XOL234	220	8188,7			21,5
XOL244	220	8188,8			21,5
XOL114	110	4658,4	5000	341,6	24,5
XOL124	110	4753,0	5000	247,0	24,9
XOL134	110	4658,9	5000	341,1	24,5
XOL144	110	4752,2	5000	247,8	24,9
XOL154	110	4657,2	5000	342,8	24,4
XOL174	110	4658,8	5000	341,2	24,5
XG1114	110	3549,6	3500	-49,6	18,6
XG1124	110	3526,9	3500	-26,9	18,5
XG2114	110	2972,0	3500	528,0	15,6
XG2124	110	2971,5	3500	528,5	15,6
XSL114	110	3091,7	3500	408,3	16,2
XSL124	110	3091,6	3500	408,4	16,2
XSJ114	110	3399,5	3500	100,5	17,8
XSP114	110	3758,7	3500	-258,7	19,7
XSP124	110	3758,9	3500	-258,9	19,7
XRZ114	110	3638,1	3500	-138,1	19,1
XRZ124	110	3357,4	3500	142,6	17,6
XRZ134	110	3638,7	3500	-138,7	19,1
XRZ144	110	3356,6	3500	143,4	17,6
XRX114	110	3248,6	3500	251,4	17,1
XRC114	110	3105,1	3500	394,9	16,3
XPZ114	110	3429,7	3500	70,3	18,0
XPZ124	110	3430,0	3500	70,0	18,0
XRG114	110	4650,1	3500	-1150,1	24,4
XRG124	110	4650,0	3500	-1150,0	24,4
XRG134	110	4649,8	3500	-1149,8	24,4
XRG144	110	4649,8	3500	-1149,8	24,4
XRG164	110	4649,6	3500	-1149,6	24,4
XRG184	110	4648,0	3500	-1148,0	24,4
XPG114	110	3982,2	3500	-482,2	20,9
XPG124	110	3894,9	3500	-394,9	20,4
XPG134	110	3883,0	3500	-383,0	20,4
XPG144	110	3997,0	3500	-497,0	21,0
XLG114	110	1150,7	3500	2349,3	6,0
XLG124	110	2020,6	3500	1479,4	10,6
XLG134	110	3455,4	3500	44,6	18,1

5.3. Zwarciowe parametry zastępcze elementów systemu elektroenergetycznego i obliczenie prądu zwarciowego w jednostkach mianowanych.

Z założeń upraszczających wynika, że wszystkie elementy tworzące system elektroenergetyczny są modelowane w obliczeniach zwarciowych jako dwójniki o podłużnej impedancji. Wartość impedancji elementu jest odnoszona do znamionowych wartości tego elementu.

Generator

Generator jest modelowany jako reaktancja

gdzie

U_NG - napięcie znamionowe generatora w kV,

S_NG - moc znamionowa generatora w MVA,

- reaktancja podprzejściowa generatora.

System zewnętrzny

System zewnętrzny w obliczeniach zwarciowych jest charakteryzowany przez moc zwarciową odpowiadającą maksymalnemu prądowi zwarcia (c=1.1)

System zewnętrzny jest modelowany jako reaktancja

Linia

Linia napowietrzna lub kablowa jest modelowana jako podłużna rezystancja i reaktancja

R_L = r' l

X_L = x' l

gdzie

r' , x' - jednostkowa rezystancja w Ω/km,

l - długośc linii w km.

Dławik zwarciowy

Dławik jest modelowany jako podłużna reaktancja

gdzie

U_ND - napięcie znamionowe dławika w kV,

I_ND - moc znamionowy dławika w kA,

u_k - napięcie zwarcia dławika.

Transformator 2-uzwojeniowy

Transformator jest modelowany jako impedancja podłużna o wartości wynikającej z parametrów znamionowych transformatora

Napięcie znamionowe jest równe znamionowemu napięciu górnemu lub dolnemu transformatora, zależnie od wygody obliczeń

U_NT = U_NHT lub U_NT = U_NHL

W obliczeniach zwarciowych pomija się regulację przekładni. Zakłada się stałą wartość przekładni, równą stosunkowi napięć znamionowych sieci.

Impedancje poszczególnych elementów systemu przelicza się na poziom napięcia w miejscu zwarcia.

Przykładowo, jeżeli między danym elementem o reaktancji X a miejscem zwarcia jest m transformatorów, to wartość reaktancji przelicza się na poziom napięcia w miejscu zwarcia w następujący sposób

Takie przeliczanie jest łatwe w sieciach promieniowych. W sieciach oczkowych konieczne może się okazać posługiwanie się uśrednionymi wartościami przekładni ze względu na fakt, że możliwe jest wiele dróg dojścia z miejsca zwarcia do źródeł prądu zwarciowego.

W przypadku sieci oczkowych - zwłaszcza dużych sieci oczkowych - w obliczeniach zwarciowych wygodniej jest stosować jednostki względne zamiast jednostek mianowanych.

Przykład 5.1

Obliczyć prąd zwarcia 3 - fazowego na końcu układu przesyłowego pokazanego na rys.5.6a, w jednostkach mianowanych. Schemat zastępczy układu przesyłowego wynikający z twierdzenia Thevenina pokazano na rys. 5.6b. Napięcia znamionowe sieci wynoszą 10 kV, 110 kV, 6 kV.

Dane poszczególnych elementów układu są następujące:

generator: S_NG = 25 MV*A, U_NG = 10.5 kV,
= 0.12

transformator 1: S_NT = 40 MV*A, u_k = 10% , U_NH = 115 kV, U_NL = 11 kV

transformator 2: S_NT = 25 MV*A, u_k = 10% , U_NH = 115 kV, U_NL = 6.3 kV

linia:
= 0,4
/km, U_NL = 110 kV, l = 25 km

Rys. 5.6. Schemat ideowy a) i schemat zastępczy systemu elektroenergetycznego do obliczania zwarć symetrycznych.

Rozwiązanie

Generator G

=0.5292 Ω - zwarciowa reaktancja generatora

= 0.1736 Ω

Transformator T1

= 33.0625 Ω - zwarciowa reaktancja transformatora

=0.0992 Ω

Linia

=10 Ω - reaktancja zwarciowa linii

=0.03 Ω

Transformator T2

= 0.1588 Ω

Reaktancja zastępcza widziana z miejsca zwarcia

X_kT = X_G + X_T1 + X_L + X_T2 = 0.1736 + 0.0992 + 0.03 + 0.1588 = 0.4616 Ω

Prąd zwarciowy początkowy

= 8.2550 kA

5.4. Analiza zwarć w uproszczonych jednostkach względnych

Obliczenia zwarciowe stają się znacznie łatwiejsze i wygodniejsze, jeżeli jednostki względne zostaną odniesione do jednej mocy bazowej w całej sieci i do napięć bazowych poszczególnych elementów sieci.

Idea uproszczonych jednostek względnych stosowanych dawniej w Polsce w obliczeniach zwarciowych wynika z obserwacji, że napięcia znamionowe transformatorów, generatorów oraz silników są o 5% większe od napięć znamionowych sieci. W takiej sytuacji wygodnie jest przyjąć za napięcie bazowe napięcie

U_b = 1.05 U_Ns = 1.05 U_N

W konsekwencji impedancja bazowa danego elementu systemu elektroenergetycznego wynosi

Posługiwanie się uproszczonymi jednostkami względnymi ułatwia obliczenia, gdyż znikają we wzorach na parametry zastępcze transformatorów znikają napięcia.

Parametry zastępcze transformatora w uproszczonych jednostkach względnych

W przypadku rezystancji transformatora mamy

Stosując podobne podstawienia w przypadku reaktancji otrzymujemy

- reaktancja w jednostkach minaowanych,

- reaktancja w jednostkach względnych.

Widać, że paramatery zastępcze transformatorów w uproszczonych jednostkach względnych są wyliczane z bardzo prostych wzorów, w których nie występują napięcia znamionowe.

Parametry zastępcze generatora w uproszczonych jednostkach względnych

W przypadku generatora wzór na reaktancję zastępczą w polskiej normie zwarciowej ma następującą postać

Parametry zastępcze linii w uproszczonych jednostkach względnych

Zgodnie z zasadą uproszczonych jednostek względnych należy impedancję bazową linii odnieść do napięcia 1.05U_N

W rezultacie mamy

gdzie

R', X' - rezystancja i reaktancja jednostkowa linii, w Ω/km

l - długość linii w km.

Reaktancja zastępcza dławika w uproszczonych jednostkach względnych

Parametry znamionowe dławika obejmują napięcie znamionowe U_ND, prąd znamionowy I_ND i napięcie zwarcia u_k . W oparciu o parametry znamionowe wyznaczana jest reaktancja znamionowa dławika

Podobnie jak w przypadku linii impedancja bazowa dławika odniesiona jest do napięcia o 1.05U_N

czyli

Należy tu wspomnieć, że dławiki o wyższym napięciu znamionowym mogą być włączone na niższe napięcie, dlatego zwykle U_ND nie jest równe 1.05U_N .

Reaktancja zastępcza systemu zewnętrznego w uproszczonych jednostkach względnych

Impedancja bazowa systemu zewnętrznego w jednostkach względnych jest odniesiona do napięcia o 5% wyższego od napięcia znamionowego tego systemu i wynosi

czyli

Impedancja zastępcza Thevenina w uproszczonych jednostkach względnych

Wszystkie impedancje gałęzi tworzących sieć elektroenergetyczną są wyrażone w uproszczonych jednostkach względnych odniesionych do napięcia o 5% większego od napięcia znamionowego danego elementu 1.05U_N .

Metodą przekształcania sprowadza się wyjściowy obowód elektryczny do elementarnego oczka o sem Thevenina i impedancji Thevenina Z_kTpu .

W celu wyliczenia prądu zwarciowego początkowego należy impedancję zastępczą przeliczyć z uproszczonych jednostek względnych na jednostki mianowane

gdzie

U_Nk - napięcia znamionowe sieci w miejscu zwarcia.

Prąd zwarciowy początkowy

Prąd zwarciowy początkowy w jednostkach mianowanych może być teraz obliczony ze wzoru'

Przykład 5.2

Obliczyć prąd zwarcia 3 - fazowego systemu z Przykładu 5.1 stosując uproszczone jednostki względne.

Rozwiązanie

Obliczenia w uproszczonych jednostkach względnych zostały odniesione do mocy bazowej S_b = 100 MV⋅A, znamionowych napięć elementów i napięcia linii o 5% wyższego od napięcia znamionowego sieci.

Generator

= 0.48

Transformator T1

=0.25

Linia

=0.075

Transformator T2

=0.4

Reaktancja zastępcza w jednostkach względnych wynosi

=0.48+0.25+0.075+ 0.4 =1.205

Reaktancja zastępcza w jednostkach mianowanych odniesiona do napięcia znamionowego sieci w miejscu zwarcia wynosi

=1.205
= 0.4783 Ω

Prąd zwarciowy początkowy

= 7.9668 kA

Porównanie wartości prądów zwarcia otrzymanych różnymi metodami

Metoda Imp. zastępcza Prąd zwarciowy

- Z_kT

Jednostki mianowane j0.4616 Ω 8.2550 kA

Uproszczone jednostki względne j0.4783 Ω 7.9668 kA

Wyznaczony prąd w uproszczonych jednostkach względnych ma mniejszą wartość od prądu obliczonego w jednostkach mianowanych. Jest spowodowane faktem, że napięcia znamionowe transformatorów nie są dokładnie o 5% większe od napięć znamionowych.

5.4. Analiza zwarć w jednostkach względnych

Jak wiadomo, w obliczaniu rozpływów mocy stosuje się jednostki względne, przyjmując napięcie bazowe równe znamionowemu napięciu sieci w danym miejscu systemu elektroenergetycznego. Podobnie można postąpić w obliczeniach zwarciowych. W konsekwencji impedancja bazowa danego elementu systemu elektroenergetycznego wynosi

gdzie

U_N - napięcie znamionowe sieci w miejscu zainstalowania urządzenia.

Przeliczenie parametrów z jednostek mianowanych na jednostki względne XOLega na podzieleniu impedancji wyrażonej w omach przez impedancję bazową wynikającą z odpowiedniego znamionowego napięcia sieci.

Parametry zastępcze transformatora w jednostkach względnych

Schemat zastępczy transformatora z parametrami w jednostkach względnych z regulowaną przekładnią pod obciążeniem pokazano na Rys. 5.7.

Rys. 5.7. Schemat zastępczy transformatora z regulowaną przekładnią z pominięciem parametrów poprzecznych. Oznaczenia: y = 1/Z_Tpu - admitancja zespolona transformatora w jednostkach względnych odniesiona do napięcia po stronie L, t - zespolona przekł³adnia transformatora w jednostkach względnych.

W obliczeniach zwarciowych przyjmuje się założenie, że przekładnia w jednostkach względnych wynosi 1, co jest w przybliżeniu spełnione w przypadku, gdy napięcia znamionowe transformatora są o 5% większe od znamionowych napięć sieciowych

W takim przypadku przekładni (t=1) schemat zastępczy na Rys. 5.7 składa się tylko z podłużnej rezystancji i reaktancji, wyznaczanych z następujących wzorów

Parametry zastępcze generatora w jednostkach względnych

W przypadku generatora wzór na reaktancję zastępczą ma następującą postać

Parametry zastępcze linii w jednostkach względnych

Zgodnie z zasadą jednostek względnych należy impedancję bazową linii odnieść do napięcia znamionowego sieci U_N

W rezultacie mamy

gdzie

R', X' - rezystancja i reaktancja jednostkowa linii, w Ω/km

l - długość linii w km.

Reaktancja zastępcza dławika w jednostkach względnych

Parametry znamionowe dławika obejmują napięcie znamionowe U_ND, prąd znamionowy I_ND i napięcie zwarcia u_k . W oparciu o parametry znamionowe wyznaczana jest reaktancja znamionowa dławika

Reaktancja zastępcza systemu zewnętrznego w jednostkach względnych

Impedancja bazowa systemu zewnętrznego w jednostkach względnych jest odniesiona do napięcia znamionowego tego systemu i wynosi

czyli

Impedancja zastępcza Thevenina w jednostkach względnych

Wszystkie impedancje gałęzi tworzących sieć elektroenergetyczną są wyrażone w jednostkach względnych odniesionych do napięcia sieci U_N .

Metodą przekształcania sprowadza się wyjściowy obowód elektryczny do elementarnego oczka o sem Thevenina i impedancji Thevenina Z_kTpu .

W celu wyliczenia prądu zwarciowego początkowego należy impedancję zastępczą przeliczyć z jednostek względnych na jednostki mianowane

gdzie

U_Nk - napięcia znamionowe sieci w miejscu zwarcia.

Prąd zwarciowy początkowy w jednostkach mianowanych może być teraz obliczony ze wzoru'

Przykład 5.3

Obliczyć prąd zwarcia 3 - fazowego systemu z Przykładu 5.1 stosując jednostki względne.

Rozwiązanie

Obliczenia w jednostkach względnych zostały odniesione do mocy bazowej S_b = 100 MV⋅A i znamionowych napięć sieci.

Generator G

=0.5292 Ω - zwarciowa reaktancja generatora

- impedancja bazowa generatora

- reaktancja generatora w jednostkach względnych

Transformator T1

= 33.0625 Ω - zwarciowa reaktancja
- impedancja bazowa transformatora T1

- reaktancja transformatora T1 w jednostkach względnych

Linia

=10 Ω - reaktancja zwarciowa linii

- impedancja bazowa linii

- reaktancja linii w jednostkach wzglęnych

Transformator T2

= 0.1588 Ω - zwarciowa reaktancja transformatora T2

- impedancja bazowa transformatora T2

- reaktancja transformatora T2 w jednostkach względnych

Reaktancja zastępcza w jednostkach względnych wynosi

=0.5292+0.2732+0.0826+ 0.4411 =1.3261

Reaktancja zastępcza w jednostkach mianowanych odniesiona do napięcia znamionowego sieci w miejscu zwarcia wynosi

Prąd zwarciowy początkowy

Porównanie wartości prądów zwarcia otrzymanych różnymi metodami

Metoda Imp. zastępcza Prąd zwarciowy

- Z_kT

Jednostki mianowane j0.4616 Ω 8.2550 kA

Uproszczone jednostki względne j0.4783 Ω 7.9668 kA

Jednostki względne j0.4774 Ω 7.9818 kA

Wyznaczony prąd w jednostkach względnych ma mniejszą wartość od prądu obliczonego w jednostkach mianowanych. Jest to spowodowane faktem, że napięcia znamionowe transformatorów nie są dokładnie o 5% większe od napięć znamionowych sieci.

Zaletą stosowania jednostek względnych jest pomijanie w schematach zastępczych całego systemu transformatorów idealnych podwyższających lub obniżających napięcie. Szczególnie przydatne jest stosowanie jednostek względnych przy obliczaniu prądów zwarciowych w sieciach oczkowych.

5.4. Analiza zwarć symetrycznych w oczkowych sieciach elektroenergetycznych

Obliczenia zwarciowe w sieciach oczkowych prowadzi się zwykle w jednostkach względnych dla U_b = U_Ns lub uproszczonych jednostkach względnych dla U_b = 1.05U_Ns .

Założenia

1. Przyjmuje się, że prądy płynące do węzła wyróżniane są znakiem plus, a od węzła - znakiem minus.

2. Węzłem odniesienia jest ziemia.

3. Do węzłów generatorowych przyłączone są sem podprzejściowe E_j =
   poprzez reaktancje podprzejściowe z_Gj = j
   

4. Zwarcie w węźle jest symulowane w ten sposób, że płynie prąd tylko w węźle zwartym oraz w węzłach generatorowych.

5. Prądy węzłowe w węzłach odbiorczych mają wartości zerowe, gdyż rozpatrywane są zwarcia w systemie nieobciążonym.

Stan sieci może być przy takich założeniach wyznaczony metodą potencjałów węzłowych

I = Y V

gdzie

I - wektor zespolonych prądów węzłowych,

V - wektor zespolonych potencjałów węzłowych,

Y - macierz zwarciowych admitancji własnych i wzajemnych.

Macierz admitancyjna zwarciowa różni się od macierzy admitancyjnej węzłowej wykorzystywanej do obliczania rozpływów mocy tym, że węzłem odniesienia jest ziemia, a nie węzeł bilansujący. Ponadto generatory są odwzorowane przez reaktancję, a nie przez moc czynną i bierną.

Prądy węzłowe w stanie nieobciążonym są równe zeru, wektor potencjałów węzłowych jest również zerowy, a wektor napięc węzłowych jest równy napięciom znamionowym

U_p =
- wektor napięć węzłowych przed wystąpieniem zwarcia.

Po wystąpieniu zwarcia w węźle k wektor prądów przyjmuje postać

I = I_zk

gdzie

I_zk =
- wektor prądów węzłowych odpowiadający zwarciu w węźle k, wszystkie elementy są zerowe za wyjątkiem elementu k, odpowiadającego zwartemu węzłowi, przy czym prąd zwarcia odpływa od węzła i dlatego jest poprzedzony znakiem minus.

Potencjały węzłowe sieci po wystąpieniu zwarcia w węźle k wynikają z rozwiązania równania macierzowego

I_zk = Y V_z

gdzie

V_z - wektor zespolonych potencjałów węzłowych, po wystąpieniu zwarcia w węźle k.

Macierz admitancyjna zwarciowa jest nieosobliwa, w związku z czym potencjały węzłowe mogą być obliczone z wykorzystaniem odwróconej macierzy admitancyjnej zwarciowej

V_z = Y^-1 I_zk = Z I_zk

gdzie:

Z = Y^-1 - macierz impedancyjna zwarciowa.

Macierz impedancyjna zwarciowa otrzymana w wyniku odwrócenia macierzy admitancyjnej zwarciowej jest macierzą symetryczną pełną, o elementach zespolonych. Elementy na przekątnej macierzy noszą nazwę impedancji zwarciowej własnej węzła, pozostałe zaś - impedancji zwarciowych wzajemnych

Zespolone napięcia węzłowe po wystąpieniu zwarcia w węźle k mogą być obliczone na zasadzie superpozycji napięć węzłowych przed zwarciem i potencjałów węzłowych wynikających z prądu zwarcia w węźle k

U_z = U_p + V_z = U_p + Z I_zk

Dla poszczególnych węzłów systemu mamy

U_z1 = U_p1 - Z_1k I_zk

...

U_zi = U_pi - Z_ik I_zk

U_zj = U_pj - Z_jk I_zk

U_zk = U_pk - Z_kk I_zk

...

U_zn = U_pn - Z_nk I_zk

Napięcie węzłowe w węźle k jest ponadto równe spadkowi napięcia na impedancji zwarcia z_zk wynosi

U_zk = z_zk I_zk

Wykorzystując zależność na napięcie w węźle k po wystąpieniu zwarcia otrzymujemy ostatecznie

U_pk - Z_kk I_zk = z_zk I_zk

W konsekwencji prąd zwarcia w jednostkach względnych w węźle k wyliczony z analizy macierzowej sieci wynosi

Powyższy wzór na prąd zwarciowy można porównać ze wzorem wynikającym z zastosowania twierdzenia Thevenina

Widzimy, że zwarciowa impedancja własna węzła k jest równa impedancji Thevenina Z_kk = Z_kT , a sem Thevenina jest równa napięciu przez wystąpieniem zwarcia E_T = U_pk .

Po podstawieniu wyrażenia na prąd zwarcia w węźle do wzoru na napięcie węzłowe otrzymujemy wzór na zespolone napięcie fazowe w dowolnym węźle i

Jeśli i = k, to napięcie w węźle k po wystąpieniu zwarcia zmniejsza swoją wartość zgodnie z następującym wzorem

Z przyjętych założeń uproszczających wynika, że napięcia węzłowe przed zwarciem równe są wartościom znamionowym. Wobec tego w węźle k mamy

Napięcie w dowolnym węźle i po wystąpieniu zwarcia w węźle k można teraz wyznaczyć w ze wzoru

U_zi = U_Nipu - Z_ik I_zk

Po wyznaczeniu napięć we wszystkich węzłach sieci, można wyliczyć wszystkie prądy gałęziowe I_zij płynące między węzłami i oraz j korzystając z prawa Ohma

gdzie
oznacza zespoloną impedancję gałęzi łączącej węzeł i z węzłem j.

Prąd źródła zasilającego zwarcie w węźle k wynika z uwzględnienia impedancji generatora. Po przyłączeniu sem
do i-tego węzła generatorowego za pomocą gałęzi o impedancji z_gi = j
mamy

= U_Ni + z_gi I_gpi

Ponieważ jednak przyjęto, że stan przed wystąpieniem zwarcia w węźle k jest stanem jałowym, zatem I_gpi = 0 i w rezultacie

= U_Ni

Zakładamy stałość sem podprzejściowej E^'' w czasie trwania zwarcia, wobec tego po wystąpieniu zwarcia w węźle k mamy

= U_zi + z_Gi I_Gzi

W dowolnym węźle i systemu zgodnie z zasadą susperpozycji mamy

U_Ni = U_Ni - Z_ik I_zk + z_Gi I_Gzi

Oznacza to, że prąd zespolony i-tego źródła zasilającego zwarcie w węźle k wynosi

I_Gzi = Z_ik I_zk /z_Gi

Wartość skuteczna prądu i-tego źródła wynosi zatem

gdzie

c_ik = Z_ik/z_Gi

oznacza współczynnik udziału i-tego źródła w zasilaniu zwarcia w węźle k.

W praktycznych obliczeniach zwarciowych uwzględnia się silniki synchroniczne i asynchroniczne jako źródła prądu zwarciowego. Wtedy silniki są traktowane w modelu matematycznym podobnie jak generatory.

Przykład 5.4

Korzystając z macierzy impedancji zwarciowych wyznaczonej w jednostkach mianowanych i uproszczonych względnych odniesionych do mocy bazowej S_b = 100 MVA, obliczyć prąd początkowy zwarcia 3-fazowego w węźle 1 systemu pokazanego na rys. 5.7.

Rys. 5.7. Schemat ideowy a) i schemat zastępczy systemu elektroenergetycznego do obliczania zwarć symetrycznych z wykorzystaniem macierzy impedancji zwarciowych b).

Dane poszczególnych elementów układu są następujące:

generator G1: S_NG = 25 MV*A, U_NG = 10.5 kV,
= 0.12

generator G2: S_NG = 10 MV*A, U_NG = 6.3 kV,
= 0.16

moc zwarciowa systemu zewnętrznego:
=2500 MVA

transformator 1: S_NT = 40 MV*A, u_k = 10% , U_NH = 115 kV, U_NL = 11 kV

transformator 2: S_NT = 25 MV*A, u_k = 10% , U_NH = 115 kV, U_NL = 6.3 kV

linia: x' = 0,4
/km, U_NL = 110 kV, l = 25 km

Rozwiązanie

Generator G1

=0.5292 Ω - zwarciowa reaktancja gen. 1,

= 57.8402 Ω - reaktancja gen. 1 przeliczona na poziom napięcia 110 kV

y_G1 = -j/57.8402 = -j0.0173 S - admitancja gen. 1 w simensach,.

= 0.48 - reaktancja gen. 1 w pu

y_G1pu = -j/0.48 = -j2.0833 - admitancja gen. 1 w pu.

Generator G2

=0.635 Ω - zwarciowa reaktancja gen. 2,

= 211.5867 Ω - reaktancja gen. 2 przeliczona na poziom napięcia 110 kV

y_G2 = -j/211.5867 = -j0.0047 S - admitancja gen. 2 w simensach,.

= 1.6 - reaktancja gen. 2 w pu

y_G21pu = -j/1.6 = -j0.625 - admitancja gen. 2 w pu.

System zewnętrzny SEE

= 5.3240 Ω - reaktancja SEE,

y_Q = -j/5.3240 = -j0.1878 S - admitancja SEE w simensach,.

= 0.04 - reaktancja SEE w pu

y_Qpu = -j/0.04 = -j25 - admitancja SEE w pu.

Transformator T1

= 33.0625 Ω - znam. reaktancja transformatora T1,

y_T1 = -j/33.0625 = -j0.0302 S - reaktancja transf. T1,

= 0.25 - reaktancja transf. T1 w pu,

y_T1pu = -j/0.25 = -j4 - admitancja transf. T1 w pu.

Transformator T2

= 52.9 Ω - znam. reaktancja transformatora T2,

y_T2 = -j/52.9 = -j0.0189 S - reaktancja transf. T2,

= 0.04 - reaktancja transf. T2 w pu,

y_T2pu = -j/0.04 = -j25 - admitancja transf. T2 w pu.

Linia

=10 Ω - reaktancja zwarciowa linii,

y_L = -j/10 = -j0.1 S - admitancja linii,

= 0.075 - reaktancja linii w pu,

y_L = -j/0.075 = -j13.3402 - admitancja linii w pu.

Macierz admitancji zwarciowych

Macierz admitancji zwarciowych ma następującą postać wynikającą z konfiguracji sieci

Po podstawieniu wartości admitancji poszczególnych gałęzi macierz admitancji zwarciowych przyjmuje postać

- w jednostkach mianowanych przeliczonych na poziom napięcia 110 kV

- w jednostkach względnych odniesionych do Sb = 100 MVA

Macierz impedancji zwarciowych

Po odwróceniu macierzy admitancji otrzymujemy macierz impedancji zwarciowych

- w omach przeliczonych na poziom napięcia 110 kV

- w jednostkach względnych w odniesieniu do Sb = 100 MVA

Impedancje zastępcze zwarciowe poszczególnych węzłow są równe diagonalnym elementom macierzy Z.

Zwarcie w węźle 1

Obliczenia dla jednostek mianowanych

Impedancja zastępcza na poziomie napięcia 110 kV wynosi

Z₁₁ = X₁₁ = 23.0368 Ω

Po przeliczeniu na poziom napięcia znamionowego węzła 1 jej wartośc zmieni się

Prąd zwarciowy początkowy w węźle 1 wynosi

= 30.1 kA

Zwarcie w węźle 1

Obliczenia dla uproszczonych jednostek względnych

Impedancja zastępcza w pu wynosi

Z_11pu = X_11pu = 0.2091

Impedancja bazowa węzła 1

Impedancja zastępcza w omach wynosi

Z_{11_6kV} = Z_11pu Z_b1 = 0.2091 1.1025 = 0.2305 Ω

Prąd zwarciowy początkowy w węźle 1 wynosi

= 27.553 kA

Zwarcie w węźle 4

Obliczenia dla jednostek mianowanych

Impedancja zastępcza na poziomie napięcia 6 kV wynosi

Z₄₄ = X₄₄ = 51.4209 Ω

Po przeliczeniu na poziom napięcia znamionowego węzła 4 jej wartość zmieni się

Prąd zwarciowy początkowy w węźle 1 wynosi

= 24.7 kA

Zwarcie w węźle 4

Obliczenia dla uproszczonych jednostek względnych

Impedancja zastępcza w pu widziana z węzła 4 wynosi

Z_44pu = X_44pu = 0.4282

Impedancja bazowa węzła 4

Impedancja zastępcza w ohmach wynosi

Z_{44_6kV} = Z_44pu Z_b1 = 0.4282 0.3969 = 0.17 Ω

Prąd zwarciowy początkowy w węźle 4 wynosi

= 22.415 kA

18

Wykład 5 - Zwarcia symetryczne w systemach elektroenergetycznych

---